历史启迪教学 再现知识本质 助力学生深度理解

郑杏桃　岳增成

【摘   要】“分数除法”是小学数学中的难点，目前的教学较难帮助学生理解分数除法算法背后的算理。历史上分数除法的运算主要是用代数推理的方式演绎计算过程。教师可从历史中获得教学的启示，重构教学模式，让学生经历从算法多样化到算法优化的过程，突破分数除法算理理解的难点。

【关键词】分数除法；数学史；运算一致性

“分数除法”是人教版教材六年级上册的教学内容，它是整数、小数和分数四则运算知识结构中的最后一块“拼图”。学生在学习此内容之前已熟练掌握分数加法、减法和乘法以及整数和小数的四则运算，他们已经积累了丰富的分数运算和整数、小数除法运算的经验。按理说，学生学习分数除法应该得心应手，实则不然。某学校在六年级第一学期的期末检测中有这样一道题目：“用你喜欢的方法说明200÷[1／2]一定等于200×2。”测试结果不尽如人意。约65%的学生给出的答案是“因为除以一个数等于乘这个数的倒数”；约10%的学生能仿照教材例题的呈现方式，“结合现实情境以数形结合的方法”阐明理由；约10%的学生能用演绎推理的方法进行解释；还有约15%的学生表示不清楚。可见，对于分数除法，大部分学生只是依据算法进行运算，而没有理解算理。

一、分析内容，寻找原因

（一）分析当下，厘清缘由

人教版教材把本内容编排在六年级上册第3单元，分2课时进行教学。第1课时为“分数除以整数”，教材以折纸活动为载体，利用数形结合的方法帮助学生理解分数除以整数的算理。整个学习过程中，学生根据整数除法的意义、分数乘法等知识，理解“一个分数除以整数，等于乘这个整数的倒数”。第2课时为“一个数除以分数”，包括整数除以分数和分数除以分数两种情况。教材编排了“谁走得快些”这一实际问题，结合线段图，依据“路程÷时间=速度”的数量关系，把求速度的问题转化为先归一再归总的问题，帮助学生理解“一个数除以一个分数，等于乘这个分数的倒数”。

按照教材的学习路径实施教学，结合现实情境能帮助教师解释算理，最终使学生掌握算法。但也存在两处弊端：一是过于依赖情境，难以凸显分数除法算理的本质，更无法让学生真正理解算理，这也导致部分学生不能准确说明200÷[1／2]一定等于200×2；二是直观模型多样化，不利于体现分数除法运算的一致性，更无法体现分数、整数和小数除法运算的一致性。教师一般会按照教材和教学用书的要求，结合不同的现实情境，根据实际的意义解释不同的分数除法的算理。然而，学生在学习过程中会存在一些疑惑，如：为什么不同的分数除法运用不同的直观模型解释算理？是不是每种分数除法的算理都不一样？

结合具体情境，利用直观图式进行“分数除法”的教学是符合小学生形象思维发展的。但弗赖登塔尔在《作为教育任务的数学》中提到：一味地依赖具体情境会使除法问题变得更加复杂。由于教材未能很好地展示从直观的分数到算法的分数再到分数除法规则建立的过程，“分数除法”成了小学数学中的难点。

（二）回顾历史，启迪教学

从历史的角度看，国内外都很少借用现实情境解释“分数除法”的算理，大多是把计算问题进行数学化处理，用代数推理的方式演绎计算过程。如：

（二）教学反思

本内容教学以学生的已有认知为起点，引导学生从数学史中获得教学启示，打破日常教学方式，运用代数推理的方式进行教学，让学生经历从算法多样化到算法优化的过程，突破分数除法算理理解的认知难点。

1.研读历史，直白引入，突破难点

“如何计算”并不是分数除法的教学难点，“为什么可以这样计算”才是理解分数除法算理的教学难点，前测的结果也充分说明了这一点。前面的分析说明了利用具体情境结合直观图示教学并不能有效突破难点。历史是教学的指南，在教学中引入数学史，并不是为了让学生学习数学史，而是帮助教师在数学知识发展的历史进程中获得教育启示，并进行课堂教学设计。笔者通过查阅史料，发现历史中分数除法都是通过代数推理的方式阐明算理的。因此，本内容的教学重点应放在帮助学生利用代数推理理解分数除法的算理、破解教学的难点上。基于此，教学时直接以无背景的分数除以分数计算（（2／3）÷（3／4））为切入点，“逼迫”学生运用代数推理的方式解决问题。通过知识的联结与迁移，学生利用代数推理探究出了多种解决问题的方法。

2.巧设教学，凸显过程，方法多元

历史发展的进程表明，代数推理在分数除法的计算中至关重要。如何唤起学生代数推理的思维，探究出分数除法的多种计算方法是教学的关键。本内容的教学通过复习整十数除法、小数除法的计算方法与计算原理，唤起学生对商不变规律及计数单位在运算中的本质作用的再认识，为分数除法运算做好了铺垫；通过小组活动探究分数除法的多种计算方法，从而帮助学生理解分数除法的算理。

3.古今对照，理解算理，优化算法

让学生穿越时空，与古人隔空進行思想交流与思维碰撞，不仅能激发他们学习数学的兴趣，还能促使他们在古今方法的对比中自主优化算法。学生通过自主探究，得出8种不同的分数除法计算方法，与古人的算法大致相同。通过与历史上算法的横向比较，学生更好地理解了古今算法，并对探究出的方法进行了归类，在归类中深刻地理解了分数除法的算理；通过与历史上算法的纵向对比，学生发现颠倒相乘法是多种算法中最简便的一种，这也是人们最终选择颠倒相乘法计算分数除法的原因。在对比中，学生从多到少、由繁入简，不仅理解了算理、优化了算法，还在思考中感受到数学探究的乐趣，发现了人类思维的趋同性，增强了学习数学的自信心。

*本文系广东省教育科学规划2022年度一般课题“HPM视角下小学高年段数学文化育人的实践研究”（课题编号：1156031）的研究成果。