基于分数傅里叶域信号处理的迈克尔逊干涉法测量波长

姜 盛, 武进敏, 鲁溟峰, 魏洪涛, 范军芳,张 峰, 陶 然

(1.北京信息科技大学 自动化学院，北京 100192；2. 北京理工大学 信息与电子学院，北京 100081)

1 引 言

激光技术的快速发展加速了光电检测技术的发展[1～4],通过激光干涉原理可以实现高精度的光电检测。可调谐激光器的波长在使用前需要被精确测量[5～9],激光器随着使用年限的增长,其波长也需要进行标定,修复后的激光器其波长也需要被重新测量和标定。

干涉测量技术是一类常用于波长测量的方法,根据其测量原理可分为干涉条纹周期分析方法和干涉条纹相位分析方法两种,参见文献[4]。前一种包括用法布里-珀罗干涉仪[10～12],斐索干涉仪[13～15]测量。法布里-珀罗干涉仪对实验环境要求较低,但其光信号是由线列传感器获取,在测量可见光和近红外波段时线列传感器价格相对较低,中远红外和远红外波段线列传感器价格昂贵较高; 斐索干涉仪能够测量连续激光和脉冲激光波长,但其测量系统受温度和气压影响较大,测量时装置需处于恒温、恒压条件下,并且需要一台稳定的氦氖激光器控制斐索干涉仪产生的漂移现象,在测量中红外与远红外波段线列探测器成本较高。后一种基于干涉条纹相位分析分方法中,典型的是用迈克尔逊干涉仪[16～19]测量,迈克尔逊干涉仪不仅可以测量连续激光波长,而且由于其波长测量精度较高,设备复杂度低,干涉仪成本相对较低现广泛应用于波长测量领域。

目前,迈克尔干涉仪测量波长主要是利用2束光因相位差所产生的干涉条纹来测量,测量过程中需记录干涉条纹数量,最初使用人工计算[20],可靠性差且重复性低,后来使用电子计数器[21]对条纹进行计算,包括倍频法[22],时钟计数法[23]等,但条纹的读数误差仍将影响测量精度。因此,本文根据迈克尔逊干涉条纹的生成机理,首先对此类干涉条纹图的相位进行数学建模,揭示其chirp信号特性;其次,根据此类条纹图的chirp特性,提出基于分数傅里叶变换[24]信号处理方法的迈克尔逊干涉条纹分析,从而测量光源波长,仿真实验结果证明了所提方法的有效性。

2 建模及测量原理

2.1 迈克尔逊干涉条纹信号建模

迈克尔逊干涉原理如图1所示,所得干涉条纹图如图2所示。

图1 迈克尔逊干涉原理Fig.1 Michelson interference principle

干涉条纹强度分布规律可描述为

I(x,y)=I0+I1cos [φ(x,y)]

(1)

式中:I0表示背景强度;I1表示调制强度;I0≈I1;φ(x,y)是干涉条纹相位。

(2)

式中:λ为光源波长;Δ是图1中2束光的光程差。

Δ=n(AB+BC-AD)=2ndcosi

(3)

式中:n为介质折射率;d为两平行板之间距离;i为入射角。根据图1所示几何关系

(4)

式中:f为透镜焦距;(x0,y0)为干涉条纹环心坐标。

将公式(3)、公式(4)代入公式(2),可得

(5)

根据泰勒级数展开,公式(5)可近似表示为

(6)

由公式(5)和公式(6)所描述的迈克尔逊干涉条纹相位结果及其相位差如图3所示,选取相位中间行,相应结果如图4所示。

图3 条纹图原始相位与泰勒相位对比Fig.3 Comparison of original phase and its Taylor’s approximation of fringe pattern

图4 条纹图中间行的原始相位与泰勒相位对比Fig.4 Comparison of original phase and its Taylor’s approximation of the middle row of fringe pattern

2.2 分数傅里叶变换信号处理测量波长原理

(7)

式中φ0=-2f2Kπ。

将公式(7)代入公式(1)中得到:

I(x,y)=I0+I0cos{Kπ[(x-x0)2+
(y-y0)2]+φ0}

(8)

在信号处理领域,由公式(8)描述的信号为chirp信号,K为线性chirp信号的调频率,或者称为chirp信号的频率变化率。同时,迈克尔逊干涉条纹图的行(或列)也为一维chirp信号,可以描述为

I(x)=rect(x/Xm)[I0+f(x)+f*(x)]

(9)

式中:*代表共轭;rect(x/Xm)代表信号持续区间,Xm代表信号持续区间上限;f(x)可以表示为

=(I0/2)exp[j(Kπx2+2πfcenx+φy)]

(10)

式中:fcen=-Kx0;φy为固定相位。

一维chirp信号的分数傅里叶变换定义为

(11)

式中:ux为行信号在分数傅里叶域中的频率;Kα是分数傅里叶变换的核函数,其定义为

Kα(ux,x)=

(12)

将公式(9)、公式(11)代入公式(10)中可得:

(13)

当旋转角α满足

cotα=-K

(14)

公式(12)可以写成

sinc[πXm(uxcscα-fcen)]

(15)

因此,chirp信号在匹配旋转角对应的分数傅里叶变换域(简称“分数域”)中,其幅值分布为sinc函数,如图5所示。

图5 一维chirp信号分数傅里叶变换域幅值分布Fig.5 One-dimensional signal’s amplitude distribution in fractional Fourier domain

同理,对于图2中所描述的迈克尔逊干涉条纹图,在匹配旋转角下,其对应的分数域幅值分布如图6所示。从而根据匹配旋转角与光源波长的关系,波长的计算公式为

图6 二维chirp信号分数傅里叶变换域幅值分布Fig.6 Two-dimensional signal amplitude distribution in fractional Fourier domain

(16)

3 实 验

迈克尔逊干涉条纹图由公式(1)仿真得到,其中相关参数设置为:I0=1,透镜焦距f=0.05 m,折射率n=1,两平行板间距d=1 mm。

首先,利用MATLAB(R2021a)仿真生成尺寸为 720×720 pixels的无噪声污损的干涉图像进行验证,实验中被测光源波长范围为400～700 nm,根据本文所提基于分数傅里叶变换信号处理的波长测量原理,在匹配旋转角下,迈克尔逊干涉条纹在分数傅里叶变换域中能量聚集,从而由匹配旋转角计算被测光源波长,测试结果如表1所示。

表1 不同光源波长的测量结果Tab.1 Measurement results with different wavelength

表1中,相对误差δ计算公式为

(17)

式中:λreal为真实波长;λestimate为估计波长。

由表1可知:随着波长的增加,本文方法λestimate的相对误差呈增加趋势;当条纹图中包含的条纹级数减小时,本文方法λestimate的相对误差增加,对不同波长测量平均相对误差为0.39%。以420、500、635 nm的光源波长测量为例,干涉条纹沿水平方向级数减少,如图7所示,根据匹配旋转角与波长的对应关系,利用所提方法测得的波长分别为421.3、498.8、637.9 nm,测量过程无需记录干涉条纹数量,可以基于静态图完成。

图7 被测光源波长不同时干涉条纹及其分数域幅值分布Fig.7 Interference fringes at different wavelengths and its amplitude distribution in fractional Fourier domain

为了进一步验证条纹级数对所提方法测量精度的影响,仿真实验中针对波长为420 nm的光源,通过改变平行板之间距离进行实验,相应的结果见表2。

表2 平行板距离不同时波长测量结果Tab.2 Wavelength measurement results with different distance between planar planes

当平行板之间距离d=0.1 mm时,波长测量的δ=4.76%;当平行板之间距离d=0.5 mm时,波长测量的δ=1.31%;当平行板之间距离d=0.9 mm时,波长测量的δ=0.30%,相应的条纹图及其在匹配旋转角下的分数域幅值分布如图8所示。

图8 平行板距离不同时条纹图及其分数域幅值分布Fig.8 Interference fringes for different distance between planar plane and its amplitude distribution in fractional Fourier domain

同样,随着平行板之间距离的增加,条纹图中包含的条纹级数增加,该方法的波长测量精度增加,当条纹级数增加到一定数目时,波长测量趋于稳定。

为了进一步验证所提方法的抗噪声能力,仿真过程中将干涉条纹图添加不同信噪比(SNR)的高斯白噪声进行实验,实验中被测光源选择波长为635 nm的红光,平行板距离d=1 mm。不同SNR下波长测量的实验结果如表3所示。

表3 条纹图高斯白噪声污损下波长测量结果Tab.3 Wavelength measurement results when fringe pattern added Gaussian white noise with different SNR

高斯白噪声污损的条纹图及其分数域幅值分布如图9所示。

实验结果表明:本文方法具有很好的抗噪声能力。针对不同SNR高斯噪声污染干涉条纹图测量平均相对误差小于1%。当SNR=-25时,干涉条纹图在匹配旋转角下的分数域中幅值分布仍然明显聚集,因此基于匹配旋转角估计的光源波长可以测量,相对误差为1.72%。

4 结 论

本文以迈克尔逊干涉法测光源波长为基础,基于泰勒近似推导证明了迈克尔逊干涉条纹图信号的chirp特性,从而基于分数傅里叶变换的chirp基分解特征,提出了基于分数傅里叶变换信号处理的波长测量原理,测量过程无需记录条纹数目,实现了利用静态图完成迈克尔逊干涉测量。实验结果表明:待测激光光源波长范围为400～635 nm时,本文方法测量波长的相对误差平均值约为0.39%,并且通过处理不同SNR的高斯白噪声污损条纹图实验,测得光源波长的平均相对误差为1%以下,验证了所提方法的抗噪声能力,为进一步开展基于分数域信号处理的迈克尔逊干涉法波长测量研究提供支撑。