利用同构法探究圆锥曲线双切线问题

华南师范大学数学科学学院(510630)吴悦彤

本文中的同构式是指除了变量不同,结构相同的两个式子.在解析几何问题中,有时会出现一些除了变量以外结构完全相同的式子,解题时利用其同构的特点,寻求其与问题的内在联系,进而利用同构后的某种性质进行解题,这种同构法会给解题带来极大方便,在运用同构法解题时,我们要先识别出“形相似”,进而得到“同构式”,这是运用同构法解题的关键.

2021 年高考乙卷理科第21 题以解析几何知识作为命题内容,此题的命题背景是阿基米德三角形,是一道典型的抛物线“双切线”问题,由于“双切线”的结构相似,所以常常可以利用同构法解题.

1 试题及其解析

题目已知抛物线C:x2=2py(p＞0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1 上点的距离的最小值为4.

(1)求p;

(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求ΔPAB面积的最大值.

本题的第(1)问较简单,本文只研究第(2)问,解法有多种,本文运用同构法解决此题.

同构解法一由(1) 得抛物线C的方程为x2=4y.设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则抛物线的切线PA的方程为y-y1=(x-x1).点P在切线上,所以即

同理可得

所以直线AB的方程为2y-x0x+2y0=0.将其与抛物线方程联立,由韦达定理得x1__+x2=2x0,x1x2=4y0.所以

点P到直线AB的距离所以

由-5 ≤y0≤-3,得当y0=-5 时,SΔPAB取得最大值为证毕.

评注发现切线PA,PB“形相似”,先求出点A,B的切线方程,利用两切线共点,进而得到“式同构”,从而发现A,B两点都在直线2y-x0x+2y0=0 上,巧妙地求得动弦AB的方程,体现了同构思想.其难点在于考生从同构式中抽象出动弦AB的直线方程.

同构解法二由(1) 得抛物线C的方程为x2=4y.设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则切线PA的方程为将点P(x0,y0)代入得

同理可得

由于x1,x2均满足方程x2-2x0x+4y0=0,由韦达定理:

x1x2=4y0.设弦AB的中点为Q,则所以PQ//y轴,从而

又

评注利用同构式,构造一元二次方程,再利用韦达定理得到两切点的关系式,从而根据图形特征巧妙利用分割得到ΔPAB面积表达式.其难点在于考生从式中发现图形的特别之处.

2 第(2)问的变式

原题中,抛物线两切线的交点在某一曲线上运动,引发两条切线运动,从而导致抛物线切点弦的运动,反过来,满足某一运动规律的抛物线切点弦,会导致该抛物线的两条切线发生变化,从而导致两切线的交点发生运动,那么此时交点的轨迹如何? 两种情况的“主动”对象和“被动”对象相反,但所含的元素类似,均为抛物线的“双切线”问题,是否仍然能根据“双切线”的“形相似”,用同构法求解? 下面给定抛物线的切点弦满足的运动规律为:切点弦所在直线为圆x2+(y+4)2=1 的切线,得到以下命题:

变式1已知抛物线C:x2=4y与圆M:x2+(y+4)2=1,点Q为M上一动点,过点Q作M的切线与C相交于A,B两点,若抛物线C在A,B两点处的切线相交于点P,求点P的轨迹方程.

证明设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x3,y3),P(x0,y0).圆M在点Q处切线的斜率为则圆M在点Q处的切线方程为x3x+(y3+4)(y+4)=1,即直线AB的方程为x3x+(y3+4)(y+4)=1.因为抛物线的切线的斜率为,所以切线PA的方程为2y-x1x+2y1=0,由于点P在切线上,所以2y0-x1x0+2y1=0.同理得,切线PB的方程为2y0-x2x0+2y2=0,所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.因为x3x+(y3+4)(y+4)=1 与x0x-2y-2y0=0表示同一条直线,所以即y3=代入x2+(y+4)2=1,得联立方程组得x2-2x0x+4y0=0.因为直线AB与抛物线有两个不同的交点,所以所以(y0-4)2-1,即所以y0＞或因此,点P的轨迹是双曲线的一部分,其方程为证毕.

3 第(2)问的推广

如果将确定的抛物线改为任意的抛物线、椭圆,将确定的圆改为圆心在y的负半轴轴上的任意的圆(由对称性,本文只讨论圆心位于y轴的负半轴的情形,圆心位于y轴的正半轴的情形类似可求),是否仍有当点P运动到圆的最低点时,ΔPAB的面积最大?

通过探究发现上述问题的答案是否定的,利用同构法讨论当点P运动何处时,ΔPAB的面积最大,并获得以下命题:

命题1已知抛物线C:x2=2py(p̸= 0) 和圆M:x2+(y+m)2=r2(m,r＞0),若点P(x0,y0) 在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点.

(1)当p＜0 时,ΔPAB不存在.

(2) 当p＞0 时,若0 ＜r≤p,则当y0=-m-r时,ΔPAB的面积最大,最大值为若r＞p,则当y0=-m-p时,ΔPAB的面积最大,最大值为

证明(1)当p＜0 时,抛物线C开头向下,切线PA,PB不存在,所以ΔPAB不存在.

(2)当p＞0 时,抛物线C开口向上.若m＞r＞0,抛物线C与圆M无交点.则y0∈[-m-r,-m+r]时,切线PA,PB存在,ΔPAB存在;若r≥m＞0,抛物线C与圆M有交点,联立圆M与抛物线C的方程得y2+2(m+p)y+m2-r2=0,解得所以当y0∈时,切线PA,PB存在,ΔPAB存在.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则抛物线C的切线PA方程为将P(x0,y0) 代入得y0-y1=整理得py1-x0x1+py0=0.同理得py2-x0x2+py0=0,所以直线AB的方程为

点P到直线AB的距离所以ΔPAB的面积为

命题2已知椭圆C:= 1(a＞b＞0)和圆M:x2+(y+m)2=r2(m,r＞0),若点P(x0,y0)在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点.

(1)当m+r≤b时,ΔPAB不存在;

(2)当m+r＞b时,当y0=-m-r时,ΔPAB的面积最大,最大值为

证明(1)当m+r＜b时,圆M在椭圆C内部,此时切线PA,PB不存在,ΔPAB不存在;当m+r=b时,点A和点B重合,ΔPAB不存在.

(2)当m+r＞b时,设区间Y⊂[-m-r,-m+r]为使得ΔPAB存在的所有y0的集合.设A(x1,y1),B(x2,y2),y1,y2∈Y,则椭圆C的切线PA的方程为将P(x0,y0)(y0∈Y)代入得= 1.同理可得所以直线AB的方程为联立直线AB与椭圆C的方程,由韦达定理得

故

点P到直线AB的距离所以ΔPAB的面积为

一族平面直线的“包络”是指与这族直线中任意一条都相切的曲线.在命题2 的探究过程中发现,当m＞r＞0,即抛物线C与圆M无交点时,动点P在圆上运动时,动直线AB随之变化,利用GeoGebra 软件跟踪动直线AB的轨迹,可以看到动直线AB形成的区域的边界像是中心在y轴上的双曲线(如图1),于是猜想动直线AB包络成一双曲线.

图1

引理1[1]设A,B,C是关于x,y的函数,以λ为参变量的方程Aλ2+Bλ+C=0 表示的曲线族的包络线是B2-4AC=0.

命题3已知抛物线C:x2=2py(p＞0) 及圆M:x2+(y+m)2=r2(m＞r＞0),P为M上一动点,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,则切点弦AB所构成的直线族的包络线为双曲线

证明由命题2 中式可知,切点弦AB所在直线的方程为py+py0=x0x,两边同时平方得p2y2+代入,得由引理1 知,直线族py-x0x+py0=0 的包络线是(2p2y+2mx2)2-4(p2+x2)(p2y2+m2x2-r2x2)=0,化简并变形得因此,满足r2(m＞r＞0)的直线族py-x0x+py0=0(p＞0)的包络线是一双曲线.

注对于m＞r的情况,由于抛物线与圆有交点,所以存在y0使得切线PA,PB不存在,所以动直线AB不存在,因此,当m＞r时,切点弦AB所在直线的包络线是一不完整的双曲线.

下面的问题是一个与包络线有关的问题,供有兴趣的读者思考.

题目(2020 年北大强基计划)从圆x2+y2=4 上的点向椭圆C:引切线,两切线间的线段称为切点弦,则椭圆C内不与任何切点弦相交的区域的面积为()

结束语“问题是数学的心脏”,通过问题引发探究,发现新内容.教师通过探究问题的变式及一般情形,加深对此类问题的理解,才能站在更高的角度看问题,同时可以发现推广到椭圆和双曲线时,解题思路类似,同样可以运用同构法解题.因此,一方面教师可根据上述命题命制题目,作为原题的变式题让学生尝试解决,另一方面,教师可提问学生“改变抛物线或圆的方程,是否仍有:当点P 运动到圆的最低点时,ΔPAB 的面积最大? ”,从而引发学生探究,使学生在巩固运用同构法解决圆锥曲线双切线问题的同时,提高问题意识,培养创新能力.