2023 年高考新课标Ⅰ卷数列题解法探究与变式推广

广州市第九十七中学(510288) 黄艳

广州市南海中学(510170) 沈钢

2023 年全国新课标Ⅰ卷第20 题与第7 题都是以等差数列为背景,涉及等差数列基本量的运算和等差数列与函数本质关系,很好的考察了学生的推理论证能力和计算能力,体现了试题选拔功能.对于等差数列,不应该止步于会解,可以引导学生深入探究等差数列的知识背景,挖掘问题的本质.本文对其进行多种解法解答与分析,通过与教材对比,充分挖掘等差数列的通项与一次函数的关系和其前n项和与二次函数的本质关系,进行变式推广.为师生复习备考指明方向,提高教学质量.

一、试题与评析

题目1(2023 年高考新课标Ⅰ卷第7 题)记Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙:为等差数列,则()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

题目2(2023 年高考新课标Ⅰ卷第20 题)设等差数列{an}的公差为d,且d＞1.令记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和.

(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通项公式;

(2)若{bn}为等差数列,且S99-T99=99,求d.

评析2023 年高考新课标Ⅰ卷的两道数列题都是以等差数列为知识背景,考查学生对等差数列的通项和前n项和的本质.这两道题都非常新颖,有创新,有一定的灵活性,难度适中,注重对学生理解能力,分析运算能力的考查.

二、解法探究

题目1 的解答甲:{an} 为等差数列,设数列{an}的首项a1,公差为d,即则为等差数列,即甲是乙的充分条件; 反之,乙:为等差数列,即S1+(n-1)D,即Sn=nS1+n(n-1)D,Sn-1=(n-1)S1+(n-1)(n-2)D,当n≥2 时,上两式相减得:Sn-Sn-1=S1+2(n-1)D,当n=1 时,上式成立,于是an=a1+2(n-1)D,又an+1-an=a1+2nD-[a1+2(n-1)D]=2D为常数,因此{an}为等差数列,则甲是乙的必要条件,所以甲是乙的充要条件.

注属于中档题目,主要考查学生的对等差数列的本质认识.

题目2 第1 问是等差数列基本量的运算,难度不大,下面着重对题目2 的第2 问进行探讨.

解法1因为{bn} 为等差数列,所以2b2=b1+b3,即所以即-3a1d+2d2=0,解得a1=d或a1=2d,因为d＞1,所以an＞0,又S99-T99=99,由等差数列性质知,99a50-99b50=99,即a50-b50=1.所以即解得a50=51 或a50=-50(舍去).当a1=2d时,a50=a1+49d= 51d=51,解得d=1,与d＞1 矛盾,无解;当a1=d时,a50=a1+49d=50d=51,解得

解法2因为{an} 是公差为d的等差数列,所以an=dn+c,又因为bn=为等差数列,即所以bnan=n(n+1)且bn为关于n的一次函数,所以an与bn各有1 个n或n+1 的因式.

S99-T99=99a50-99b50=99×51d-99×50×=99,所以51d2-d-50=0 得d=-1 或d=不符合d＞1.综上,

解法3因为{an},{bn} 是等差数列,可设an=dn+c,bn=an+b,因为bn==an+b,得n2+n=adn2+(ac+bd)n+bc,所以ad=1,ac+bd=1,bc=0.

评注解法1 中,{bn}是等差数列,前三项成为等差数列,利用等差中项和等差数列的基本量运算求出a1与d的联系,然后通过等差数列的前n项和与等差数列的性质运算;解法2 和解法3 本质上都利用等差数列的通项公式为一次函数的特点.本题考查等差数列的性质,等差数列的通项公式与求和公式的应用,方程思想,化归转化思想,分类讨论思想,属中档题.

以上两题本质都是理解等差数列的等价条件,记Sn为数列{an}的前n项和,(1){an}为等差数列为等差数列;(2){an}为等差数列⇔Sn=an2+bn,(3){an}为等差数列⇔an=an+b,因此这两题出题非常好,是考查学生数学概念理解的好题.

三、试题溯源及变式探究

高考题的命题来源于教材,但是往往又高于教材,因而我们的课堂教学要回归课本,扎根于教材,好好研究课本的习题,很多高考题都是教材习题的变式题.本文的题目1 与题目2 都是等差数列与前n项和的理解,深入研究,可以在教材中找到此题的“题根”.

题目3(题目1 溯源:新教材选择性必修第二册第四章数列第25 页第7 题)已知记Sn为等差数列{an}的前n项和,(1)证明:为等差数列;(2)设Tn为数列的前n项和,若S4=12,S8=40,求Tn.

题目4(题目2 溯源:新教材选择性必修第二册第四章数列41 页拓广探索第12 题节选)已知数列{an}为等差数列,前n项和为Sn,数列{bn}满足求证:数列{bn}为等差数列.

评注题目3 和题目4 本质也是等差数列的通项及前n项和特点的转化:(1){an}为等差数列为等差数列;(2){an}为等差数列⇔Sn=an2+bn,(3){an}为等差数列⇔an=an+b.对教材的题目进一步研究,可以有以下变式,可以更好的去理解等差数列的通项和前n项和的本质.

变式1若数列{an}是公差为d的等差数列,且d＞1.数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若数列{bn}为等差数列,且且2S99-T99=99,求d.

解因为{an} 是公差为d等差数列,设an=dn+c,又因为{bn} 是公差为d等差数列,且前n项和为Tn,则从而(n+1)(n+2)=(an+b)(dn+c),得n2+3n+2=adn2+(ac+bd)n+bc,所以ad=1,ac+bd=3,bc=2,解得(bd)2-3bd+2=0,得bd=1 或bd=2.

变式2已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且

解依题意知设Sn=k(2n2-n),Tn=k(n2+n),因为a3=S3-S2=15k-6k=9k=9,所以k=1,Sn=2n2-n,Tn=n2+n,n=1,a1=S1=1,当n≥2 时,an=Sn-Sn-1=4n-3,故an=4n-3,同理bn=2n.

评注变式1 和变式2 都是利用等差数列的前n项和的特征,考查了学生转化数学思想和函数思想.

四、课本习题的变式与推广

对于给定的数列{an},记bn=an+1-an,我们分别考虑bn=d(常数);bn=an+b,a̸=0;时,{an}的特点.

情形1若an+1-an=d( 常数),则数列{an} 为等差数列,其前n项和Sn.其特征性质有:{an}为等差数列为等差数列⇔an=an+b.

以等差数列为载体,从函数的角度,等差数列的前n项和是含n为因式的二次函数,等差数列的通项是一次函数,一个等差数列的前n项和与通项的比值是一个一次函数.

情形2若an+1-an=an+b(a̸= 0),{an}会有什么特征呢? 我们知道可以用累加法求出{an}的通项公式,那符合这种递推式的数列的通项公式有没有共性特征呢? 我们把这样的数列称为二阶等差数列,其定义如下:如果将一个数列的所有后项与前项之差组成一个新数列,如果这个新数列是普通等差数列,原数列就是二阶等差数列.

设数列{an} 满足an+1-an=an+b,通过累加法即{an} 为二阶等差数列⇔an+1-an=an+b⇔an=xn2+yn+z.可以据此处理若干问题.比如

练习1若数列{an}满足a1=1,an-an-1=2n-1(n≥2),求an.

解因为an-an-1=2n-1(n≥2),设an=xn2+yn+z,a1=x+y+z=1,a2=4x+2y+z=2,a3=9x+3y+z=7,解得x=2,y=-5,z=4,所以an=2n2-5n+4.

能否在教材中找到题根呢? 笔者发现教材中有这种题根,是拓广探索题.

题目5(新教材选择性必修第二册第四章数列26 页拓广探索第12 题)如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中,后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有一个球,第二层有3 个球,第三层有6 个球,···,设各层球数构成一个数列{an}.

(1)写出数列{an}的一个递推式;(2)根据(1)中的递推式,写出数列{an}的一个通项公式.

解(1)因为a1=1,an=an-1+n(n≥2).

(2)因为an-an-1=n(n≥2),可设an=xn2+yn+z,a1=x+y+z=1,a2=4x+2y+z=3,a3=9x+3y+z=6,解得所以

情形3若an+1-an=(ai+b),{an}有什么特征?首先,我们注意教材也有这样数列的原型.

题目6(新教材选择性必修第二册第四章数列57 页拓广探索第14 题)在2015 年苏州世乒赛期间,某景点用乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品,其中第1 堆只有1 层,就一个球;第2,3,4,···堆最底层(第一层)分别按图中所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第n堆第n层就放一个乒乓球.记第n堆的乒乓球总数为

(1)求出f(3);(2)试归纳出f(n+1)与f(n)的关系式,并根据你得出的关系式探求f(n)的表达式.

把上面n个式子相加,

根据二阶等差数列的定义,上述数列可以定义为三阶等差数列:若数列{bn}为等差数列,它的前n项和为Tn,若an+1-an=Tn=an2+bn(a̸=0),则数列{an}为三阶等差数列.

类比二阶等差数列,若{an}为三阶等列,⇔an+1-an=an2+bn⇔an=xn3+yn2+zn+e这个结论可以用于处理一些问题.

其实南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.高阶等差数列的性质有:

(1) 如果数列是p阶等差数列,则它的一阶差数列是p-1 阶等差数列;

(2)数列是p阶等差数列的充要条件是:数列的通项是关于n的p次多项式;

(3)如果数列是p阶等差数列,则其前n项和Sn是关于n的p+1 次多项式.

下面几题留给读者练习:

练习2(二阶等差数列)南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献,他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》,该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列,以高阶等差数列中的二阶等差数列为例,其特点是从数列的第二项开始,每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4 个为1,3,7,13,则该数列的第13 项为()

A.156 B.157 C.158 D.159

练习3(二阶等差数列)数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的高阶等差数列.其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列、如数列2,4,7,11,16,从第二项起,每一项与前一项的差组成新数列2,3,4,5,新数列2,3,4,5 为等差数列,则称数列2,4,7,11,16 为二阶等差数列,现有二阶等差数列{an},其前七项分别为2,2,3,5,8,12,17.则该数列的第20 项为()

A.173 B.171 C.155 D.151

练习4(三阶等差数列)南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列,其前7 项分别为1,4,8,14,23,36,54,则该数列的第19 项为()

(参考公式见上文题目6)

A.1624 B.1198 C.1024 D.1560

参考答案1.B;2.A;3.C