对数函数的探究性问题的求解策略

■王佩其

对数函数的探究性问题,不仅要考查对数函数的性质,也要考查内层函数的性质,且不可顾此失彼。

一、对数函数与一次函数的综合

形如f(x)=loga(kx+b)的函数,称为一次函数与对数函数的复合函数。

例1已知函数f(x)=loga(3-ax)。

(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围。

(2)是否存在这样的实数a,使得f(x)在区间[1,2]上为减函数,且最大值为1? 如果存在,求出a的值;如果不存在,说明理由。

解:(1)已知a>0且a≠1,设t(x)=3-ax,则t(x)=3-ax为减函数。当x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3-2a,当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义,即当x∈[0,2]时,3-ax>0恒成立,所以3-2a>0,所以

因为a>0且a≠1,所以实数a∈(0,1)

(2)由t(x)=3-ax,可知t(x)为减函数。因为f(x)在区间[1,2]上为减函数,所以y=logat为增函数,所以a>1。当x∈[1,2]时,函数t(x)的最小值为3-2a,函数f(x)的最大值为f(1)=loga(3-a),所以解得这时a不存在。

故不存在这样的实数a,使得f(x)在区间[1,2]上为减函数,且最大值为1。

涉及函数的性质,都要在其定义域上讨论。利用对数函数的单调性时,一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响,以及真数必须为正的限制条件。

二、对数函数与二次函数的综合

形如f(x)=logm(ax2+bx+c)(a≠0)的函数,称为二次函数与对数函数的复合函数。

例2已知函数2ax+3)。

(1)若f(-1)=-3,求f(x)的单调区间。

(2)是否存在实数a,使得f(x)在(-∞,2)上为增函数? 若存在,求出a的范围;若不存在,说明理由。

故不存在实数a,使得f(x)在(-∞,2)上为增函数。

求与对数函数有关的复合函数的值域或单调性问题时,必须弄清三个方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的。