灵活运用数学思想，提升解答立体几何问题的效率

吴飞鹏

立体几何问题对同学们的抽象思维和空间想象能力有较高的要求.在解答立体几何问题时，灵活运用数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想等能有效地提升解题的效率.下面结合实例进行探讨.

一、转化思想

转化思想是指采用某些手段，如换元、构造函数、添加辅助线等手段，使问题转化，以从另一个角度寻找到解题的思路.在解答立体几何问题受阻时，可运用转化思想，将问题与向量的运算法则、函数的单调性、方程的根等关联起来，通过添加辅助线，把问题转化为函数、向量、方程等问题来求解.这样就能另辟蹊径，快速获得问题的答案.

例1.如图1所示，四棱锥[A-BCDE]满足棱长[AB=CD=2BE=22]，[AC=BC=2]，[BE]∥[CD]，侧棱[DA]的中点是[F]，且[CD⊥]平面[ABC].

（Ⅰ）证明：[EF]∥平面[ABC]；

（Ⅱ）证明：平面[ACD⊥]平面[BCDE].

（Ⅲ）求直线[BD]与平面[AED]的夹角[θ]的正弦值.

解：（Ⅰ）设[M]是侧棱[AC]的中点，连接[FM，BM]，

因为侧棱[DA]的中点是[F]，侧棱[AC]的中点是[M]，

所以△[ACD]的中位线是[MF]，

从而可知四边形[EFMB]是平行四边形，因此[EF]∥[BM].

所以[AC2+BC2=AB2]，因此[AC⊥BC].

而[CD⊥]平面[ABC]，[AC?]平面[ABC]，则[CD⊥AC].

而[BC?CD=C]，则[AC⊥]平面[BCDE].

又[AC?]平面[ACD]，故平面[ACD⊥]平面[BCDE].

（Ⅲ）因为[CD⊥]平面[ABC]，所以[CD⊥CA]，[CD⊥CB].

所以[AC2+BC2=AB2]，所以[AC⊥BC].

因此三条直线[CA，CB，CD]两两互相垂直，分别以[CB，CA，CD]为[x，y，z]轴，建立空间直角坐标系[C-xyz]，如图2.

我们先根据线面平行的判定定理证明[EF]∥平面[ABC]，并根据面面垂直的判定定理证明平面[ACD⊥]平面[BCDE]，即可得到三条互相垂直的直线[CA，CB，CD]，据此建立空间直角坐标系，求得各个点的坐标，进而运用转化思想，将问题转化为空间向量的坐标运算问题；然后通过空间坐标运算，求得[BD]的方向向量以及平面[AED]的法向量，即可根据向量的数量积公式求得夹角.运用转化思想解答立体几何问题，需寻求问题与其他知识之间的联系，从而将问题转化.

二、分类讨论思想

有些立体几何问题比较复杂，需要分多种情况进行讨论，此时可灵活运用分类讨论思想，将问题中点的位置、直线与平面所成的夹角、图形的形状等视为讨论对象，按照一个统一的标准对其进行分类讨论.在运用分类讨论思想解题时，要细致地划分并讨论每一个类别，不重复、不遗漏任何情况，最后还需注意对各种讨论结果进行汇总.

例2.如图3所示，已知正方体[ABCD-A1B1C1D1]的棱长为[1]，侧面[AA1D1D]的中心是点[F]，棱[C1D1，BB1]的中点分别为[E，G]，求空间四边形[BGEF]在该正方体各面上的最大射影面积．

解：分下列三種情况进行讨论、分析.

由于正方体具有对称性，所以只需考虑空间四边形[BGEF]在正方体的三个相邻面上的投影面积，运用分类讨论思想，分别讨论下底面、右侧面、前面上的射影面积，即可获解.

三、数形结合思想

解答立体几何问题通常需用到数形结合思想.在解答立体几何问题时，可先画出相应的几何图形；然后把数和形结合起来分析，根据图形的性质建立数量关系，或者把数量关系以图形之间的位置关系呈现出来，这样可使抽象问题具体化，能快速找到解题的思路.

例3.如图7，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，求点P到直线CC1的距离的最小值.

解：如图8，建立空间直角坐标系[D-xyz]，

则[D1（0，0，2），E（1，2，0）]，[C（0，2，0），C1（0，2，2）]，

从正方体的结构特征出发，很容易建立空间直角坐标系，求得各个点的坐标，即可将立体几何问题转化为空间向量运算问题，从而通过数形之间的转化，快速求得最小值.

总之，在解答立体几何问题时，灵活运用数学思想，能有效地提升解题的效率.但是同学们需熟练掌握这些数学思想的特点、适用情形、用法以及注意事项，这样才能在解题时信手拈来.