深化基础考查核心素养 落实“双减”促进教考衔接
2023-11-25周远方向立政张伟
周远方 向立政 张伟
摘 要：2023年高考数学试题遵循《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》的要求，贯彻《中国高考评价体系》的理念. 在考查内容上，科学设置情境，立足通性通法，强化运算推理，贯穿理性思维，既全面考查了学生的数学功底与发展潜质，又充分发挥了高考的育人功能. 在考查特点上，深化基础性，促进教考衔接；突出综合性，体现融会贯通；强调应用性，落实“双减”要求；体现创新性，助力人才选拔. 对扭转高三复习中普遍存在的随意扩充、无限拔高等突出问题具有正本清源的导向作用. 基于此，高三复习应该坚持回归基础、回归教材、回归通性通法、回归育人本位，围绕如何让学生学会思考这一核心，突出关键能力培养，发展数学核心素养．
关键词：命题特点；关键能力；核心素养；育人导向；复习建议
2023年高考数学试卷包括全国新高考Ⅰ卷、全国新高考Ⅱ卷、全国甲卷（文、理科）、全国乙卷（文、理科）、北京卷、上海卷、天津卷，共9份试卷. 各份试卷突出依标命题，落实《中国高考评价体系》（以下简称《体系》）“一核、四层、四翼”的考查要求，坚持价值引领，注重素养立意，深化基础考查，促进教考衔接，既全面考查了核心价值、学科素养、关键能力和必备知识，又充分体现了基础性、综合性、应用性和创新性. 为引导高中数学教学回归基础、回归教材、回归通性通法、回归育人本位发挥了积极导向作用.
一、考查内容分析
2023年高考数学试题加强整体设计，以真实自然的情境为载体，以理性思维考查为核心，以运算推理考查为重点，以通性通法考查为基础，坚持核心价值引领，强调必备知识掌握，突出关键能力考查，注重学科素养立意，既全面考查了学生的数学功底与发展潜质，又充分发挥了高考的育人功能，有助于高校选拔人才.
1. 科学设置情境，坚持核心价值引领
情境即问题情境，指的是真实的问题背景，是以问题或任务为中心构成的活动场域，是落实《体系》中的“四层”考查内容和“四翼”考查要求的有效载体. 综观2023年高考数学的情境化试题：在素材选取上，贴近学生实际，类型丰富多样；在素材呈现方式上，注意控制文字数量和阅读理解难度；在数学问题抽象上，设置合理的思维强度和抽象程度；在问题解决上，设置适度的运算量，力求试题考查要求与学生认知水平高度契合. 通过这些措施，既充分发挥了数学应用广泛、联系实际的特点，也意在引导学生进一步增强社会责任感，树立正确的世界观、人生观和价值观.
（1）以真实自然的科学情境考查理性精神.
科学情境源于真实的研究过程或实际的探索过程，学生在解决这类情境中的问题时，必须调动已有知识、运用创新的思维方式开展探究活动. 设置科学研究情境不仅能有效考查数学必备知识和关键能力，而且有助于引导学生树立热爱科学、报效祖国的理想信念，培养学生的科学精神、理性思维和创新意识.
例1 （全国新高考Ⅱ卷·19）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到患病者和未患病者该指标的频率分布直方图，如图1和图2所示.
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性. 此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为[pc]；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为[qc]. 假设数据在组内均匀分布. 以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
（1）当漏诊率[pc]= 0.5%时，求临界值c和误诊率[qc]；
（2）设函数[fc=pc+qc]. 当[c∈95，105]时，求[fc]的解析式，并求[fc]在区间[95，105]的最小值.
该题源于医学中的一个真实情境，要求学生能根据漏诊率、误诊率的概念，以及某种疾病的患病者与未患病者某项医学指标的频率分布直方图，确定使得漏诊率[pc=0.5%]的临界值[c]和误诊率[qc]. 不仅考查了频率分布直方图、第[p]百分位數的求法等知识，而且也让学生从一个医学研究者的角度出发，有科学依据地确定临界值[c]，渗透了科学精神. 此类问题还有全国甲卷文（理）科第19题（对比实验）和天津卷第7题（数据调查）.
（2）以简洁明了的数学情境考查深度思维.
数学情境是情境化试题的主要呈现方式，构成对必备知识、关键能力与核心素养考查的主体. 为充分发挥数学情境在考查必备知识、关键能力与核心素养中的支撑作用，2023年高考数学试题从呈现方式入手，题目简洁，表述清晰，问题明确，不人为设置阅读理解障碍，大多数学生都能读懂题意，使学生把注意力集中到问题解决本身，减少了学生无谓的失误与丢分，体现了“以生为本，人文关怀”的命题理念. 但简洁并不等于简单，很多试题简洁、熟悉的背景下却蕴含着深刻的思维，对学生的逻辑推理、数学运算和直观想象等素养要求较高.
例2 （全国乙卷·理10）已知等差数列[an]的公差为[2π3]，集合[S=cosann∈N*]，若[S=a，b]，则[ab]的值为（ ）.
该题题干简洁明了，所要研究的问题即为当[S]只有两个元素[a，b ]时，求两个元素之积[ab]. 但看似熟悉的问题做起来却并不容易，需要根据[cosan]（即[cos2π3n+a1-2π3]）的周期为3推得集合[S]最多有三个元素[cosa1]，[cosa2 ]，[cosa3]，因而必有两个元素相等，于是分三种情形讨论，对学生思维能力的考查非常深刻，给人以“大巧若拙，大道至简”之感.
（3）以学生熟悉的现实情境考查应用能力.
综观9份高考数学试卷，每份试卷中都设置了2 ～ 3道现实情境试题，这些情境对于学生而言都比较熟悉，其内容也丰富多样，不仅深入考查了学生运用所学知识分析和解决实际问题的能力，而且也意在引导高中数学教学落实立德树人根本任务，注重学生德智体美劳全面发展. 例如，全国新高考Ⅰ卷第21题以甲、乙两人投篮为背景，意在引导学生加强体育锻炼，渗透了体育. 类似的问题还有全国新高考Ⅰ卷第13题、全国新高考Ⅱ卷第3题、全国甲卷（理科）第6题. 又如，全国甲卷（文科）第4题以文艺汇演为背景，意在引导学生加强艺术修养，渗透了美育；全国甲卷（理科）第9题以志愿者参加社区服务为背景，意在引导学生热爱劳动，增强社会责任感，渗透了劳动教育；全国新高考Ⅰ卷第10题以噪声污染中的声压级为背景，意在引导学生增强环保意识，建设大美中国；全国乙卷（理科）第7题以课外读物为背景，意在引导学生加强课外阅读，扩大知识面.
2. 立足通性通法，强调必备知识掌握
通性通法是指那些对数学学习、能力提升和素养发展具有支撑作用的基本思想方法，反映了数学的一般观念和基本思维方式，有助于深化数学知识的理解，促进数学问题的有效解决，能有效考查学生对数学本质的理解. 2023年高考数学一改2022年运算量大、综合性强、技巧性高、堵卡点多等命题风格，淡化特殊技巧，回避二级结论，聚焦数学本质，把考查的着力点放在对数学概念的深刻理解、对思想方法的灵活应用，以及知识间的内在联系上面，强调学生对数学核心素养发展具有支撑作用的必备知识的掌握. 以全国新高考Ⅰ卷为例，对数学思想方法考查的题量统计如下：转化与化归思想10道、数形结合思想7道、函数与方程思想6道、特殊与一般思想3道、分类与整合思想4道、概率与统计思想2道. 另外，有5道试题考查了待定系数法，有5道试题考查了特殊值法，有4道试题考查了构造法.
该题要求学生能准确理解极大值与极小值的概念及其存在的条件，进而将条件“函数[fx]既有极大值又有极小值”等价转化为“函数[fx]在[0，+∞]上有两个变号零点”，即方程[ax2-bx-2c=0]有两个不相等的正实数根，渗透了转化与化归的数学思想，体现了解决函数极值存在问题的一般思路与基本方法.
3. 强化运算推理，突出关键能力考查
逻辑推理与数学运算既是数学关键能力的主体也是核心，是数学的“命根子”与“童子功”. 以逻辑推理和数学运算考查为重点突出考查关键能力，成为2023年高考数学试题的一大特色.
（1）考查题量丰富.
以全国新高考Ⅰ卷为例，除了第4题和第9题外，其余各题都需要数学运算；除第2题、第5题、第8题、第16题和第17题外，其余各题都直接考查了逻辑推理. 其他各试卷对逻辑推理和数学运算考查的题量与全国新高考Ⅰ卷大体相当.
（2）考查层次分明.
一是稳住基本面. 每份试卷基本上都设置了30%的旨在考查基本运算与基本推理的试题，要求学生能直接运用数学基本概念、公式、原理、图象、性质、模型等知识进行推理和演算，如全国新高考Ⅰ卷第1题、第2题、第3题、第4题、第5题、第9题、第13题、第14题和第17题确保了基础较差的学生也能够得到一定的分数，有助于稳定学生情绪. 二是突出中间层. 每份试卷都设置了约50%的中等难度的考查逻辑推理和数学运算的试题，这些试题要求学生不仅要深刻理解数学基本概念、公式、原理、图象、性质、模型等基础知识与基本思想方法，还要能够灵活运用，对学生的数学功底提出了一定的要求，如全国新高考Ⅰ卷第6题、第7题、第8题、第10题、第11题、第15题、第16题、第18题、第19题和第20题. 三是控制塔尖部. 为了充分发挥高考的选拔功能，为国家遴选拔尖创新人才，每份试卷又设置了约20%的难度较大的试题，要求学生能综合运用所学知识进行推理与运算，也考查了学生的创新思维，如全国新高考Ⅰ卷第12题、第21题和第22题.
（3）解题思路开阔.
2023年高考数学试题十分注重考查思维的灵活性与变通性，每份试卷中都有大量试题设置了多种求解路径，呈现出宽入口、低起点、渐深入的特点，为不同层次、不同特质的学生提供了展示的舞台和发挥的空间，能有效考查学生的逻辑推理和数学运算等关键能力.
例4 （全国乙卷·文6）正方形[ABCD]的边长是2，[E]是[AB]的中点，则[EC ? ED]的值为（ ）.
该题有三种解答思路：一是基向量法，即[EC ?][ED=12AB+AD? AD-12AB=3]；二是坐标法，以点[A]为坐标原点，分别以[AB， AD]的方向为[x]轴和[y]轴的正方向建立平面直角坐标系，可以得到[EC=][1，2， ED=-1，2]，故[EC ? ED=3]；三是定义法，因为[cos∠DEC=DE2+CE2-DC22DE ? CE=35]，所以[EC ? ED=][ECEDcos∠DEC=3]. 该题小巧灵活，思路开阔，三种方法都是解决平面向量问题的基本方法.
例5 （全国甲卷·理18）如图3，在三棱柱[ABC-A1B1C1]中，[A1C⊥]平面ABC，[∠ACB=90°]，[AA1=2]，[A1]到平面[BCC1B1]的距离为1.
（2）已知直线[AA1]与[BB1]的距离为2，求[AB1]与平面[BCC1B1]所成角的正弦值.
解答该题第（2）小题的第一种思路是分别以[CA]，[CB]，[CA1]所在直线为[x ]轴、[y]轴、[z]轴建立空间直角坐标系，运用空间向量有关知识加以解决；第二种思路是过点[A]作直线[C1C]的垂线，交[C1C]的延长线于点[E，] 连接[B1E]. 先证明[AE⊥]平面[BCC1B1]，再利用相似三角形有关知识求出[AE]和[B1E]，进而求出[sin∠AB1E]. 显然，第二种思路的运算过程要比第一种思路简单得多，但是学生往往想不到过点[A]向[C1C]作垂线这一步，这对学生的观察能力与空间想象能力提出了较高的要求，依赖于学生平时解题经验的积累.
4. 贯穿理性思维，注重学科素养立意
理性思维是数学学科的基本特征，是数学逻辑思维能力与良好思维品质的重要体现. 综观2023年高考数学试卷，对理性思维的考查得到进一步加强，并突出了以下命题导向.
（1）思维的严谨性.
严谨性是理性思维的主要标志，是思维的基本特质，也是高考命题的重要关注点.
例6 （全国乙卷·理21）已知函数[fx=1x+aln1+x].
（1）当[a=-1]时，求曲线[y=fx]在点[1， f1]處的切线方程.
（2）是否存在a，b，使得曲线[y=f1x]关于直线[x=b]对称？若存在，求a，b的值；若不存在，说明理由.
（3）若[fx]在[0，+∞]上存在极值，求a的取值范围.
该题第（2）小题，根据函数[f1x]定义域的对称性得到[b=-12]，进而利用特殊值法得到[a=12]后，还需要验证：当[a=12]且[b=-12]时，等式[fb+x=fb-x]对[?x∈xx<-1或x>0]恒成立. 考查了思维的严谨性，但是很多学生忽视了这一验证过程.
（2）理解的深刻性.
深刻性是良好思维品质的重要体现，能准确反映学生对所学知识和思想方法理解的深刻程度，因而也成为2023年高考数学命题的一个着力点.
例7 （全国新高考Ⅱ卷·22）（1）证明：当[0 （2）已知函数[fx=cosa x-ln1-x2]，若[x=0]是[fx]的极大值点，求a的取值范围. 在解答该题第（2）小题时，若学生能抓住函数[fx=cosa x-ln 1-x2]为偶函数这一特征，在[a≠0]的条件下，为了能利用第（1）小题中已经证得的结论[sinx （3）表达的条理性. 有逻辑地思考、有条理地表达是理性思维的基本要求. 2023年高考数学试题主要通过以下两种途径考查表达的条理性：设置分类讨论问题，设置逻辑证明问题. ① 设置分类讨论问题. 每份试卷中都设置了3～4道需要分类讨论的试题，解决此类问题要求学生首先能合理确定分类讨论标准，然后按照所确定的标准进行逻辑划分（即分类）并逐类讨论，最后将每类讨论的结果进行整合得到最終结论. 例8 （全国乙卷·理12）已知[⊙O]的半径为1，直线PA与[⊙O]相切于点A，直线PB与[⊙O]交于B，C两点，D为BC的中点，若[PO =2]，则[PA ? PD]的最大值为（ ）. （A）[1+22] （B）[1+222] （C）[1+2] （D）[2+2] 解答该题时，先设[∠OPD=α 0≤α≤π4]，再根据平面向量数量积的定义将[PA ? PD]表示成[α]的函数，进而求函数的最大值. 而在建立函数关系式时，需要分点A，D在直线[OP]的同侧和异侧两种情况讨论，考查了分类与整合的数学思想和分类讨论意识. ② 设置逻辑证明问题. 2023年高考数学十分重视逻辑证明问题，每份试卷中都设置了2～3道逻辑证明问题，通过证明问题考查学生的逻辑表达能力. 例9 （全国乙卷·理19）如图4，在三棱锥[P-ABC]中，[AB⊥BC]，[AB=2]，[BC=22]，[PB=PC=][6]，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，[AD=][5DO]，点[F]在AC上，[BF⊥AO]. [P][F][E][O][D][C][B][A] [图4] （1）证明：[EF]∥平面[ADO]； （2）证明：平面[ADO⊥]平面BEF； （3）求二面角[D-AO-C]的正弦值. 该题不仅前两小题考查推理论证，而且第（3）小题也考查了推理论证. 如果利用建立空间直角坐标系的方法求解反而不自然，需要利用传统方法“一作二证三计算”加以求解. 如图5，先连接[MN]（M为AO与BF的交点，N为AD与BE的交点），然后证明[MN⊥AO]且[MF⊥AO]，从而得知[∠NMF]为二面角[D-AO-C]的一个平面角，再在[△BMN]中利用余弦定理求其补角[∠BMN]的余弦值，进而得到所求角的正弦值. [P][F][E][O][D][C][B][A][N] [图5][M] 解答该题需要多次作辅助线，并利用空间直线与平面平行、垂直的判定与性质严格推理论证，要求学生思维清晰、论证严谨、书写有条理，全面考查了学生的观察能力、分析转化能力、空间想象能力、逻辑思维能力和运算求解能力. 二、命题特点分析 2023年高考数学认真落实《体系》中“四翼”的考查要求，试题平易近人，表述简洁明了，考查层次分明，综合创新适度，突出对基础知识、基本技能和基本能力的考查，注重概念的深刻理解、方法的灵活应用及知识的融会贯通. 对扭转过去高中数学教学中普遍存在的随意扩充、无限拔高等突出问题具有正本清源的作用，有效促进了教考衔接. 1. 深化基础考查，促进教考衔接 （1）调整试卷结构，打破固有模式. 与往年相比，2023年的高考数学试卷都保持了相对的稳定性，但在试卷结构上也都适当进行了一些调整，主要体现在对关键位置上的选择题（如第12题）、填空题（如第16题）及解答题所考查的知识单元进行了一些调整，意在引导高中数学教学摒弃机械刷题与套路训练. 以2019—2023年全国新高考Ⅰ卷为例，第12题考查的知识单元依次为立体几何、函数、立体几何、函数、立体几何；第16题考查的知识单元依次为解析几何、立体几何、数列、解析几何、解析几何；第17题考查的知识单元依次为三角函数、数列、数列、数列、三角函数；第18题考查的知识单元依次为立体几何、立体几何、统计、三角函数、立体几何；第19题考查的知识单元依次为解析几何、概率、三角函数、立体几何、导数及其应用；第20题考查的知识单元依次为导数及其应用、解析几何、立体几何、概率与统计、数列；第21题考查的知识单元依次为概率、导数及其应用、解析几何、解析几何、概率与统计；第22题考查的知识单元依次为选考内容、选考内容、导数及其应用、导数及其应用、解析几何. 很明显，这些关键位置上的试题所考查的知识单元都在不断变化. （2）合理控制难度，发挥甄别功能. 总体来看，2023年高考数学的整体难度较2022年有一定幅度的下调，每份试卷中易、中、难试题的分值之比基本都保持在3∶5∶2. 不仅选择题、填空题、解答题三种题型的整体难度呈逐渐上升之势，而且每种题型各小题间也基本按照从易到难的顺序排列，有助于学生正常发挥，体现了对学生的人文关怀. 值得注意的是，全国6份试卷的第8题、第12题和第16题的难度都有明显下降，规避了形如指数与对数的大小比较、抽象函数的周期性与对称性等一些热点问题，将考查内容聚焦到基本概念、基本原理和基本方法上，注重对能够普适性解决学科问题的本原性方法的考查，注重考查学生在深刻理解基础上的灵活运用，意在引导高中数学教学注重基础、注重通性通法，淡化解题技巧. 例如，全国新高考Ⅰ卷第8题考查基本的三角恒等变换，全国新高考Ⅱ卷第8题考查等比数列前[n]项和公式的有关计算，全国甲卷（理科）第12题综合考查椭圆的定义、标准方程与几何性质以及余弦定理，全国甲卷（文科）第16题考查正方体与球的组合体问题，等等. 尽管这些试题所涉及的内容都在《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）的要求之内，是高中数学中的一些基础知识与基本方法，但是学生要正确解决这些问题并不轻松，需要有扎实的数学功底和灵活的思维转换能力，因而能有效甄别学生的能力与素养. （3）突出主干知识，关注数学本质. 2023年高考数学既全面系统考查了学生对高中数学基础知识、基本技能与基本思想方法的掌握情况，又突出了重点，将考查的侧重点放在函数的概念与性质、指数函数与对数函数、三角函数的图象与性质等主干知识上面. 例如，全国新高考Ⅰ卷第11题、全国新高考Ⅱ卷第4题、全国甲卷（理科）第13题、全国甲卷（文科）第14题、全国乙卷（理科）第4题、全国乙卷（文科）第5题等都直接考查了偶函数的概念；全国新高考Ⅰ卷第15题、全国新高考Ⅱ卷第16题、全国甲卷（理科）第10题、全国甲卷（文科）第12题、全国乙卷（理科）第6题、全國乙卷（文科）第10题等都考查了形如函数[y=Asinωx+φ]的图象与性质. 各份试卷中无偏题、怪题，淡化了一些特殊技巧与二级结论的应用，着力考查学生对数学本质的理解. 例10 （全国甲卷·文 / 理22）已知点[P2，1]，直线[l： x=2+tcosα，y=1+tsinα] （t为参数），[α]为[l]的倾斜角，l与[x]轴正半轴、[y]轴正半轴分别交于点A，B，[PAPB=4]. （1）求[α]； （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求[l]的极坐标方程. 该题作为选做题之一，主要考查直线的参数方程与极坐标方程，要求学生能根据参数[t]的几何意义将[PAPB]转化为[t1 t2]，因而要求学生能深刻理解直线的参数方程中参数的几何意义，并能灵活应用，回归学生数学认知的本源. 2. 注重多维综合，重视融会贯通 必备知识与关键能力、学科素养、核心价值之间紧密相连，是一个具有内在逻辑关系的整体. 2023年高考数学从高中数学不同主题间、不同单元间、不同知识间的内在联系出发，适当地设置综合性问题，考查学生的综合运用能力、知识迁移能力和融会贯通能力. 例11 （全国新高考Ⅱ卷·10）设O为坐标原点，直线[y=-3x-1]过抛物线[C：y2=2px p>0]的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）. （A）[p=2] （B）[MN=83] （C）以MN为直径的圆与l相切 （D）[△OMN]为等腰三角形 该题选项B可以根据抛物线的定义加以判断，即[MN=x1+x2+p=163]；选项C的判断需要先证明MN的中点A到准线l的距离[d=12d1+d2][=12MF+NF=][12MN]（其中[d1，d2]分别表示点M，N到准线l的距离）. 该题不仅综合考查了直线的方程、抛物线的标准方程与几何性质、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等知识，而且综合考查了数形结合、函数与方程、转化与化归的数学思想，以及逻辑思维能力和运算求解能力. 试题源于教材、高于教材、活于教材，融解析几何的基础知识、思想方法和关键能力于一体，引导中学数学教学重视知识整合，重视深层次理解基础知识上的融会贯通. 例12 （全国新高考Ⅰ卷·21）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8. 由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5. （1）求第[2]次投篮的人是乙的概率； （2）求第[i]次投篮的人是甲的概率； （3）已知：若随机变量 Xi 服从两点分布，且[PXi=1=1-PXi=0=qi]，i = 1，2，…，n，则[Ei=1nXi=i=1nqi]. 记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求[EY]. 该题第（2）小题将概率与数列巧妙结合，通过全概率公式得到[pi]与[pi+1]所满足的递推关系式，进而得到数列[pi]的通项公式，综合考查了全概率公式、递推数列及等比数列的概念及通项公式，试题背景新颖、构思精巧，给人耳目一新之感，体现了不同主题知识之间的综合. 3. 关注生活实际，强调学以致用 2023年高考数学保持了近几年应用问题的考查风格. 一是题量适中，每份试卷中的应用问题大致为2～3道；二是难度适宜，以中等难度为主，大多数应用题对中等偏上的学生来说都能顺利解答；三是贴近学生，绝大多数应用题均取材于学生熟悉的生活素材，如全国新高考Ⅰ卷第10题中的噪声污染问题、第13题中的选课问题、第21题中的投篮问题，全国新高考Ⅱ卷第12题中的信号传输问题，全国甲卷（理科）第9题中的志愿者社区服务问题，天津卷第13题中的取球问题等，要求学生能运用所学知识和方法发现问题与提出问题、分析问题与解决问题，有效考查了学生的阅读理解、数据处理、分析转化和数学建模等能力，体现了学以致用. 例13 （全国新高考Ⅱ卷·12）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立. 发送0时，收到1的概率为[α 0<α<1]，收到0的概率为[1-α]；发送1时，收到0的概率为[β 0<β<1]，收到1的概率为[1-β]. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次. 收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）（ ）. （A）采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为[1-α1-β2] （B）采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为[β1-β2] （C）采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为[β1-β2+1-β3] （D）當[0<α<0.5]时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 该题取材于学生熟悉的信号传输问题，主要考查互斥事件至少有一个发生的概率公式及相互独立事件同时发生的概率公式. 多数学生能准确理解该题的题意，解题的主要困难在于不能将所求概率中的事件分解成两两互斥事件的和或相互独立事件的积. 4. 立足课标、教材，体现适度创新 立足《标准》和教材是高考命题的基本遵循，也是落实教考衔接的重要举措. 综观2023年高考数学试卷，所有考点都在《标准》的要求范围内，大部分试题都能在教材上找到原型. 尽管有些试题呈现出较强的综合性与一定的创新性，但所涉及的知识点、思想方法依然没有超标越位，没有脱离教材，体现了《标准》和教材在高考命题中的“定盘星”作用. 但是源于教材并不是简单照搬教材，而是以教材上的一些典型问题、素材为基础，进行适当改编、重组与引申，以考查学生对基础知识的深刻理解及对数学思想方法的灵活运用. 例14 （全国新高考Ⅰ卷·7）记[Sn]为数列[an]的前[n]项和，设甲：[an]为等差数列；乙：[Snn]为等差数列，则（ ）. （A）甲是乙的充分条件但不是必要条件 （B）甲是乙的必要条件但不是充分条件 （C）甲是乙的充要条件 （D）甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 该题源于人教A版《普通高中教科书·数学》（以下统称“人教A版教材”），实际上是在原教材习题的基础上增加了逆命题真假的判断，并以充要条件判断的形式加以考查，从而比教材上的习题显得更加灵动、鲜活，对思维的考查也更加深入. 教材题源：（人教A版教材选择性必修第二册习题4.2第7（1）题）已知[Sn]是等差数列[an]的前[n]项和，证明[Snn]为等差数列. 例15 （全国乙卷·理11）设A，B为双曲线[x2-y29=1]上两点. 下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）. （A）（1，1） （B）（-1，2） （C）（1，3） （D）（-1，-4） 该题解答思路为先求出以选项中的点为中点的直线AB的方程，再检验所求直线的方程与双曲线是否相交，若相交则符合条件. 学生往往习惯于求已知直线与双曲线两个交点的中点，而解答该题需要运用逆向思维，对学生的思维定式有一定的挑战性. 该题同样源于教材习题改编，只是已知双曲线的方程不同而已. 教材题源：（人教A版教材选择性必修第一册习题3.2第13题）已知双曲线[x2-y22=1]. 过点[P 1 ，1 ]的直线[l]与双曲线相交于A，B两点，[P]能否为线段[AB]的中点？为什么？ 除此之外，2023年全国新高考Ⅱ卷第10题（参见例11）的四个选项基本上都源于教材相关例题和习题的改编再创，其中选项C就是教材习题的改头换面，将抛物线的定义与直角三角形的性质巧妙结合，考查了逻辑推理、直观想象等数学核心素养. 教材题源：（人教A版教材选择性必修第一册复习参考题3第16题）过抛物线[y2=2pxp>0]的焦点[F]作直线与抛物线交于[A， B]两点，以[AB]为直径画圆，观察它与抛物线的准线[l]的关系，你能得到什么结论？相应于椭圆、双曲线如何？你能证明你的结论吗？ 2023年高考数学试卷中类似的试题还有很多. 例如，全国新高考Ⅰ卷第3题与人教A版教材必修第二册复习参考题6的第8题高度相似；全国新高考Ⅰ卷第10题源于人教A版教材必修第一册习题4.4的第10题，所不同的是高考试题探讨的是声压级，而教材习题探讨的是声强级；等等. 三、复习教学建议 针对上述考查内容和考查方式的一些变化与特点，高三复习教学应该坚持回归基础、回归教材、回归通性通法、回归育人本位，围绕如何让学生学会思考这一核心，突出关键能力培养，提升数学核心素养. 1. 回归基础，深化核心概念教学 高三数学复习应该坚持把教学重心放在对关键能力提升、数学核心素养发展具有支撑作用的基础知识、基本技能和基本思想方法上，切忌随意扩展、无限拔高. 要引导学生在深刻理解数学概念本质和内涵的基础上，弄清知识的来龙去脉，把握知识的内在联系，构建整体知识结构，厘清数学思维导图，促进学生对所学知识形成整体性、系统性和发展性认识. 例16 （2021年全国新高考Ⅰ卷·8）有[6]个相同的球，分别标有数字[1]，[2]，[3]，[4]，[5]，[6]，从中有放回的随机取两次，每次取[1]个球. 甲表示事件“第一次取出的球的数字是[1]”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是[2]”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是[8]”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是[7]”，则（ ）. （A）甲与丙相互独立 （B）甲与丁相互独立 （C）乙与丙相互独立 （D）丙与丁相互独立 该题主要考查两个事件相互独立的概念，要求学生不仅要理解两个事件相互独立的含义，更重要的是能根据“若[PAB=P APB]，则A与B相互独立”进行判断，但很多学生不知道如何判断，暴露了高三复习中概念教学的不足. 因此，促进学生深刻理解概念的内涵与外延，弄清概念之间的区别与联系，并能应用概念进行推理与演算，是落实基础知识教学的首要任务. 例17 （全国新高考Ⅱ卷·6）已知函数[fx=][aex-lnx]在区间[1， 2]上单调递增，则[a]的最小值为（ ）. （A）[e2] （B）e （C）[e-1] （D）e-2 由已知条件，得[fx=aex-1x≥0]在[1， 2]上恒成立，即[xex≥1a][a>0]在[1， 2]上恒成立. 再根据函数[gx=xex]在区间[1， 2]上为增函数可以得到[gx>][g1=e≥1a]. 这里将[aex-1x≥0]变形为[xex≥1a][a>0]运用的是分离常数法（即将常数放在不等式的一边，变量放在不等式的另一边），这是解决含参数不等式恒成立问题的一种基本思路. 学生只有熟练掌握了这些基本方法，其关键能力提升、核心素养发展才有基础. 2. 回归教材，加强典型问题研究 回归教材并不是对教材内容的简单重复，而是对教材内容进行整合与重构，发掘知识的联结点、方法的交会点和能力的生长点. 在高三数学复习教学中，要引导学生充分发挥教材上的典型例题和习题在认知深化、知识应用、思维培养等方面的作用，充分挖掘教材中一些典型的背景和素材在能力培养、素养发展方面的价值功能，让教材真正“活”起来. 例18 （人教A版教材选择性必修第一册复习参考题3第3题）当[α]从[0°]到[180°]变化时，方程[x2+][y2cosα=1]表示的曲线的形状怎样变化？ 该题要求根据曲线方程中的参数[α]的变化情况讨论曲线形状的变化，体现了解析几何试题动态变化的特点. 实际上，人教A版教材选择性必修第一册的训练系统配置了很多类似题目. 例如，在复习参考题3中，还配置有第11题和第13题，通过此类问题，结合变式探究，不仅有助于学生进一步掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程，而且能有效培养学生思维的缜密性，提高学生的分类讨论能力. 教师要充分用好教材中的这些相关问题. 例19 （全国新高考Ⅰ卷·12）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）. （A）直径为[0.99 m]的球体 （B）所有棱长均为[1.4 m]的四面体 （C）底面直径为[0.01 m]，高为[1.8 m]的圆柱体 （D）底面直径为[1.2 m]，高为[0.01 m]的圆柱体 该题新颖别致，对学生的逻辑思维能力、空间想象能力和創新思维要求较高. 如图6，部分学生能将问题转化为判断圆柱体的轴为[A1C]时能否被整体放入，但不知道与[A1C]垂直的正方体的截面面积的最大值为多少，在什么位置取得最大值，导致思维受阻. 还有学生认为当截面为[△BC1D]时，其截面面积最大，再将[△BC1D]的内切圆作为圆柱的底面，从而出现误判. 该题是典型的题在书外根在书内，题根仍在教材习题之中. （1）求证：[A1C⊥]平面[EFGHKL]； （2）求[DB1]与平面[EFGHKL]所成角的余弦值. 如果教师在复习中引导学生对这道习题做过深入思考与探究，那么选项D的判断就会轻松很多. 其实，对于这道教材习题，还有很多值得深入挖掘、探讨和拓展的问题. 例如，2014年湖北卷（理科）第19题和（文科）第20题均由此题改编再创而成. 事实上，回归教材复习备考的基本要义就是要实现从教材内容出发到高考数学中去，再从高考试题分析回到教材中来，通过“导、联、串、变”的复习策略，落实这种双向良性循环的复习过程. 这才是高三数学复习的正道. 3. 回归通性通法，把握数学本质 回归通性通法，就是要突出数学思想方法的统摄作用，善于运用一般观念与一般方法分析和解决问题. 教学中，教师要淡化特殊技巧，引导学生善于从纷繁复杂的题型与方法技巧中洞悉问题的本质、把握一般规律. 例如，导数解答题是多年来的压轴题，也是历来的高考难点之一，令众多学生“谈导色变”. 值得一提的是，2023年全国新高考Ⅰ卷的导数解答题真正回归高中学习导数的初衷，不仅放回到第19题的位置，而且所考查的函数结构常见，设问方式是常规的“一半讨论一半证”，用到的构造函数及解题思路就是基本的通性通法，让大多数学生都能得到相应的分数. 该题的换位既是意料之外，又是情理之中，不仅是为了破解固有模式，更重要的是要遏制为做导数题要学大量高等数学和二级结论的不良风气，对导数内容形成“深挖洞、广积粮”的过热浪潮起到了拨乱反正的作用，尤其是打破了导数解答题不再只是尖子生独享的特权，增添了普通生学好导数的信心，对高中数学回归导数内容的教学定位和工具价值具有拨乱反正、正本清源和高屋建瓴的引导和启示功能. 例20 （全国新高考Ⅰ卷·19）已知函数[fx=][aex+a-x]. （1）讨论[fx]的单调性； （2）证明：当[a>0]时，[fx>2lna+32]. 该题主要考查利用导数判断函数单调性的基本方法，考查运用函数最值证明不等式的基本方法，综合考查学生的逻辑推理和运算求解能力. 第（2）小题不仅解法多样，而且贴近教材，更蕴含着深刻的高等数学背景（切线不等式）. 因此，该题位置前移的真正价值在于正面引导教学回归，将其作为与教材例题和习题与常用不等式结合复习的案例，会是一个不可多得的好素材. 4. 回归育人本位，促进“双减”落地 回归育人本位，就是要尊重教育规律，切实改变机械刷题、重复训练和套路训练的现象，要在如何让学生学会思考、掌握原理、内化方法、举一反三这些关键问题上下功夫，在训练的科学性、系统性、层次性上做文章，切实减轻学生过重的学习负担，促进学生身心健康发展. （1）培养学生问题意识. 教师要注重情境创设，引导学生观察、思考与探究，从中发现问题与提出问题，进而分析问题与解决问题.《标准》和教材也十分注重这方面的引导. 例如，人教A版教材必修第一册第87页“拓广探索”第13（2）题要求学生通过类比题干中的推广结论，写出“函数[y=fx]的图象关于[y]轴成轴对称图形的充要条件是函数[y=fx]为偶函数”的一个推广结论；人教A版教材必修第一册第230页“拓广探索”第18题要求学生观察已知三个等式的特点，写出能反映一般规律的等式；人教A版教材必修第一册第256页第24（2）题要求学生根据所给条件自己构造一些求值问题，该小题开放性强，答案多种多样，为学生提供了较大的思维空间. （2）促进学生学会思考. 授人以鱼，不如授之以渔. 数学题目千变万化，永远也做不完，只有真正学会了思考，学生的解题思维才能真正由模仿走向创造，才能灵活运用所学知识分析问题和解决问题. 例如，2023年全国新高考Ⅰ卷第21题第（3）小题（见例12），解题的关键：一是要明确[EY ]的含义；二是可以从特殊到一般探讨[EY]（即[Ei=1nXi ]）的计算方法，引导学生学会探究一般性问题的思维方法. 因此，高三数学复习教学中，教师要紧扣如何让学生学会思考，合理创设情境，注重问题引导，适度点拨启发，典例深度剖析，将学生思维不断引向深入. （3）加强运算能力培养. 运算求解能力历来是高考考查的重点，高考对其考查层次非常分明. 一是以基本运算为载体考查学生对运算对象的理解及运算法则的掌握情况，如全国新高考Ⅰ卷第2题，只要学生能理解复数[z]与其共轭复数[z]这两个运算对象的意义，并掌握了复数的四则运算法则就可以轻而易举求解，这是高考对运算求解能力考查的最基本要求. 二是以运算思路的寻求、运算方法的选择、运算程序的设计为载体考查学生对运算思路和运算方法的探究能力，如全国甲卷（理科）第12题，该题解题思路并不明显，需要学生根据椭圆的定义并结合余弦定理探究运算思路和方法. 三是以简化运算为载体考查学生思维的深刻性与敏捷性，如全国新高考Ⅰ卷第20题第（2）小题，在由[bn]为等差数列得到[a1=d]或[a1=2d]后，再运用等差数列的性质，便可以将[S99-T99=99]转化为[99a50-99b50=99]，进而得到关于[a50]的一元二次方程[a250-a50-2 550=0]，从而简化了运算. 四是以近似计算为载体考查学生思维的创造性，这类运算往往需要综合运用函数的单调性、不等式的基本性质等知识进行放缩，对学生的观察、变形及创新能力要求较高. 總之，针对上述考查特点，在高三数学复习教学中要做到以下几点. 首先，要依标靠本，做到研究《标准》、研究教材、研究高考，加强对数学基本概念、公式、法则、性质等基础知识的复习，不仅让学生能准确识记，而且还要在理解的前提下灵活运用；其次，要做到理解数学、理解学生、理解教学，要善抓典型例子，充分利用课内时间，着力培养学生的阅读理解、逻辑推理和数学运算能力. 真正做到：在增强基础性上下功夫，让学生基础更扎实；在增强综合性上下功夫，让学生潜能更宽广；在增强应用性上下功夫，让学生能力更突出；在增强创新性上下功夫，让学生活力更充沛. 参考文献： ［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020. ［2］教育部考试中心. 中国高考评价体系［M］. 北京：人民教育出版社，2019. ［3］教育部考试中心. 中国高考评价体系说明［M］. 北京：人民教育出版社，2019. ［4］教育部教育考试院. 深入考查基础知识和能力 助力人才选拔和“双减”落地：2023年高考数学全国卷试题评析［J］. 中国考试，2023（7）： 15-21. ［5］任子朝，赵轩. 基于高考评价体系的数学科考试内容改革实施路径［J］. 中国考试，2019（12）：27-32. ［6］赵轩，任子朝，翟嘉祺. 高考数学科情境化试题设计研究［J］. 数学通报，2021，60（12）： 1-3，66. ［7］翟嘉祺，任子朝，赵轩. 高考深化基础性考查研究［J］. 中学数学教学参考（上旬），2022（11）： 4-7，12. ［8］刘胡良，宋宝和. 高考数学“四翼”考查要求的实现途径探析［J］. 数学通报，2022， 61（4）： 26-30，36. ［9］章建跃. 通过直观理解导数概念感悟极限思想 运用导数研究函数性质解决实际问题［J］. 数学通报，2021，60（10）：7-12，66. ［10］向立政，周远方，张云辉. 深度考查关键能力 充分发挥育人功能：2022年高考数学试题命题特点及复习教学建议［J］. 中国数学教育（高中版），2022（9）：3-13. 作者简介：周远方（1962— ），男，正高级教师，特级教师，苏步青数学教育奖获得者，主要从事中学数学课程、教材、教学和评价研究； 向立政（1965— ），男，正高级教师，主要从事高中数学教学与评价研究； 张伟（1980— ），男，高级教师，主要从事高中数学教学与评价研究.
