基于自适应H2/H∞滤波的锂电池SOC和SOH联合估计

吴忠强, 陈海佳

(燕山大学 工业计算机控制工程河北省重点实验室，河北 秦皇岛 066004)

1 引 言

电动汽车具有节约能源、环境污染小等显著技术优势而被广泛关注。随着电动汽车的快速发展,对动力电池的需求大幅增加[1]。锂电池作为储能元件具有高能量密度、高工作温度范围、无记忆效应和长循环寿命等特点。锂电池的荷电状态(state of charge,SOC)是电动汽车电池管理系统中的一个关键参数,它指示电池中的剩余电量,准确的SOC估计对于确保锂电池的寿命和安全性至关重要[2]。目前,SOC的估计方法主要分为4大类:安时积分法[3]、开路电压(open circuit voltage,OCV)法[4]、基于模型的方法和基于数据驱动的方法。

安时积分法是将电池的充电或放电电流随时间积分得到SOC,该方法工作效率高,但是需要已知初始的SOC。OCV法指电池在充分静置后,其端电压与SOC之间存在一个比较固定的函数关系,不同电池的SOC与OCV的关系不同,通过该函数关系可以测量电池的SOC[5]。该方法虽然精度高,但是在实际测试中需要较长的静息时间才能达到平衡状态,且静息时间受到环境条件、监控设备的影响[6],因此该方法通常用于实验室或校准辅助技术。

基于模型的SOC估计方法具有估计精度高和实时性好的优点。该方法依赖于锂电池的常用数学模型,然后使用一些高级算法,如扩展卡尔曼滤波(extended kalman filter,EKF)[7]、无迹卡尔曼滤波[8]、粒子滤波[9]等来估计SOC。这些方法需要选择适当的噪声协方差矩阵,并且还存在估计误差的收敛性和传感器噪声的鲁棒性等问题。为解决上述问题,研究者开辟了各种基于观测器的方法,如Luenberger观测器[10]、滑模观测器[11]和H∞观测器[12]等。当存在外部干扰时,H∞观测器能确保在最坏的情况下仍然可以保持SOC的估计精度。文献[13]提出了一种H∞扩展卡尔曼滤波器,用于在线估计模型参数和SOC。文献[14]提出了一种多尺度双H∞滤波器,分别估计SOC和容量。文献[15]提出了一种基于自适应H∞滤波器的锂离子电池综合荷电状态估计方法,即使在SOC初始值误差较大的情况下也能获得较好的估计结果。

随着大数据的兴起和数据挖掘技术的发展,基于数据驱动的方法日渐成熟,如人工神经网络[16]、支持向量机[17]、融合算法[18]等被用于SOC估计。然而,这些研究方法对其所采用的数据质量非常敏感。此外,当使用的训练模式不适当,还会出现过拟合等问题[19]。

当电池单元老化时,容量和内阻将偏离标称值,这将导致较大的SOC估计误差。因此,在估计SOC时,必须考虑电池老化,即电池的健康状态(state of health,SOH)[20]。文献[21]利用立方卡尔曼滤波器估计电池的SOC,并用多尺度混合卡尔曼滤波器估计电池的SOH,实现了SOC和SOH的联合估计。文献[22]中构建了SOC-SOH与电池模型参数间多维度空间插值曲面,并基于无迹粒子滤波算法实现锂电池SOC和SOH的联合估计。

综合上述问题,提出了一种自适应H2/H∞滤波器(adaptive H2/H∞filter,AH2/H∞F)对锂电池的SOC和SOH进行联合估计。首先,基于锂电池的二阶RC等效电路模型,采用带自适应遗忘因子的递推最小二乘(adaptive forgetting factor recursive least squares,AFFRLS)法在线辨识锂电池的模型参数。然后,采用H2/H∞滤波器估计锂电池的SOC,AFFRLS辨识与H2/H∞滤波交替进行,得到一种AH2/H∞F。SOH依据AFFRLS辨识的电池内阻进行估计。实验结果表明该设计方案的有效性,且优于EKF和H∞滤波法。

2 锂电池的模型建立及参数辨识

2.1 电池建模

电池的等效电路模型由欧姆电阻和多个并联电阻-电容(RC)回路组成,能够准确地表征电池的外部特性,模型精度会随RC回路的增加而提高,但计算复杂度也随之增加。出于兼顾精度、参数辨识简便和可操作性等方面因素的考虑,这里使用二阶RC模型对电池进行建模,如图1所示。

图1 二阶RC等效电路模型Fig.1 Second-order RC equivalent circuit model

图1中,UOC表示电池的开路电压;R0为欧姆电阻,包含各元件间的接触电阻,及电池内部固体电解质界面膜电阻;U0代表其2端的电压;R1为极化电阻,与极化电容C1并联组成一个RC回路,代表电荷转移现象,U1代表并联回路的电压;R2是浓差电阻,与浓差电容C2并联组成另外一个RC回路,代表电荷扩散现象,U2代表并联回路的电压;U是电池的终端电压;I为电池的工作电流,放电时为正。

根据图1,基于基尔霍夫电流和电压定律,可得电压方程如式(1):

(1)

对电压方程式(1)进行拉普拉斯变换,整理得到传递函数,如式(2):

(2)

式中:τ1=R1C1;τ2=R2C2。

(3)

式中:

将式(3)转化为差分方程,得到式(4):

y(k)=UOC(k)-U(k)

=a1y(k-1)+a2y(k-2)+a3I(k)+

a4I(k-1)+a5I(k-2)

(4)

将I(k)作为系统输入,y(k)作为系统输出,令:

则系统(4)可以表示为式(5):

(5)

2.2 基于AFFRLS的电池参数在线辨识

使用的AFFRLS可以实时在线更新新旧数据的权重占比,对模型参数实现在线辨识。AFFRLS算法将基于遗忘因子递推最小二乘算法(recursive least squares algorithm based on forgetting factor,FFRLS)中k时刻的固定遗忘因子λ变为变化的自适应遗忘因子λ(k),λ(k)的计算方法如下式:

λ(k)=λmin+(1-λmin)2G(k)

(6)

式中:G(k)=-round(μe2(k)),round是四舍五入的取整函数,μ为常数,e(k)为y(k)的预计误差;λmin是最小的遗忘因子。

AFFRLS的递推公式如式(7):

(7)

(8)

将式(8)代入式(3)中,得到式(9):

(9)

式(9)与式(2)系数对应相等可以得到式(10):

(10)

整理计算可得式(11):

(11)

式中:b1=τ1τ2;b2=τ1+τ2;b3=R0+R1+R2;b4=R0(τ1+τ2)+R1τ2+R2τ2。

这样,电池等效模型中的重要参数就可以被解析出来,便于后续的SOC与SOH的估计。文献[21]指出,电池的SOH与电池的欧姆内阻R0之间存在着式(12)的关系,即可以通过欧姆内阻R0来计算电池的SOH。

(12)

式中:SOH(k)表示电池的当前健康状态;R0(k)表示电池当前的欧姆内阻;R0(0)表示电池的初始欧姆内阻;R0(end)表示电池失效时对应的欧姆内阻,通常情况下,R0(end)=2R0(0)。

3 基于AH2/H∞F的锂电池SOC估计

3.1 锂电池荷电状态模型及离散化

电池的SOC表达式如式(13)所示:

(13)

式中:t0为初始时刻;t为当前时刻;η为库伦效率;QC为电池额定容量。

对式(1)和(13)进行离散化。选择SOC和U1、U2作为系统的状态变量,并考虑2种噪声信号,一是统计特性可知的白噪声信号,另一个是任意的有限能量信号,可得到离散的电池系统状态方程如式(14)所示。

(14)

3.2 H2/H∞滤波器的设计

对于电池模型(14),如果该模型是渐近稳定的,对于给定的常数γ>0,可设计一个渐近稳定的全阶线性滤波器如式(15)。

(15)

(16)

应用离散时间系统的有界实引理,可得如下定理1。

(17)

式中:*是由矩阵的对称性得到的矩阵块。进而,如果P∞是矩阵不等式(17)的一个可行解,则P2≤P∞,其中P2是Lyapunov方程的对称正定解。

证明：若P∞是矩阵不等式(17)的一个可行解,则由矩阵的Schur补性质可得式(18):

(18)

对矩阵不等式(17)左边的矩阵分别左乘矩阵diag{JΤ,I,JΤ,I}以及右乘它的逆矩阵diag{J,I,J,I},可得矩阵不等式(17)等价于式(19)。

(19)

进一步化简得到式(20):

(20)

(21)

则矩阵不等式(21)变成矩阵不等式(22):

(22)

(23)

仍对矩阵不等式(23)进行变量替换,导出第二个线性矩阵不等式约束(24),并得到定理2。

(24)

定理2:对给定的常数γ>0,系统存在一个 H2/H∞滤波器,当且仅当以下的优化问题成立:

3.3 AH2/H∞F的设计及其SOC估计

锂电池基于AH2/H∞F估计SOC的流程如下:首先,用AFFRLS实时辨识锂电池的模型参数,然后,采用H2/H∞滤波器估计锂电池的SOC,两者交替进行。当电池的参数发生变化时,AFFRLS会得到新的辨识参数,H2/H∞滤波器将根据新的辨识参数估计锂电池的SOC,即实现了锂电池基于AH2/H∞F的SOC估计。

4 实验验证与结果分析

4.1 实验过程

首先对UOC(SOC(k))进行标定。采用额定容量为2Ah的锂离子电池在25 ℃的标准环境温度中进行电池试验。通过式(25)的7次多项式拟合。

UOC=p1x7+p2x6+p3x5+p4x4+p5x3+p6x2+p7x+p8

(25)

得到的多项式系数为:p1=9.275 748;p2=-41.126 89;p3=79.505 93;p4=-84.056 22;p5=49.911 83;p6=-15.525 66;p7=2.817 365 ;p8=3.326 034。

UOC-SOC拟合曲线如图2所示。

图2 UOC-SOC拟合曲线Fig.2 UOC-SOC fitting curve

实验中采集的输入电流和输出电压的数据如图3(a)和图3(b)所示。

图3 输入电流和输出电压图Fig.3 Input current and output voltage diagram

采用Matlab求解,获得的干扰抑制比为:γ=1.903 9×10-7,H2/H∞滤波器的系数矩阵分别为:

4.2 自适应性验证

通过混合脉冲实验的实验数据提取出的锂电池模型参数作为真实值,来检验AFFRLS方法的辨识效果。AFFRLS的辨识结果见图4(a)～图4(e)。

图4 锂电池模型的参数辨识结果Fig.4 Results of battery model parameter identification

由图4(a)～图4(e)可看到,辨识曲线与真实值曲线趋近一致,可见AFFRLS法辨识电池模型参数的效果较好。

锂电池SOC的自适应H2/H∞滤波器估计结果,如图5(a)和图5(b)所示,给出了采用参数R0、R1、R2、C1、C2的固定值(即保持500 s时的值不变),而得到的H2/H∞滤波器估计结果(fixed parameter H2/H∞filtering, FPH2/H∞F),用以比较。

图5 锂电池SOC的估计结果与误差Fig.5 Lithium battery SOC estimation results and error

从图5(a)和图5(b)可以看出,在R0、R1、R2、C1、C2取固定参数下,在500 s之后,SOC的估计值会越来越偏离真实值,而AH2/H∞F则能够根据模型参数变化自动调整,准确地估计电池的SOC,验证了滤波器的自适应性。

4.2 不同算法的SOC估计比较

采用AH2/H∞F进行锂电池的SOC估计,并与H∞滤波(H∞filter, H∞F)算法和EKF算法所得到的SOC估计结果作比较。SOC的估计结果及误差如图6(a)～(b)所示,显示了AH2/H∞F、H∞F和EKF法估算的SOC变化曲线。可以看到,EKF法估计SOC的过程中出现剧烈的波动,得到的估算结果偏离真实值持续增大并愈发明显;H∞F法估计SOC的过程中也出现了比较明显的波动,尤其是在后半段,估算结果与实际值产生较大偏差;而AH2/H∞F法估计SOC的过程则比较平稳,估算的结果与实际值的偏差一直保持在较小的范围内,说明其鲁棒性较强。

表1给出了不同算法下SOC的误差统计特征值。

表1 误差统计特征值Tab.1 Error statistical eigenvalues

从表1可以看出,采用AH2/H∞F算法的SOC估计值最大误差为0.005 0,在3种算法中最低;平均绝对误差为0.001 9,相比于H∞F算法的估计结果,估计精度提升了约78%,相比于EKF算法的估计结果,精度提升约83%;AH2/H∞F的标准差为0.002 3,在3种算法中最小,说明AH2/H∞F算法的鲁棒性最强,估计值与测量值间的误差最小。

4.3 SOH的估计

锂电池的欧姆内阻R0是评价其SOH的主要指标之一,对R0的在线估计可以得到锂电池的SOH。R0的估计曲线如图4(a)所示,SOH的估计曲线如图7所示。

图7 SOH估计结果Fig.7 SOH estimation results

从图7中可以看到,仿真实验结束时相对应的SOH值为81.85%。由此,可以通过辨识欧姆内阻R0来监测电池的健康状态。

5 结 论

通过提出一种自适应H2/H∞滤波器对锂电池的SOC和SOH进行联合估计,采用AFFRLS法在线辨识锂电池的模型参数,H2/H∞滤波估计锂电池的SOC;AFFRLS辨识与H2/H∞滤波交替进行,得到一种AH2/H∞F。AFFRLS辨识出电池参数用于调整H2/H∞F实现SOC的自适应估计,同时使用AFFRLS辨识出的欧姆内阻值与失效的欧姆内阻值计算出电池的SOH,实现了锂电池SOC与SOH的联合估计。AH2/H∞F的设计考虑了外部两类噪声信号,更加全面。仿真实验表明,与FPH2/H∞F比较,AH2/H∞F具有自适应性,能够在模型参数变化的情况下准确的估计电池的SOC和SOH;相比于EKF和H∞滤波算法具有更高的估计精度与稳定性。