如何解答不等式问题

史淑敏

不等式问题有很多种，常见的有线性规划问题、一元二次不等式问题、抽象函数不等式问题、证明不等式问题等.每种不等式问题的特点、命题形式、解法均有所不同.下面结合实例进行探讨.

一、线性规划问题

线性规划问题往往会给出一组二元一次不等式，要求在线性约束条件下求目标函数的最大值或最小值.解答这类问题，要先将不等式所对应的二元一次方程看作一条直线，根据二元一次不等式组画出可行域；然后挖掘目标函数的几何意义，将其看作直线的斜率、截距、距离等；再在可行域内寻找目标函数取得最值时的点、线段，从而求得最值.

解：不等式组表示的可行域如图1中阴影部分所示．

解答线性规划问题，需在平面直角坐标系中，画出不等式所对应的方程所表示的直线；然后确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧，画出可行域.值得注意的是，若不等式中无等号，则直线应画成虚线；有等号，则直线应画成实线.

将三个方程[x-y+1=0]，[x-2y=0]，[x+2y-2=0]，两

二、一元二次不等式问题

一元二次不等式问题常以选择题、填空题的形式出现.此类问题侧重于考查函数、集合、不等式的性质.解答一元二次不等式问题，需首先根据一元二次不等式ax2+bx+c>（<）0，建立方程ax2+bx+c=0；然后利用求根公式，或通过因式分解求得方程ax2+bx+c=0的根；再画出一元二次函数y=ax2+bx+c的图象，根据△与0的关系，图象上的点与x轴的位置关系，确定不等式的解集.

解：画出[y=xx+4]的图象，如图3所示，可知[A=x-4

∵[x<0]，

∴[A?B=-4，-3]，∴正确答案为[B]项.

先画出[y=xx+4]的图象，即可确定[x]轴下方的图象上的点的集合，即为A的解集；然后根据基本不等式，求得y的取值范围，即可求得集合B.

例4.若不等式[x2-5x+6<0]的解集满足关于[x]的不等式[2x2-9x+a<0]，则[a]的取值范围为_____.

解：解一元二次不等式[x2-5x+6<0]得[2

即不等式的解集为[2，3]，

令[fx=2x2-9x+a]，

∵不等式[2x2-9x+a<0]的解集滿足[2

解不等式组可得[a≤9]，即[a]的取值范围为[-∞，9].

首先求得一元二次不等式[x2-5x+6<0]的解集；然后根据“不等式[2x2-9x+a<0]的解集满足[2

三、抽象函数不等式问题

抽象函数不等式问题的难度一般较大，由于问题中没有给出具体的解析式，所以往往需重点研究函数的性质，利用函数的对称性、周期性、奇偶性将不等式两侧式子的自变量转化到同一个单调区间内，根据区间上函数的单调性来解不等式.

[A.-2，0?2，+∞] [B.-3，-1?0，1]

[C.-2，0?2，+∞] [D.-2，0?0，2]

解：∵定义在[R]上的奇函数[fx]在[-∞，0]上单调递减，

∴函数[fx]在[0，+∞]上单调递减，

∵[f2=0]，∴[f-2=0]， [f0=0]，

当[x∈-∞，-2?0，2]时， [fx>0]，

当[x∈-2，0?2，+∞]时， [fx<0]，

∴正确答案为[D]项.

解答本题，要先根据函数的奇偶性，判断出当[-∞，0]和[0，+∞]时函数的单调性，以及在各个区间上函数值的符号；然后根据函数的单调性，去掉函数在x>0、x<0时的符号“f ”，得到关于[x]的不等式，从而求得不等式的解集.

可见，解答不等式问题需注意：（1）将问题与函数、方程关联起来，将问题进行合理的转化；（2）灵活运用数形结合思想、转化思想来辅助解题；（3）熟练运用解一元一次不等式、一元二次不等式的技巧.