巧用伸缩变换解答椭圆问题

薛建龙 杨洪亮

性质1.变换前后，点、直线之间的位置关系不变.

性质2.变换前后，直线之间的平行关系不变，对应线段的比值不变.

相比较而言，圆的方程较为简洁，且具有更多的性质，这就能为我们解题提供方便.在解答解析几何问题时，对椭圆作伸缩变换，就可以将椭圆问题转化为圆的问题，利用圆的几何性质和方程来求解，即可快速得到问题的答案.下面举例说明.

则圆O为[△A'B'C']的外接圆，

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设O为坐标原点，F为椭圆C的右焦点，过点F的直线l分别与椭圆C交于M，N两点，D（4，0）.求证：直线DM，DN关于x轴对称.

则[O'M'2=O'F'?O'D']，

所以[△O'M'F'][∽][△O'D'M'，∠O'D'M'=∠O'M'F']，

同理可得[△O'N'F'][∽][△O'D'N'，][ ∠O'D'N'=∠O'N'F']，

故[O'D']可平分[∠M'D'N']，即[D'M']，[D'N]关于x轴对称.

解答本题，需对椭圆作伸缩变换，将问题转化为圆的问题，根据圆的等角定理和全等三角形的性质进行求解，即可快速求得问题的答案.利用我们熟悉的圆的几何性质进行求解，能大大简化计算.

由伸缩变换图形的性质可知，[O'A'B'C']仍为平行四边形，

但此时OA=OC，则[O'A'B'C']为菱形，

所以[S△ABC=2SO'A'B'C']，

显然[△O'A'B']是正三角形，

作伸缩变换，可将椭圆化为圆，但平行四边形仍为平行四边形.而平行四边形[O'A'B'C']的邻边为圆的半径，即可判定[O'A'B'C']为菱形，进而根据菱形的对称性以及三角形的面积公式，求得平行四边形OABC的面积.

由伸缩变换图形的性质得[kOP·kOQ=-1]，

得[O'P'⊥O'Q']，

由伸缩变换图形的性质可知，[P']仍为[O'D']的中点，

延长[D'O']交圆[O']于[G']，連接[G'O']，[P'E']，如图8，

由圆的割线定理可得[D'P'?D'G'=D'E'?D'Q']，

通过伸缩变换，将椭圆化为圆，就能将复杂的椭圆问题转化为简单的圆的问题.这也说明了数学知识之间是有联系的，并不是孤立的.在解题时，同学们要善于把握问题的本质，将所学的知识融会贯通起来，进行合理的转化.这样就能有效地避免繁琐的计算，达到事半功倍的效果.