一个加强欧拉不等式的几何意义及应用

戴程嘉 刘金强 李春霞

在文［1］中，作者得到了一个欧拉不等式的加强形式，即在△ABC中，Rr≥（a+b）（b+c）（c+a）4abc≥rR+32.

再利用欧拉不等式我们可得到下面这个不等式链：在△ABC中，Rr≥（a+b）（b+c）（c+a）4abc≥2≥rR+32.

证明：利用基本不等式得（a+b）（b+c）（c+a）≥2[KF（]ab[KF）]·[KF（]bc[KF）]·2[KF（]ca[KF）]=8abc.所以（a+b）（b+c）（c+a）4abc≥2.由歐拉不等式得Rr≥2，即0＜rR≤12，所以32＜rR+32≤2，不等式链得证.