谈谈三类解三角形问题的解法

张乔妹

解三角形是高中数学中的重要内容，也是高考数学必考的知识.通过对近几年高考试题的分析，可发现解三角形问题主要有：三角形的解的个数问题、三角形的面积问题以及三角形的边长问题，且不同题目的考查形式和考查知识点均有所不同，同学们应注意区分与鉴别.本文结合例题，对这三类解三角形问题的特点和解法进行介绍，希望对同学们有所帮助.

一、三角形的解的个数问题

解三角形是指已知三角形的某些边、角，求其他边、角.三角形的解有一个、二个或者无数个.在解答三角形的解的个数问题时，先要仔细审题，明确哪些边、角是已知的，哪些是未知的；然后灵活运用正余弦定理、勾股定理、三角函数的定义来解三角形.一般地，若已知的角较多，则运用正弦定理来建立关系式；若已知的边较多，则运用余弦定理进行求解；若三角形为直角三角形，可直接运用勾股定理和三角函数的定义解题.

例1.根据下列条件判断三角形的解的情况，正确的个数是（     ）.

[①] [a=8，b=16， A=30°]，该三角形有2个解

[②] [b=18，c=20，B=60°]，该三角形有1个解

[③] [a=15，b=2， A=90°]，该三角形无解

[④] [a=40，b=30， A=120°]，该三角形有1个解

[A.1][B.2][C.3][D.4]

而[B∈0，π]，所以[B]只有[1]个解，

故三角形只有[1]个解，所以①错误；

因为[bB=60°]，则[C]有[2]个解，

故三角形有[2]个解，所以②错误；

故三角形只有[1]个解，所以④正确；

综上可知，本题的正确答案为[A]项.

①②③④中都给出了三角形的两边长和其中一个角的度数，只需根据正弦定理建立关系式，再结合正弦函数的值域和三角形内角的取值范围，判断角的可能取值，即可确定三角形的解的个数.

二、三角形的面积问题

解：由余弦定理可得[b2=a2+c2-2accosB]，

因为[asinA-sinC=bsinB-csinC]，

由正弦定理可得[a2-ac=b2-c2]，

可得[a2+c2-b2=ac]，

由余弦定理可得[b2=a2+c2-2accosB=a+c2-2ac-2accosB]，

则[16=64-3ac]，解得[ac=16]，

三、三角形的边长问题

哪些是要求的；再根据正弦定理、余弦定理列式，通过计算，求得边长.

解答本题，要先在锐角△ABC中，根据正弦定理求得AC的长以及cos C；然后在△ACD中，根据余弦定理求得AD的长和cos∠DAC，即可在Rt△AFE中，根據勾股定理求得AF的长.

解答三角形问题，要注意：（1）要灵活运用正余弦定理、勾股定理进行边角互化；（2）挖掘有关三角形的边、角的隐含条件；（3）选用合适的公式、定理进行求解；（4）学会借助图形来辅助解题.