求椭圆离心率常用的三种方法

王建辉

椭圆的离心率是椭圆的一个重要性质，它是反映椭圆的扁平程度的量.求椭圆的离心率问题比较常见.这类问题常与平面几何、三角函数、平面向量等知识相结合，侧重于考查同学们的逻辑推理和数学运算能力.那么，求椭圆的离心率有哪些方法呢？下面结合实例进行探讨.

一、公式法

解：因为椭圆的长轴长是短轴长的2倍，

本题较为简单，由题意可以很容易确定椭圆中参数a、b之间的关系，直接根据椭圆方程中参数a、b、c之间的关系[a2=b2+c2]，即可求得[c]与[a]的比值，从而求得椭圆的离心率.

解：因为椭圆的右焦点为[F2，0]，所以c=2，

因为P为椭圆的左顶点，

所以[PF=a+c=a+2=5]，解得[a=3]，

我们首先根据题意可以确定c的值；然后根据P点的位置，确定a的值，即可根據椭圆离心率的公式求得问题的答案.

二、几何性质法

几何性质法是指利用平面几何图形的性质解题.在求椭圆的离心率时，我们可以根据题意画出几何图形，将椭圆参数方程中的a视为长半轴长、b视为短半轴长、c视为焦半径，根据椭圆、三角形、平行四边形、梯形的性质来求得椭圆的长半轴长、短半轴长、焦半径，或建立三者之间的关系式.

解：由题意得[MF1=F1F2=2c]，

由椭圆的定义得[MF2=2a-2c]，

记[∠MF1F2=θ]，则[∠AF2F1=∠MF2A=θ]，[∠F1F2M=∠F1MF2=∠MAF2=2θ]，

则[AF2=AF1=2a-2c]，所以[AM=4c-2a]，

解答本题，需运用相似三角形的性质建立关于[MF1、F1F2][AM、MF2]的关系式，并根据椭圆的定义，即在平面内到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹，确定[MF1、F1F2][AM、MF2]与a、c之间的关系，从而使问题获解.

离心率[e=]______．

解：设内切圆与AM切于Q，与[AF1]切于P，

由圆的对称性知[AF1=AF2]，

所以[PF1=QF2]，即[NF1=QF2]，

所以[2a=MF2+MF1=MQ-QF2+MN+NF1]

我们先结合图形明确点、圆、椭圆之间的位置关系；然后根据椭圆的定义将问题转化为线段问题，即可根据圆的对称性、圆与切线的位置关系建立线段[MF2、MF1]、

[MQ、QF2、MN、NF1]之间的关系，得到关于[a、c]的关系式，进而求出椭圆的离心率.用几何性质法解题的计算量较小，有利于提升解题的效率.

三、构造齐次式

解：设[Mx1，y1]，[Qx2，y2]，则[N-x1，-y1]，[P3x1，0]，

设直线[MN]、[QM]、[NP]的斜率分别为[k1]、[k2]、[k3]，

解：因为点C、F是线段AB的三等分点，

由图3可知C为[AF]的中点，右焦点为[F2]，

所以[AF2//OC]，所以[AF2⊥x]轴，

先由点C、F是线段[AB]的三等分点可得[AF2//OC]；再根据线段的对称性可求得B点的坐标；最后将其代入椭圆中，即可建立关于a、b、c的二次齐次式，进而得到关于椭圆离心率e的方程.