彭赛列闭合定理及其应用

摘 要：文章先给出彭赛列（Poncelet）闭合定理的特殊情形及初等证明，然后给出定理的一般情形以及在高考中的应用.

关键词：彭赛列闭合定理；圆锥曲线；切线；初等证明

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2023）31-0059-03

收稿日期：2023-08-05

作者简介：王正勇（1981.6-），男，江苏省南通人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

彭赛列（Poncelet）闭合定理曾几度出现在高考题中，令很多考生不知所措.笔者现将彭赛列闭合定理进行简单梳理，并用初等方法由特殊到一般、由具体到抽象地给予介绍，最后给出彭赛列闭合定理在高考中的应用.

1 彭塞列闭合定理的特殊情形定理1 （抛物线与圆）

2 彭赛列闭合定理的一般情形定理4 平面上给定两条圆锥曲线，若存在一封闭多边形外切其中一条圆锥曲线且内接另一条圆锥曲线，则此封闭多边形内接的圆锥曲线上每一个点都是满足这样（切、内接）性质的封闭多边形的顶点，且所有满足此性质的封闭多边形的边数相同.

注 最简明的彭赛列闭合定理表示为：一个三角形外接于一个圆，内切于一个圆，则外接圆可以有无数个内接三角形满足其内切圆为上述的同一个.两条圆锥曲线都是圆的情形如下.

3 在高考中的应用

通过上文的证明过程可知，以彭赛列闭合定理为背景的试题，属于“双切线问题”，解题的关键步骤是：表示出两条切线的方程，利用“同构法”求第三條直线的方程，利用点到直线的距离进行验证.

彭赛列闭合定理涉及圆锥曲线的两条切线，故其本质上是处理圆锥曲线的双切线问题.此类题型的运算量较大，考查了数学运算和逻辑推理等核心素养.破解此类题型的关键是灵活运用同构思想和韦达定理［1］.

参考文献：

［1］谢贤祖，李鸿昌.以彭赛列闭合为背景的试题探源及应用[J].高中数学教与学，2021（21）：32-34.

［责任编辑：李 璟］