小议对数中的求值问题
2023-11-29金海平
■金海平
对数是高中数学中的重要知识点,对数中的求值问题是同学们容易出错的地方,解这类问题的关键是弄清题意,选准公式,细心计算。
一、利用两个同底的对数相等求值
例1设lga+lgb=2lg(a-2b),则的值为____。
解:因为lga+lgb=2lg(a-2b),所以a>0,b>0,a-2b>0,所以ab=(a-2b)2,即a2-5ab+4b2=0,解得a=4b或a=b(舍去),所以
利用两个同底的对数相等,得到真数相等,再通过转化即可求值,但要注意对数的真数恒为正。
二、利用对数的性质求值
例2计算:=____。
利用对数恒等式logaaN=N(a>0,且a≠1,N∈R),alogaN=N(a>0,且a≠1,N>0)时,一定要注意公式的结构,当指数的底数和对数的底数是同一个数时,才能用此公式。
三、利用对数与指数的转化关系求值
例3若2a=5b=10,则的值为____。
解:因为2a=5b=10,所以a=log210,b=log510,所以
对数源于指数,对数与指数互为逆运算。对数与指数之间的关系:当a>0,且a≠1 时,ax=N⇔x=logaN。
四、利用对数的换底公式求值
例4若xlog38=1,则8x+8-x的值为_____。
解:因为xlog38=1,所以x=log83,所以对数换底公式为logab=且a≠1,b>0,c>0 且c≠1)。特 别 地,logab·logba=1(a>0且a≠1,b>0且b≠1)。
五、利用分段函数的性质求值
解答本题的关键是判断2+log23 是 大 于4 还 是 小 于4,再把2+log23代入分段函数的解析式中。解题时容易出错的地方是直接把2+log23代入中进行计算。
六、利用韦达定理求值
例6设logac,logbc是方程x2-3x+1=0的两个根,则的值为____。
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、x2与系数的关系为
七、利用函数的性质求值
例7若函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,则a的值为____。