对一道三元最值问题的解法的探究

吴维军

三元最值问题中往往含有三个变量.相较于一元最值问题、二元最值问题，三元最值问题较为复杂，且难度较大.解答此类问题，需根据已知关系式，将目标式进行变形、变换，以将问题转化为常规最值問题.下面以一道三元最值问题为例，来探寻一下解答此类问题的通法.

题目中给出的条件较为简单，但因题目中涉及了三个变量a、b、c，从而显得较为复杂.要求目标式的最值，需将目标式进行变形、变换，将问题转化为一元二次方程问题、一元最值问题、向量最值问题、解析几何最值问题来求解.

一、判别式法

对于二次最值问题，通常可运用判别式法求解.在求解三元二次最值问题时，要首先选取一个变量作为主元；然后设目标式等于一个参数，并将目标式变形，以构造出一元二次方程；再根据方程有解得出判别式[Δ≥0]，即可求出参数的取值范围，从而确定目标式的最值.

在三个变量同时变化的情况下，很难对三个变量同时进行研究.于是先根据已知关系式引入变量m，并用其表示变量以及目标式；再令目标式等于t，构造出关于m的一元二次方程，即可根据[Δ≥0]，求得t的取值范围.

二、基本不等式法

三、向量法

在解答三元最值问题时，可将已知关系式或目标式，与向量的加法、减法、数量积公式等关联起来，构造出合适的向量模型，即可将问题转化为向量最值问题，通过向量运算求得问题的答案.

四、几何法

在解答三元最值问题受阻时，可转换思路，挖掘代数式的几何意义，利用几何法来解题.通常可将[ax+by+c]看作一条直线，将[ax2]看作一条抛物线，将[a2+b2]看作一个单位圆，据此画出相应的几何图形，研究图形中的点、直线、曲线的位置关系，确定取得最值的情形，即可解题.

解：设[A（0，0，0），B（1，1，1）]，

相比较而言，判别式法和基本不等式法较为简单，向量法和几何法却是很多同学难以想到的.同学们在解答三元最值问题时，要先考虑运用判别式法和基本不等式法，再考虑向量法和几何法.