例说对数型函数的最值的应用

■薛忠云

函数的最值是函数的重要性质之一,下面从六个方面介绍对数型函数的最值的应用,希望对大家的学习有所帮助。

一、已知函数的最值求参数的值

例1若函数f(x)=2logax+2(a>0,且a≠1)在区间上的最大值为6,则a的值为_____。

二、已知函数的最值求其他函数的最值

例2已知函数f(x)=x-lnx的最小值为1,则函数的最小值为____。

评注:将f(x)转化为f(t)=t-lnt,令得到f(t)=y=g(x)-ln2,结合已知函数最小值即得目标函数的最小值。

三、已知函数有最值求参数的取值范围

例3若函数f(x)=loga(-x2-ax-1)(a>0,且a≠1)有最大值,则实数a的取值范围为_____。

因为内层函数y=-x2-ax-1是开口向下的抛物线,又f(x)有最大值,所以外层函数f(x)为增函数,且内层函数的最大值为正数,所以解得a>2。故实数a的取值范围为(2,+∞)。

评注:复合函数中,内层函数的值域是外层函数的定义域。

四、已知函数的值域为R 求参数的取值范围

例 4 已 知 函 数f(x) =的值域为R,则实数a的取值范围是_____。

当x≤1 时,f(x)=-log2(2-x)为单调递增函数,且f(1)=0。当x→-∞时,f(x)趋近于负无穷大,故当x≤1 时,f(x)的取值范围是(-∞,0]。

当x>1时,

当a≤1时,对钩函数在(1,+∞)上单调递增,其值域是(f(1),+∞)=(a-3,+∞),要使f(x)的值域为R,只需a-3≤0,可得a≤3,所以a≤1,满足题意。

五、已知函数的最大值与最小值的关系求参数的取值范围

六、已知函数没有最小值求参数的取值范围