意外生成让高三数学复习课焕发精彩

余磊 杨明正

在高三进行不等式专题复习教学的时候，因为一个学生的意外发言，打乱了笔者先前设计的教学思路，教学也因此“误入歧途”，好在通过师生的共同努力最终“柳暗花明”，同时收获了很多美好.这是一次难忘的经历，于是决定整理出来与大家分享.

1 生成背景

复习比较大小问题时，给出了如下例题：

A.M=N

B.M

C.M≤N

D.M>N

设计目的：复习比较大小的常用方法，如作差法、作商法、单调性法和特殊值验证法.通过此题掌握解决比较大小问题的常用方法.

预设：大部分学生会采用作差法解答，考虑到小题小做，也应该会有学生取特殊值验证快速解决.（此处作差法解答过程略，运算量偏大.）

生成：笔者正要准备复习下一个问题的时候，学生1举手说他可以提供一种新的解决办法.过程如下：

所以答案为选项B.

2 问题探源

学生1解释说这一步用到了“糖水不等式”的知识，以前老师在教学这个知识点的时候，他觉得“糖水不等式”非常有意思，曾经特别关注过，所以印象深刻，并且知道在课本里的具体位置.

（1）出处

人教普通高中课程标准实验教科书A版（2019年）数学必修一第43页有这样一道课后练习题：已知b g糖水含有a g糖（b>a>0），再添加m g糖（m>0）（假设全部溶解），糖水变甜了，请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立.

（2）证法

教师：大家还知道怎么证明此不等式吗？

学生2：此不等式的证明其实也就是不等号两边比较大小的问题，作差法可以解决.

学生3：作商法也可以.

教师：其实关于此不等式的证明方法有很多种，每种方法都蕴含有丰富的数学思想方法，大家课后去研究、收集和整理，老师也给大家提供一些资料供参考[1]，另择时间一起分享交流.

（3）探究

其实这个简单而平凡的不等式有着广泛的应用，在高中数学联赛、高校自主招生考试及高考试题中，可以找到不少它的身影，所以决定临时改变先前的复习计划，就“糖水不等式”进行重点挖掘和讲解.笔者从题库里挑选了两道题与学生一起探究：

探究1 （2020年全国卷Ⅲ，12）已知55<84，134<85.设a=log53，b=log85，c=log138，则（）.

A.a

B.b

C.b

D.c

學生1：“糖水不等式”是分式的形式，所以我们要把题中的a，b，c通过换底公式转化成分式形式.

在学生1的思路导引下，学生先在草稿纸上尝试解答.1分钟不到还是学生1抢先举手说选A.（接下来学生1口述，老师板书.）

学生1：先来比较a与b的大小.

学生1既尴尬又困惑.其他学生也陷入沉思，难道此法解决不了此题？

片刻之后，有三位学生举手，笔者随机请学生4来发表观点.

学生4：可以尝试比较a与c的大小.

学生4还说：比较大小不要盲目比较，要注意选项的设置.当a

反观以上过程，本题利用“糖水不等式”来比较大小，起到了出奇制胜的效果，甚至连题目中的已知条件都没有用到就把题目解决了.学生都觉得解法非常巧妙，“糖水不等式”很不简单，功能强大.

探究2 证明：logn（n+1）>logn+1（n+2）（n>1且n∈N）.

有了探究1的经验，学生很快就有了本题的思路.

学生5的证明：

正当准备进行课时小结和布置作业的时候，还是学生1提出：我觉得这个不等式的结构很有特点，与“糖水不等式”有相似之处，但是又说不清道不明.“糖水不等式”是分式的分子分母同时加一个正数，而这个不等式的右边相对于左边是对数的真数和底数同时加了一个数1，它们之间有点说不清楚的关联，可以称之为“对数糖水不等式”吗？

此时下课铃响起，笔者觉得学生1非常有灵感，顺着他的思路提出：如果对数的真数和底数同时加的不是1而是其他的一个正数呢？就是说不等式logn（n+1）>logn+k（（n+1+k）（n>1且n∈N，k>0）是否成立？若成立，写出证明过程，并尝试推广.这也是今天的家庭作业.

3 灵活运用

学生的付出肯定会有回报.有了上面的心路历程，学生对“糖水不等式”的理解更加深刻，不再是简单的记公式，很多学生已经能灵活运用了.在紧接下来的几次模拟练习和考试中，得到了很好的印证.

（1）（2022年河南省普通高中毕业班高考适应性测试理科卷，11）已知a=log32，b=log115，c=lg 4.则a，b，c的大小关系是（）.

A.a

B.c

C.c

D.a

评注：本题涉及对数的运算法则和对数函数的性质等知识，考查了运算求解能力.比较a，b大小的中间量不太好找，此时学生能够想起来运用“糖水不等式”解决，笔者非常欣慰.

（2）（“四省八校”2022届高三第一学期期中质量检测考试，12）若n>3且n∈N，则下列选项中正确的是（）.

A.logn（n+1）

故答案为选项C.

评注：本题考查了不等式证明的一些常用方法，如特殊值法、作差法、构造函数法、利用基本不等式放缩法等.题虽小但考查的方法很全面，如能灵活借助“糖水不等式”的相关知识，就可轻易解决.

A.x>y>z

B.x>z>y

C.z>x>y

D.y>x>z

解析：由21y=22，20z=21，得y=log2122，z=log2021，由探究2，易知z>y.

故答案为选项B.

评注：本题主要考查指数式和对数式的互化、对数值大小的比较，并构造函数，利用函数的单调性来解决问题，结合“对数糖水不等式”提高解题效率.

（4）〔2022届炎德英才长郡十五校聯盟高三第二次联考（全国卷）数学文科，12〕已知a=log316，b=log25，c=log535，则a，b，c的大小关系为（）.

A.b>c>a

B.a>c>b

C.b>a>c

D.a>b>c

解析：因为a=2log34，b=log25=log425=2log45，

由探究2，易知log34>log45>log56，所以2log34>2log45>2log56.

所以a>b>log536>c.故答案为选项D.

评注：本题考查了对数的运算性质以及推理能力和计算能力，利用“糖水不等式”问题瞬间被秒杀.

4 一点启示

不等式是高中数学的核心内容之一，同时也是难点之一.不少不等式问题处理起来比较棘手，但若能巧妙运用一些著名不等式，或许可以有效地解决关键步骤，给人一种举重若轻的感觉.平时不少教师对基本不等式、绝对值不等式、柯西不等式等比较重视，带领学生研究的比较多，而可能忽视了对一些常规不等式的价值挖掘.通过以上对近年来的高考题和质检模拟题的分析，可见“糖水不等式”的使用越来越多，尤其是2022年更加频繁，有愈演愈烈之势，所以笔者认为，重视“糖水不等式”深层次探究和理解应用很有必要，要引起我们一线教师的高度重视.

经过这样一次的复习课教学，一方面学生能把数学与生活进行联系，另一方面激发了学生的学习兴趣和探究动力，这是比知识本身更重要的东西.前苏联数学教育家奥加涅相说过：“必须重视很多习题潜在着进一步扩展其数学功能、发展功能和教育功能的可行性.”课本的例题和习题具有很好的示范引领作用，它们或者是重要的结论，或者体现某种数学思想方法.在数学教学中，教师应努力探究教材中的例、习题并加以延伸或拓展，激活教材例、习题，构建深度教学，帮助学生巩固数学知识，提升数学能力，训练数学思维，发展学生的数学运算、逻辑推理等数学核心素养.当然，探究应结合教材的内容和学生的实际，并在教师的启发和指导下由学生讨论完成.

参考文献：

[1]刘彦永.“糖水不等式”的23种证法及其应用[J].数学教学通讯，2020（6）：73-75.