低耦合度PRPaR-2CPR并联机器人机构设计与运动学分析

2023-12-04夏蓉花刘艳梨

机床与液压 2023年21期

夏蓉花，刘艳梨

(1.江苏安全技术职业学院机械工程系，江苏徐州 221000；2.南京航空航天大学机电学院，江苏南京 210016)

0 前言

三平移(3 Translation，3T)并联机器人机构具有精度高、控制容易、刚度高等优势[1]，在工业生产、制造、医疗、军工等领域替代人类承担重复性的工作[2]，因此在食品、药品、电子等领域得到了广泛的应用。最早外国学者CLAVEL设计能实现高速精准运动的Delta并联机器人机构[3-4]，而后国内外学者研发出各种支链对称、结构简单的三平移并联机器人机构。

目前，少自由度三平移并联机器人机构的设计与研究一直是国内外研究热点。范圣耀等[5]根据实际存在的可操作度问题，提出工作空间整体求解方法，同时提出基于正解条件数的优化方法改善机构的性能。李泽辉等[6]设计一种用于苹果加工过程中的分拣的2-CRR/UPU并联机构，根据螺旋理论验证其运动性质，探讨奇异性存在的条件，计算灵巧度的分布规律，分析表明：机构具有运动稳定、工作空间大的特点。沈惠平等[7]设计一种低耦合度的三平移并联机构，根据方位特征集验证机构具有解析式位置正解，计算得到运动学方程位置解表达式，研究操作空间和奇异性性能指标，对比理论计算和仿真分析的运动规律，证明理论计算的准确性。李永泉等[8]设计一种以图谱法为基础的三平移并联机构型综合方法，对分支机构进行构型创新，运用图谱法中的线图等效原则，综合出大量解耦或半解耦新机构，并根据螺旋理论验证设计机构的运动性质，证明该方法的可靠性。朱伟等人[9]设计一种质量轻、高加速度、大工作空间的三平移绳驱动并联机构，根据矢量法建立运动学方程，探讨了中间弹性支链对任务工作空间和可达工作空间对机构的影响，建立绳索的驱动力数学模型，对弹性支链结构参数进行优化。

以上提出的三平移并联机构大部分都是对称机构，而在非对称并联机构这一大类中，仍存在一部分性能较为优异的机构有待研究和发现。本文作者根据拓扑结构综合理论，设计一种支链含平行四边形结构且低耦合度新型PRPaR-2CPR三平移并联机构，并对其进行运动学建模和分析，分析奇异存在的情形，研究得到工作空间和灵巧度性能图谱，基于任务工作空间和灵巧度两大指标建立目标优化数学模型，完成尺寸参数的最优化设计。

1 并联机构结构分析

1.1 构型设计

图1 PRPaR-2CPR并联机构结构简图Fig.1 Structural diagram of parallel mechanism of PRPaR-2CPR：(a)vertical view； (b)structural diagram

图2 并联机构三维模型Fig.2 3D model of parallel mechanism

表1 参数描述Tab.1 Parametric description

1.2 拓扑特性参数计算

基于方位特征集拓扑设计理论进行自由度的计算[10]，具体公式定义为

(1)

基本运动链的耦合度κ为

(2)

其中：

(3)

式中：mj为第j个SOC的运动副数；Ij为第j个SOC的驱动副数。

(1)结合机构结构简图以及各运动副之间的位置关系，根据方位特征集的“并运算”规则，分析出每条支链的POC集Mbj。

(4)

式中：Mbj为支链j的方位特征集；t为移动特征；r为转动特征。

②支链2、3的单开链为：SOC{-Ci⊥Pi2//Ri3}(i=2，3)，支链2、3执行末端产生的POC集为3T1R，计算出支链的Mbj为

(5)

(2)分析第一条独立回路的位移方程。以第2支链SOC{-C2⊥P22//R23}与第3支链SOC{-C3⊥P23//R33-}构成一个整体，形成独立运动回路，根据公式(1)，则独立回路SOC{-C2⊥P22//R23-C3⊥P23//R33-}的位移方程ξL1为

(6)

① 计算由支链2和3构成的单开链为SOC{-C2⊥P22//R23-C3⊥P23//R33-}的子并联机构的POC集为

(7)

② 将参数代入式(1)，得到单开链为SOC{-C2⊥P22//R23-C3⊥P23//R33-}的子并联机构的自由度F2-3

(8)

ξL2=dim{MPa(3-2)∪Mb1}=

(9)

① 并联机构的POC集MPa(1-2-3)

MPa(1-2-3)=MPa(3-2)∩Mb1=

(10)

得出机构自由度F1-2-3

(11)

(4)约束度Δj分析。根据上述步骤代入式(3)中，计算过程为

(12)

2 机构的位置分析

2.1 位置逆解分析

取动平台的几何中心点P坐标(x，y，z)，逆解分析是指根据执行末端输出(x，y，z)得到主动副输入(d1，l2，l3)的分析过程[11]。为了简化计算，建立动静平台坐标系，分别在静、动平台的几何中心O、P建立坐标系静{O-xyz}、动坐标系{P-uvw}。其中：x轴经过点O，并平行于T1T2；y轴经过点O，并平行于T2T3；z轴经过点O，垂直于平面T1T2T3T4，并指向动平台；u轴经过点P，并经过PA2；v轴经过点P，并经过PA1；w轴经过点O，垂直于平面A1A2A3，并指向偏离静平台方向。其中点Ai在动坐标系{P-uvw}下的坐标：

(13)

根据机构的性质，机构具有空间三移动的特点，因此，动坐标系相对于静坐标系仅存在移动变换，变换矩阵：

(14)

因此，点Ai在静坐标系{O-xyz}下的坐标：

(15)

对于支链1而言，点B1在静坐标系{O-xyz}下的坐标为B1(d1,-R,0)。根据杆长的不变性，建立以下约束方程：

|OAi-OBi|-L=0 (i=1)

(16)

支链2、支链3移动副的位移恒定为li，建立约束方程为

(17)

B2和B3的位置坐标符合外积原理，得到以下关系式：

(18)

通过式 (16)(17)，得到运动约束方程为

(19)

将(d1，l2，l3)分离，得到逆解表达式为

(20)

2.2 位置正解分析

已知驱动副输入(d1,l2,l3)，计算动平台点P(x,y,z)。根据MATLAB计算正解表达式，由于表达式过于复杂，这里省略。

2.3 速度分析

(21)

(22)

式中：Jl为逆雅克比矩阵；JX为正雅克比矩阵。

若JX非奇异，则

(23)

若Jl非奇异，则

(24)

2.4 位置分析数值验证

根据逆解表达式，逆解算例如表2所示。正解算例如表3所示。

表2 逆解算例单位：mTab.2 Inverse solution Unit：m

表3 正解算例单位：mTab.3 Positive solution Unit：m

通过正逆解算例对比，可以发现一组逆解存在8个解，而正解可以有4组和2组(本来有8组解，存在4个或者6个为复数解)，且正逆解相互印证。

3 奇异分析

3.1 逆解奇异性分析

机构逆解奇异发生的条件为det(Jl)=0且要求det(JX)≠0。计算得到det(Jl)表达式为

det(Jl)=-8(d1-x)l2l3

(25)

满足det(Jl)=0存在3种情况，但是支链2、3驱动副位移为0的情况受驱动范围的限制不存在，逆解奇异条件只有一种当x=d1，此时，平面A1B1A3B3垂直于静平台时会出现卡滞情况。图3所示为逆解奇异情形。

（3）临沂城区道路灰尘中 Pb、Cd、Cu、Zn、Cr、Ni 6种重金属有着不同的人为来源。其中，汽车轮胎磨损与燃油泄漏等交通活动是Cd、Cu、Zn 3种重金属的主要人为来源，而人为 Pb、Cr、Ni污染主要来自居民生活燃煤排放。

图3 逆解奇异情形Fig.3 Singular case of inverse solution

3.2 正解奇异性分析

机构正解奇异发生的条件为det(JX)=0且要求det(Jl)≠0。经推导计算得到det(JX)的表达式为

det(JX)=y(x-d1)+(2y+d1+x)(R-r)

(26)

正解奇异出现条件为det(JX)=0，即存在条件是：情况一y=0，R=r；情况二x=d1，R=r。

正解奇异存在2种情况：情况一，y=0，R=r，支链2和z轴共面。此时，机构稳定性差，不容易控制。情况二，支链1、支链3所构成的平面垂直于静平台。平面A1B1A3B3垂直于静平台。2种情况的奇异情形如图4所示。

图4 正解奇异情形Fig.4 Singular case of positive solution：(a)case 1；(b)case 2

4 性能指标分析

4.1 工作空间分析

工作空间是机器人执行末端满足运动约束条件的工作区域[12]。为了仿真分析机构的操作空间的三维曲面图，选择边界数值搜索法搜索工作空间的边界区域，得到机器人机构的可达工作空间图形。以表4中数值为例，计算得到工作空间曲面，如图5所示。

图5 工作空间三维图Fig.5 3D diagrams of mechanism workspace：(a)3D diagram of the workspace；(b)projection on the yOz plane ；(c)projection on the xOy plane；(d)projection on the xOz plane

表4 求解工作空间算例数值Tab.4 A set of parameter values of mechanism

由图5可知：操作空间形状类似于半圆柱，对称分布且临界面光滑、无空洞情况。沿着xOy平面投影为矩形，随着z值的增加，沿着xOy平面界面逐渐缩小，沿着yOz平面投影为半椭圆形状，并关于x=-0.1 m对称分布。沿着xOz平面的投影为半椭圆形状，并关于x=-0.1 m对称分布。

4.2 灵巧度分布分析

为了直观表达机构运动的传递性能，常用灵巧度指标评价机构运动性能优劣，一般取条件数的倒数作为灵巧度的计算公式[13]。计算表达式如下：

(27)

图6所示为机构的灵巧度分布规律，不同高度下LCI的最大值都不同，当z=0.3 m时灵巧度最大，LCI连续分布，不存在跳跃突变的情况，灵巧度最大区域不是在中间区域，并且灵巧度分布曲面不是很光滑，因此需要进一步提高传递性能。可对其参数进行优化设计来改善运动性能。

5 参数对运动灵巧度和工作空间的影响规律

不同参数下机构的运动性能存在差异，定量分析参数对机构的工作空间和灵巧度的影响规律，为机构的优化设计提供参考。给定如下的参数的范围具体如下：

(28)

根据遍历的点，通过线性回归，得到全局灵巧度和体积的量纲一线性回归式如下：

LCI=0.207 7-0.382 4R+0.407r+0.055L

(29)

相关系数R2=0.866 2；F=3.37×105(2.60)；p=8.37×10-4。

V=0.239 8-0.584 9R+0.574 3r+0.166 9L

(30)

相关系数R2=0.732 4；F=1.42×105(2.60)；p=0.004 3。

通过遍历的方法得到了全局灵巧度和体积在参数空间的分布，如图7所示，可以发现灵巧度和体积较大的区域都集中在r较大的范围内。并且全局灵巧度和工作空间体积在参数空间的4维分布和线性回归表明：灵巧度和工作空间体积性能指标与R负相关，与r、L正相关，r对这两个指标的影响显著，其线性系数较大，并且计算出的R2都大于0.7，F都远大于括号内的查表值2.6，F检验通过；α=0.05>p表明其线性关系是显著的。因此可以用式(29)(30)进行全局灵巧度和体积的粗略估算。

图7 全局灵巧度和工作空间在参数空间的4维分布图Fig.7 4D distribution of global dexterity and workspace in parameter space：(a)influence of parameters on workspace；(b)influence of parameters on kinematic dexterity

6 给定任务工作空间内灵巧度优化

6.1 优化模型建立

针对实际工程需求，期望在有限的操作空间内获得更好的运动灵活性性能。即在任务工作空间内要求全局灵巧度较好，可通过优化PRPaR-2CPR并联机构的几何设计变量来解决在任务工作空间内要求全局灵巧度较好的尺寸综合问题。考虑到最大灵巧度附近的区域都是连续分布的，为了得到任务工作空间内运动性能较好，首先找到这个机构中灵巧度最大的区域或点的坐标的区域，以这个点为一个长方体(任务工作空间)的中心或者底部中心点，长方体的长宽高可以给定，寻找一组参数使得这个给定长宽高空间的平均灵巧度最大或较优。目标函数模型如下：

(31)

(32)

具体的目标优化步骤如下：

(1)精确计算一组参数的机构可达空间的边界范围，采用蒙特卡罗法进行计算，若参数没有可达空间则目标函数值惩罚为一个较小的负数，并转入下一组参数；

(2)若有可达工作空间，根据步骤(1)的边界范围采用网格搜索法，获得最大灵巧度值LCIMAX和该最大灵巧度值点坐标(x0，y0，z0)，若LCIMAX<0.9，则目标函数值惩罚为一个较小的负数，并转入下一组参数；

(3)若LCIMAX≥0.9，给定搜索点数目为n，采用蒙特卡罗法计算给定工作空间(长方体)的全局灵巧度值GCI和符合机构约束的点的数目p，若p

图8 算法搜索流程Fig.8 Algorithm search flowchart

6.2 算法选择和算例分析

根据上面建立的在任务工作空间内的全局灵巧度目标函数，选择具有全局优化能力的遗传算法(Genetic Algorithm，GA)实现多约束变量的单目标寻优[14-15]。遗传优化算法初始参数如表5所示。

表5 遗传算法初始参数选择Tab.5 Initial parameter selection of genetic algorithm

同时为了计算简便，选择任务工作空间的形状长方体，长方体体积为0.4×0.4×0.2 m3，底面中心点为灵巧度最大值对应的空间坐标。根据MATLAB软件编程得到优化目标随迭代次数的变化如图9所示。目标函数在迭代次数为50左右时趋于稳定，并稳定在0.373 3左右；得到优化后的尺寸参数的最优值如表6所示。

图9 优化目标随迭代次数变化Fig.9 Variation of optimization objectives with iteration times

表6 PRPaR-2CPR并联机构参数值对比Tab.6 Comparison of parameter values of PRPaR-2CPR parallel mechanism

6.3 优化算例分析

利用优化后的结构参数得到给定工作空间和可达工作空间的界面以及灵巧度的分布，如图10—11所示。如表6所示，在此参数下全局灵巧度为0.180 9，给定任务工作空间为0.373 3，整体灵巧度提升了1倍，极大地改善了任务工作空间内的运动性能。并且从图11(c)看出，最大灵巧度接近1，并且都集中在中间部分，因此在得到的给定任务工作空间内具有较光滑的机构运动性能。