高中数学教学中运用探究式教学法的实践

张庚年 （甘肃省武威铁路中学）

在学科教学中，教师教会学生如何自主探究获取知识比单纯传授知识更有意义。数学作为一门基础学科，其研究对象与内容的广泛性和抽象性、理论体系的系统性和严密性、研究方法的灵活性和精确性，对培养和训练学生的探究能力具有独特优势。探究对培养学生的创新精神和实践能力具有重要意义，是培养学生核心素养的重要手段。因此，培养学生的探究意识和探究能力是高中数学教师的重要任务，也是数学教育工作者的使命。为此，教师要转变传统的教学观念，结合教学内容，积极创设条件，灵活运用探究式教学法，激发学生的探究兴趣，让学生乐于探究、勇于探究，有效培养学生的探究意识和探究能力。

一、探究对于数学发展的重要意义

数学是一门研究数（或式）的运算关系、图形的结构关系、变量间的变化关系、空间的位置关系等的学科。数学来源于生活，又高于生活。数学的发展对人类的生活、生产实践活动具有强大的推动作用。在生活、生产实践活动中，我们可能会遇到各种各样的困难或问题，对问题进行提炼、归纳、概括，并引入科学合理的符号、语言，抽象成一个或多个数学问题，深入进行探索研究，有时便发现了重要的数学结论或数学定理，有时也会因此引发创建新的数学分支，推动数学的发展。例如，欧拉正是通过对“哥尼斯堡七桥问题”的探索与研究建立了“图论”这一数学分支。在后续的研究中他又发现了“多面体的欧拉定理”，从而为“拓扑学”的建立奠定了理论基础。由此可见，积极进行数学探究活动，不仅是数学发现的重要途径，而且还是推动数学不断发展的源泉。

二、探究对于数学学习的价值

高中数学学习的内容更为复杂和抽象，学习目标也不再是对知识简单、机械地背诵或记忆，而是要弄清概念的本质，洞悉公式与定理的来历与推导过程，从过程中领悟数学思想方法。一方面，学生通过之前的学习积累了一定的数学基础知识，有了对数学内容和方法的初步认知，形成了浅显的数学思维；另一方面，随着年龄的增长，学生有了相对成熟的思维能力和理解能力，有较为充沛的精力和较强的探究欲望。因此，在高中数学教学中，教师适时地引导学生开展数学探究活动，不仅能加深学生对数学概念、定理等知识的理解，升华对数学知识的认知，掌握新、旧知识之间的联系，了解数学发展的历史与文化，还能让学生重温数学家关于数学发现的过程，体会数学思想的博大精深，收获数学发现的快乐与喜悦，增进对数学家的了解和崇拜之情，形成良好的数学思维品质。

三、运用探究式教学法的策略

1.在概念、定理教学中培养探究意识和探究能力

高中数学知识内容丰富。有的知识属于陈述性或者描述性知识，只需要学生正确理解其意义，能进行是非判别。对于这类知识的学习，教师应该多安排学生课前预习自学，课上精讲多练，在练习检测中反馈学生的理解情况，有针对性地加以纠偏指正即可。有的知识是在学生已有知识的基础上推理演变而重新生成的，需要学生弄清楚知识的产生缘由和来龙去脉才能更好地理解知识和运用知识。针对这些知识的教学，教师就要结合学生实际，在了解学生知识储备和认知水平的基础上，适时合理设计探究问题，引导学生开展探究活动，以达到追根溯源、夯实根基的目的。

（1）在概念教学中合理运用探究式教学法。

有些数学概念其本身的含义通俗易懂，但在应用过程中展开探究会有新的发现。例如，湘教版《普通高中教科书·数学》（以下统称“教材”）必修第一册“集合与逻辑”这部分知识，学生在学习时容易乏味。为此，在教学“子集和补集”时，教师可以针对“子集”这一概念设置一组探究练习题：分别写出下列集合的所有子集。试探究任意集合M所有子集的个数与集合M中所含元素的数目n之间的关系。通过本组练习引导探究活动，不仅能让学生在动手写子集的过程中进一步加强对子集概念的理解，更重要的是激发了学生的探究兴趣，为数学学习指引了方向，同时还让学生发现了一个结论：含有n个元素的集合，其所有子集的总数为2n个。紧接着，教师再通过探究练习“集合共有多少个非空真子集？”来巩固发现成果，让学生体会发现的价值，收获发现的喜悦。

又如，在教学教材选择性必修第一册中“等差数列”“等比数列”的概念时，教师可以引导学生从定义中保留限制条件“从第2 项起”和去掉这个条件后两者进行对比探究，思考差异，不仅可以让学生对概念有更为精准的理解与把握，还有助于学生理解两个数列的递推公式中为什么要强调n≥2，以此培养学生严谨的数学态度。

（2）在定理的证明与推导中运用探究式教学法。

数学定理通常是精准地刻画了相联系的各要素之间的关系或规律，在相对领域或范围内具有普遍性和通用性，它的证明也具有一般性和严密性。高中数学中的定理大多数是数学界比较著名的，它们的证明方法经过了前人的推敲与检验，具有很好的示范引领作用。在教授这些内容时，部分教师往往忽视了定理的推理证明过程，把重心放在了定理的应用举例和练习上，而这恰恰是本末倒置的做法。数学教学的任务不仅是对学生解题能力的培养，更要注重数学思想方法和数学思维的培养，学生一旦掌握了数学方法，形成了数学思维，更能促进其解题能力的提高。因此，教师既要重视定理的应用，更要重视定理的发现过程与推导证明过程，在过程中向学生传授和渗透探究方法，培养学生探究能力。

例如，在教学教材必修第二册“正弦定理”时，教师要引领学生感受定理发现的过程，学习探究的方法。教师先通过带领学生复习回顾直角三角形的边角关系，引导学生发现在直角三角形中有“各边和它所对角的正弦的比值相等”这一结论。接下来，学生自然会产生“在锐角三角形和钝角三角形中上述结论还成立吗？”这样的疑问。在问题的驱使下，教师指导学生在锐角三角形和钝角三角形中展开探究活动，最后整合三种情况得到正弦定理。这样的探究活动看似放慢了课堂进度，但极大地调动了学生学习的主动性，加深了学生对定理内容的认识，让学生领悟了数学探究的方法和定理的证明方法，而且在探究的过程中还让学生感受到了数学的严密性，培养了学生严谨的数学态度。在后续“扩充的正弦定理”的教学中，学生就可以模仿上述探究思路，“究出”定理中“相同的比值”恰为2R，即三角形外接圆直径的长度。

2.在类同知识的教学中培养类比探究的思维

类比能够培养学生的直觉思维，是一种重要的思维方法。类比思维的基本逻辑为：甲与乙是两个事物，已知甲具有性质A，且乙具有性质A′（A和A′类似），如果再知甲还有性质B时，我们自然想到乙应该也有类似于B的性质B′。在研究活动中有时会找不到前进的方向。虽然B′不一定正确，而它恰能引起我们探究的兴趣。数学研究的对象不尽相同，但有些不同的对象却往往在某些方面具有很多相似的特点或性质。

例如，数学中的实数、向量、复数是不同属性的量，但它们各自的加法运算都遵循交换律，各自的乘法运算（向量的数量积运算相当于实数、复数的乘法）都满足分配律。以此为可类比的基础，在教学教材必修第二册“数量积的定义及计算”时，教师可以鼓励学生大胆类比实数的运算律探究数量积的运算律，让学生类比实数中乘法的交换律ab=ba推出向量中a·b=b·a，类比实数中乘法的分配律a(b+c)=ab+ac推出向量中有a·( )b+c=a·b+a·c。相对于探究结果来说，探究过程在某些方面更能反映学生的发展变化。在探究过程中，学生获取的不仅仅是数学知识，还有数学思想方法，以及独立思考和分析问题的能力，这些都将随着探究过程不断提高。同样，当学生学完等差数列后再学等比数列时，教师可以放手让学生发挥类比学习与类比探究的作用，可以发现等比数列类似于等差数列的许多性质。这样的探究式学习既能调动学生的主观能动性，又提高了课堂教学实效。

3.在特殊问题的处理中引导探究一般性方法

数学中特殊的图形、特殊的位置、特殊的对象更受人关注，有现实的意义和背景。事实上，只要把特殊问题处理好了，许多一般性问题往往可以转化分解为若干特殊问题来解决。这种思维方法也是数学研究与解题时常见而有效的方法。

例如，当学生掌握了等差数列、等比数列的各种知识与技能之后，很多非等差数列、非等比数列的问题就可以化解为这些特殊数列来处理。高中数学教材中在推导等比数列前n项和的公式时，使用了错位相减法。教师通过板演具体处理方法，让学生理解领会此方法的数学原理后，不失时机地引导学生把等比数列看作是一个公差为1 的特殊等差数列与一个等比数列的积数列。因为它的求和能使用错位相减法，于是向学生提出问题：求任意一个公差为d的等差数列与任意等比数列的积数列的前n项和，是否还能使用错位相减法？教师引出问题后让学生在课后分小组讨论探究，以此渗透从特殊到一般的探究方法，并让学生探究清楚上述数列为什么能用错位相减法求和，真正掌握错位相减法求和的具体步骤和方法。引发此类探究活动的载体可以灵活多样，既可以是教材中的某个片段，又可以是某道例题、习题，还可以是一次考试中的某个试题等。探究的形式可以是一次小组活动，一次作业，还可以是一次课堂小测验。

4.在学生的生活体验中探究数学的理论解释

数学能解决生产实践活动中的问题，也能解释生活中的许多现象。学生成长过程中会有种种生活体验感。

例如，我们把一重物固定于一斜面上，在抬起斜面时会感受到：随着斜面与水平面夹角θ的增大，抬起斜面越来越容易。这种体验在学习教材必修第一册“三角函数”时通过探究分析就可将它转化为数学问题：函数F=Gcosθ的单调性。这里的G为重物的重力，是定值，而当时，cosθ随角θ的增大而减小，所以F将随角θ的增大而减小。虽然这个问题的解决不复杂，但它涵盖了物理知识和数学知识，在培养学生学科间的综合应用能力方面大有裨益，其中蕴含的探究精神和探究意识也是难能可贵的。

又如，我们将一定量的冰糖放在一杯水中，尝一尝不够甜，于是再放入一块冰糖使其溶解（水不溢出），会比刚才更甜些。如果将其概括成数学问题：第一次糖水的浓度一定小于第二次糖水的浓度，即已知a ＞b ＞0，c ＞0，则。这样的过程旨在培养学生将生活体验抽象概括为数学问题的能力，在探究证明上述不等式成立的过程中又强化了不等式证明的一般方法——作差法。如果再引导学生通过探究函数的单调性来解释问题，又能培养学生的发散思维。这种将学生体验与数学紧密结合的探究活动容易激发学生的兴趣，教师在备课时应该充分挖掘这方面的素材，合理融入数学教学实践中，让数学课堂变得丰富多彩，拉近数学与生活的距离。

5.在信息技术辅助下拓宽数学探究的广度和渠道

信息技术的飞速发展，不仅改变了教学环境和教学方式，还改变了学习模式和学习手段。在高中数学教学中应用信息技术，能借助信息技术的资源优势和技术优势丰富数学教学内容，优化教学方法，调动学生的主观能动性，有效突出教学重点，突破教学难点。借助信息技术绘制函数图象，探究图形的形状、位置关系，探究动点的轨迹都非常便捷、迅速且直观形象。

例如，在教学教材必修第一册“指数函数”时，教师可以应用几何画板软件绘制指数函数y=ax（a＞0，且a≠1）的图象，不仅能知道一个具体函数的图象形状与轮廓，还能探究底数a改变时函数图象形状的变化规律，对学生归纳、概括函数的性质及不同指数函数间的联系与区别有重要作用。另外，借助信息技术的动画演示还可以帮助学生理解抽象的数学知识，让学生发现一些数学现象，从而再引起理论上的探究，使问题上升一定的高度。

综上所述，在高中数学教学中，教师要充分挖掘教材内容和生活素材，于不同的情境、不同的内容和对象、不同的形式和渠道，以不同的载体灵活进行归纳探究、类比探究、从特殊到一般的探究、体验式探究、信息技术辅助探究等多元化的探究活动，充分调动学生探究的积极性和主动性，培养学生的探究能力，发展学生的数学核心素养。