评注:对于函数f(x),当a>0时,函数f(x+a)的图像是由f(x)的图像向左平移a个单位长度得到的;当a<0 时,函数f(x+a)的图像是由f(x)的图像向右平移-a个单位长度得到的。
三、一个零点问题
例3(1)若2 是函数f(x)=a·2xlog2x的零点,则a=____。
(2)函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点,则实数a的值为____。
解:(1)由题意得f(2)=4a-1=0,所以
(2)当a=0 时,f(x)=-x-1,令f(x)=0,可得x=-1,所以f(x)有一个零点为-1。当a≠0时,由Δ=1+4a=0,可得
故满足条件的实数a的值为0或
评注:对于一元二次方程,当Δ=0时,方程有两个相等实根;当Δ>0时,方程有两个不相等实根;当Δ<0时,方程无实根。
四、两个零点问题
评注:分段函数的零点个数是各段函数零点个数之和。
五、三个零点问题
例 5 已 知 函 数f(x) =若函数g(x)=f[f(x)]-a有三个不同的零点,则实数a的取值范围是_____。
解:设t=f(x)。令f[f(x)]-a=0,则a=f(t)。
在同一坐标系内,画出y=a,y=f(t)的大致图像,如图2所示。
图2
由图可得,当a≥-1 时,y=a与y=f(t)的图像有两个交点,设交点的横坐标为t1,t2(不妨设t2>t1),则t1< -1,t2≥-1。当t1<-1时,t1=f(x)有一个解;当t2≥-1 时,t2=f(x)有两个解。
当a<-1时,y=a与y=f(t)的图像只有一个交点,不合题意。
故当a≥-1,即a∈[-1,+∞)时,函数g(x)=f[f(x)]-a有三个不同的零点。
评注:复合函数问题中,内层函数的值域是外层函数的定义域。
提 示: 作 出 函 数f(x) =的图像,如图3 所示。由g(x)=f(x)+2x+a,令g(x)=0,可得f(x)=-2x-a,作出直线y=-2x-a的图像(如图3)。
图3
由题意可得方程f(x)=-2x-a有两个不同的实数根,即函数f(x)的图像与直线y=-2x-a有两个交点。当直线经过点(0,1)时,可得-a=1,即a=-1;当直线y=-2x-a与y=(x+1)2(x≤0)的图像相切时,可得x2+4x+1+a=0,由Δ=16-4(a+1)=0,可得a=3。由数形结合知,当a<-1 或a=3 时,直线y=-2x-a和f(x)的图像有两个交点。故所求a的取值范围为{a|a<-1或a=3}。