“命”核心，“提”素养

谢玮 王志红 倪文妍 宋鸿雁

摘要：通过对两道导数题命制过程的回顾，探析一类导数压轴试题的命题思路，即从函数f（x）=xex出发，通过求导、变形、引入参数、构造新函数，再通过GeoGebra数形结合控制函数不等式，在此基础上验证得到的试题.

关键词：导数；试题命制

1 命题

题目 （原创题）已知函数f（x）=（x－a）ex+2，a∈R.

（1）讨论f（x）的单调区间；

2 命题过程

下面我们一起探求上述原创题的命制过程.

如图1所示：

我们知道，拐点处的切线有其特殊性，它是穿过函数图象的一条直线.

从不等关系的角度来看，有：

从方程的角度来看，有：

为了使模型简洁化，我们将函数调整为f（x）=xex+2，此时，它的拐点为（－2，－2），

拐点处的切线方程为y=－x－4.

为了进一步利用上下翻转的函数图象变换将不等号统一起来，我们再将函数图象上平移两个单位，得到y=xex+2+2，此时，它的拐点为（－2，0），拐点处的切线方程为y=－x－2.

如图2所示：

从不等关系的角度来看，有：

當x≤－2时，0≤xex+2+2≤－x－2；当x≥－2时，xex+2+2≥－x－2.

从方程的角度来看，有：

对于方程xex+2+2=k（x+2），当k≥0时，有两个根；－1

至此，我们可以将方程根的个数问题，转变为函数零点的问题命制一个小题.

题1 若函数f（x）=xex+2－kx－2k+2有三个零点，则实数k的取值范围是.

再回到不等关系上来，我们知道，绝对值符号可以实现图象的上下翻转，从而可以统一不等号的方向，因此构造这样两个函数：f（x）=|xex+2+2|，g（x）=|x+2|.两个函数的图象如图3所示.

因此，可以得到这样一个不等关系：当x≤0时，|xex+2+2|≤|x+2|.

通过这个不等关系，再添加参数可以命制如下一个大题：

题2 已知函数f（x）=xex+2+2，a∈R，

（1）讨论f（x）的单调区间；

（2）若x≤0时，|f（x）|≤ax+2，求a的取值范围.

该问题从本质上来说研究的是曲线与切线的位置关系，由这一方向入手不难想到一个常用的切线放缩模型ln x≤x－1，如果通过合适的图象变换，可以利用切线放缩将ln x型函数引入到问题中来，也许可以使结构有一定的对称美.

因此做如下尝试：

首先将函数f（x）=|xex+2+2|与函数g（x）=x+2的图象向右平移两个单位，重新构造函数：f（x）=|（x－2）ex+2|与g（x）=x，使得模型的关键点由（－2，0）变为坐标原点. 如图4所示.

再将对数函数的图象作适当的平移、翻转变换，可以得到这样的结构：

|（x－2）ex+2|≤－ln（－|x|+1），如图5所示.

然而这一结构过于复杂，且并不具有较好的简洁性，同时绝对值元素添加较多，与近几年高考真题结构相去较远，因此到这里就需要考虑重新调整思路.

让我们重新回到函数f（x）=xex+2+2，它的拐点为（－2，0），拐点处的切线方程为y=－x－2.前面添加绝对值符号，是为了让其实现凹凸翻转，从而统一不等号方向.

当重新思考这个问题的时，我们发现切线的另一含义实际上是泰勒一阶展开.从这个角度入手，将函数进行五阶泰勒展开，希望从中找到较好的命题入口.

这样，利用上面得到的恒成立不等关系，添加合适的参数就得到了本文开头给出的试题.

3 命题小结

本次命题重点对函数曲线在拐点处的切线进行研究，通过相等关系构造函数的零点问题，通过不等关系构造恒成立问题.本题解法灵活多样，可采用分类讨论、分离参数、必要性探路等方法，具体解法再另文刊出.