基于LQR 的动量轮单摆起摆及平衡控制仿真研究

石惠文

（唐山工业职业技术学院机械工程学院，河北唐山 063299）

单摆是一个比较简单的物理模型，但由于其非线性特性，常被用来作为高校师生研究非线性控制的典型案例，与之类似的系统还有欠驱动倒立摆和Pendubot 机器人等[1-3]。对于此类非线性系统，常用的控制方法是将驱动直接作用在被控对象上。另外，还有一种利用角动量守恒定律进行姿态控制的方法，动量飞轮平衡控制就是其中之一。刘江昊等[4]设计了一种动量轮平衡的位姿控制器，使用PID 控制算法，能够保证整机在受到一定程度的干扰时保持较好的鲁棒性；孟剑新等[5]针对无人驾驶自行车自平衡问题提出了一种通过角动量守恒定律设计的动量轮来使无人驾驶自行车能够长久地保持静态平衡。

本文主要研究摆杆的平衡及起摆控制，但不直接驱动摆杆，而是使用LQR 控制器驱动装配在摆杆末端的动量轮转动来实现其姿态的调整，为验证控制策略的有效性进行了仿真实验。

1 动力学模型

在摆杆末端装配一个由电机驱动的动量轮，则带动量轮的单摆如图1 所示，其由摆杆和动量轮2 部分组成，有2 个自由度。在固定铰链处无驱动，驱动力矩只施加在单摆与动量轮的活动铰链处，故这是一个欠驱动系统，系统参数见表1。

表1 单摆系统参数

图1 单摆系统示意图

应用拉格朗日法推导出带动量轮的单摆系统的动力方程

根据牛顿第三定律，有

式中：u为输入控制力矩。

将式（1）和式（2）联立，得到关于摆杆和动量轮角速度的非线性状态空间方程

在竖直向上的平衡点处对其线性化处理。夹角θ很小时，认为sinθ≈θ。取摆杆的角位移、角速度和动量轮的转角、角速度4 个变量组成状态向量x=，得到近似的线性状态方程

2 基于LQR 的平衡控制

2.1 LQR 控制原理

摆杆的平衡控制采用线性二次型调节器（LQR），其属于最优控制策略中常用的一种控制方法，具有很好的鲁棒性，控制思路是求解二次型优化问题，目标函数为被控对象状态x和控制输入u的二次型函数

式中：因控制目标就是竖直向上平衡位置，x 也代表误差向量；Q 为状态向量惩罚系数矩阵；R为输入惩罚系数。

LQR 最优控制就是要实现计算出的状态反馈矩阵K 使二次型目标函数J取最小值，而K由权矩阵Q 与R唯一决定。使用MATLAB 自带的函数K=lqr（A，B，Q，R）可以直接求解出反馈矩阵K。控制过程依据公式u=-Kx 实时计算控制量，构成闭环最优控制[6]。

2.2 平衡控制MATLAB 仿真

研究摆杆在竖直向上平衡位置附近（±10°范围）的平衡控制，此时系统可近似为线性系统。设定摆杆的初始角度，动量轮初始转角为0，且整个系统处于静止状态，即初始状态向量为控制目标为将摆杆竖起来，不关心动量轮的转角，故将动量轮转角的惩罚系数设定足够小，取0.001，其余状态变量的惩罚系数均设定为1；考虑到电机提供驱动力矩的限制，驱动力矩的惩罚系数设置大一些，以减少优化计算出的驱动力矩，即使用MATLAB 的lqr 函数计算得到反馈矩阵K ＝（-3.192 -0.417 5 -3.162×10-4-4.522×10-3）。

在MATLAB 中，编写运行仿真脚本程序，得到摆杆角位移和动量轮转角的变化情况如图2 所示。可以看出，0.53 s 摆杆就进入5%误差带，进入了平衡状态，最大超调量仅为6.37%。动量轮的转角很大，因为其不是控制目标，为了实现摆杆的平衡，需要驱动动量轮快速转动，故优化计算条件中将其惩罚系数设置得极小。通过LQR 控制动量轮的转动可以实现摆杆的快速平衡。

图2 摆杆初始小转角时摆杆角位移和动量轮转角

3 起摆控制虚拟样机仿真

ADAMS 是一种多体动力学仿真分析软件，适用于机械设计、动态分析和运动控制等领域，可以方便地对机械系统进行静力学、运动学、动力学及动态响应等多种分析，实现多种计算机辅助工程的设计过程，从而提高产品的质量和效率。ADAMS 可与MATLAB 联合使用，实现虚拟样机仿真。在ADAMS 中建立多体系统并输出描述系统方程的有关参数，再在MATLAB 中读入ADAMS 输出的信息并建立其控制方案，在计算过程中两者进行数据交换，由ADAMS 的求解器求解系统方程，由MATLAB 求解控制方程，共同完成整个控制过程的计算[7]。

在SolidWorks 建立动量轮驱动的单摆系统实体装配模型，以Parasolid 格式导入到ADAMS 中，添加运动副，设置摩擦阻力矩，得到单摆系统的虚拟样机如图3所示。

图3 单摆系统的ADAMS 虚拟样机

在虚拟样机中，设置摆杆的角位移、角速度和动量轮的转角，角速度为输出量，将动量轮的驱动力矩设置为输入量，将被控系统导出为MATLAB/Simulink 的功能块，在Simulink 中联接LQR 反馈控制器[8]，搭建联合仿真模型如图4 所示。

图4 联合仿真框图

摆杆从竖直向下的初始位置上摆至竖直向上的不稳定平衡位置，系统的初始状态向量状态向量惩罚矩阵Q 保持不变，考虑到实际控制电机的驱动力矩的限制，优化计算中增大输入量的惩罚系数，设定R=1.0×106，计算得到反馈向量K=（-0.437 2-0.056 74 -3.162×10-5-5.495 057×10-4）。将两软件的数据交换周期设置为0.005 s，运行3 s 仿真，摆杆的角位移变化如图5 所示，动量轮的驱动力矩变化如图6所示。

图5 摆杆起摆过程中角位移

图6 摆杆起摆过程中动量轮的驱动力矩

分析仿真结果，经过1.06 s 的调节时间，摆杆进入平衡状态，最大超调量为23.02%。超调量和调整时间都比平衡控制时略长，原因有二：一是初始偏差较大，控制难度相对于±10°内的控制大幅度增加；二是虚拟样机联合仿真的模型是非线性的，而使用的LQR 控制器仍然是线性的，这也说明LQR 对非线性模型也能够起到较好控制效果。仿真实验表明，使用LQR 控制策略可以通过控制动量轮的转动实现摆杆的起摆以及平衡控制，使用动量轮进行姿态控制方法也为其他非线性系统的控制提供了一个新的控制途径。

4 结论

本文以单摆系统为研究对象，在摆杆末端装配一个动量轮，利用角动量守恒通过控制动量轮的转动间接实现摆杆的平衡及起摆控制。采用MATLAB 软件编写LQR 控制程序，仿真控制实验结果表明：LQR 控制器控制动量轮转动能够使系统稳定在竖直向上的平衡位置。采用MATLAB/Simulink 和ADAMS 联合虚拟样机仿真，LQR 控制器也能使摆杆完成起摆，进一步验证了有效性。2 个仿真实验综合说明增加动量轮并使用LQR 驱动动量轮转动可以较好地完成单摆系统的控制，这为其他非线性系统的姿态控制提供了一种新途径。