一道抛物线定点考题的探究

张应楷

摘要：通过多视角解决一道定点与定值问题，并据此研究了此类问题的一般化结论，发现其为富瑞吉定理的特殊形式.

关键词：定点；定值；抛物线；面积

定点与定值问题是圆锥曲线中的常考热点问题，常见的解题策略为从特殊到一般，即通过特殊化发现结论，再在一般情况下进行证明.在具体的证明过程中，常见的路径是将几何关系代数化，通过代数运算获得结论，再对结论进行几何化的解释.本文中将从不同的视角对一道以抛物线为背景的定点问题进行探究.

1 题目及分析

已知抛物线C：y2=2px（p>0）的准线与x轴的交点为H，直线过抛物线C的焦点且与C交于A，B两点，△HAB的面积的最小值为4.

（1）求抛物线C的方程；

分析：本题第（1）问考查抛物线的基本性质，其目的是获得抛物线的方程，考查了焦点弦、点到直线的距离公式等知识点；第（2）问考查了直线与抛物线的位置关系，其核心要点在于EM⊥EN，可从向量、斜率等视角进行解析.

2 解题方法呈现

对于第（1）问，有如下两种方法.

由韦达定理，得y1+y2=2pt，且y1y2=-p2.由抛物线的定义，得焦点弦|AB|=x1+x2+p=t（y1+y2）+2p=2pt2+2p（也可通过弦长公式求解）.

对于第（2）问，有如下三种方法.

方法一：基本量法.

由此可得y20+4ty0+4t-1=0，等价于4t（y0+1）+y20-1=0.令y0+1=0，且y20-1=0，计算可得y0=-1.

评注：方法一是对题干条件的直接使用，思维量较低.其求解思路是将原题干条件转化为变量y1，y2间的关系，通过韦达定理实现消元.接下来介绍利用“双根法”来简化韦达定理的应用.

方法二：利用“双根法”求解.

在方法一的基础上，可令y2-4ty+4t-17=（y-y1）（y-y2）.

在上式中，令y=-y0可得（y1+y0）（y2+y0）=y20+4ty0+4t-17.后续同方法一.

评注：“双根法”是回避韦達定理的利器，可有效地提升运算效率.

方法三：平移齐次化，构造斜率方程求解.

在题干中，EM⊥EN等价于kEM·kEN=-1，为此，可以考虑通过齐次化，构建关于斜率k的方程，进而结合韦达定理求解.

评注：该方法的本质是将图形进行平移，得到的“齐二次”可直接构建关于斜率的方程.当斜率满足其他表达式时，特别是可用韦达定理求解时，利用该方法非常高效.

3 命题推广

笔者尝试了将原问题一般化，经过探究，当Q为任意点时，在抛物线C上不一定存在点E使得条件成立；但如下的逆向结论成立：设M（x0，y0）是抛物线C：y2=2px（p>0）上的一定点，A，B是抛物线上两个动点，且MA⊥MB，则直线AB恒过定点P（2p+x0，-y0）.

因为y1≠y0，y2≠y0，所以（y1+y0）（y2+y0）+4p2=0，即

y1y2+（y1+y2）y0+y20+4p2=0.①

由上式可知，直线AB必过定点P（2p+x0，-y0），因此结论成立.

通过几何画板等数学软件，观察点M（x0，y0）、抛物线C：y2=2px及定点P（2p+x0，-y0）三者的位置信息，可知：定点P在点M的法线（过点M且与点M处的切线垂直的直线）上.

证明：根据文[1]，抛物线C在点M处的切线l的方程为px-y0y+px0=0.

点M的法线为过点M且与点M处的切线垂直的直线，即为l′：y0x+py-x0y0-py0=0.

代入点P的坐标验证，可知点P在l′上.结论成立.

该结论即为著名的富瑞吉定理：在圆锥曲线Γ上任取一点P，过点P作两条互相垂直的射线与Γ交于点A，B，则直线AB过定点，且该定点在过点P的法线上.

通过上述分析，也可利用待定系数法来解决原问题，过程略.

参考文献：

［1］龙宇.2017年全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛第9题的解法与探源[J].中学数学研究（华南师范大学版），2017（21）：7-8.