守正创新·溯本求源·简中悟道

摘  要：依托2023年高考函数与导数相关试题，就课程标准要求、命题导向、教材关联、方法特点、能力素养等维度进行解读，给出2024年高考函数与导数专题的复习备考建议和典型模拟题.

关键词：函数与导数；试题特点；复习备考建议

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）中指出：函数是现代数学最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，在解决实际问题中发挥重要作用. 函数是贯穿高中数学课程的主线. 人教A版《普通高中教科书·数学》（以下统称“人教A版教材”）必修第一册第三章“函数的概念与性质”的章引言中进一步明确：客观世界中有各种各样的运动变化现象，所有这些都表现为变量间的对应关系，这种关系常常可用函数模型来描述；函数是解决数学问题的基本工具；函数概念及其反映的数学思想已渗透到数学的各个领域；函数知识有广泛的实际应用. 由此可见，充分了解高中阶段函数与导数知识的逻辑体系和目标要求，确立函数的观点，运用导数研究函数或解决实际问题，是高中数学教学的核心任务. 综观2023年9份高考数学试卷，对函数与导数内容的考查充分践行了《标准》的要求，突出强调对基础知识和基本概念的深入理解和灵活掌握，注重考查学生对学科知识的综合应用能力，落实《中国高考评价体系》（以下简称《体系》）中“四翼”的考查要求，彰显了合理控制试题难度、科学引导中学教学、促进考教衔接、避免机械刷题等命题特色.

一、试题特点分析

2023年高考关于函数与导数知识点的考查，题型涉及选择题（单选题和多选题）、填空题和解答题. 其中，选择题和填空题均以对函数的基本概念、函数的图象与性质的理解和应用为命题立意点，如全国新高考Ⅰ卷第4题、第10题和第11题，全国新高考Ⅱ卷第4题、第6题和第11题，全国甲卷（理科）第10题和第13题，全国乙卷（理科）第4题和第16题，天津卷第4题和第15题，主要考查函数的单调性、奇偶性、比較大小等基本概念和基础知识，数形结合地研究函数的基本方法，抽象函数的理解与转化及含绝对值和含参问题的转化策略，充分体现了在概念理解、熟练掌握通性通法的基础上做到灵活迁移和思维创新的能力要求. 解答题部分，除了全国新高考Ⅰ卷中将函数与导数解答题前移至第19题的位置，其他试卷中的函数与导数解答题仍然处于全卷压轴题或次压轴题的位置，主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线、利用导数研究函数的单调性、利用导数证明不等式、利用导数解决恒成立问题及求参数的取值范围，利用导数研究与三角函数综合的函数问题等内容，对推理能力和运算能力提出了较高要求.

题源分析：人教A版教材对情境创新性问题充分关注，如选择性必修第二册第75页例2的通货膨胀问题、第77页例5的净化水纯度问题、第80页例7的弹簧振子位移问题. 此外，课后习题中也涉及丰富的函数类情境问题，充分体现了函数源于生活实际、刻画变量关系、指导生产实践的基本数学逻辑. 学生在学习各类函数基本概念时要注重深度理解其发生发展过程，熟练掌握研究函数的基本方法和运算规律，并以教材例题和习题为研究载体，提升相关能力和素养. 高考对情境化问题的考查已经成为常态，常考常新的情境题要求学生在日常的学习中注重知识积累和学科知识融合，充分感悟函数知识的数学规律和数学逻辑，学会用数学的眼光观察世界，养成数学地思考问题的习惯.

类题赏析：自《标准》实施以来，情境创新性问题是每年高考的必考问题，如2021年全国新高考Ⅱ卷第4题以北斗三号全球卫星导航系统的科学情境命制，2022年北京卷第7题以国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术实现绿色冬奥的生活情境命制. 此类情境创新题往往取材于科学前沿、时事热点或与学生生活密切相关的话题，取材面广、题干新颖、信息量较大，具有较强的时代感，有利于在考查有关知识、能力和素养的同时，帮助学生树立文化自信. 其对学生的阅读理解能力提出了较高要求，但是只要精于提炼关键信息，掌握函数的基本性质，适当注意变量的定义规则和实际意义，便不难获解.

二、优秀试题分析

对2023年高考6份全国卷中与函数和导数内容有关的试题进行梳理，发现其在各份试卷中均占有较大比重，是高考考查的重点. 试题内容紧扣《标准》、依托教材，难度控制合理，注重对“四基”“四能”的考查，具备相当的参考意义和研究价值，为教学和高考复习备考提供了方向. 其中不乏立意高远、构思精巧的精彩试题，现遴选三道进行解读分析.

回顾反思：此题考查函数的单调性、含参问题的分类讨论和不等式的证明等问题，体现了导数在研究函数性质和不等式证明问题中的工具性，是高考函数与导数解答题的重要命题方向，难度适中，第（1）小题和第（2）小题的设问关联且递进，不同思维层次的学生均能找到自己的得分点. 若进一步研究又有多种可行性方案，能充分体现不同学生的思维水平和对知识、方法的理解及运用程度. 对引领教学和避免机械刷题具有导向作用.

例7 （全国乙卷·理21）已知函数[fx=][1x+a ·][ln1+x].

（1）当[a=-1]时，求曲线[y=fx]在点[1，f1]处的切线方程.

（2）是否存在a，b，使得曲线[y=f1x]关于直线x = b对称？若存在，求a，b的值；若不存在，说明理由.

（3）若[fx]在[0，+∞]上存在极值，求 a 的取值范围.

题意理解：第（1）小题考查导数的几何意义，即求曲线的切线方程，较为基础；第（2）小题考查对函数图象对称性的理解与应用，思维量有所提升；第（3）小题考查函数极值的存在性与方程根的联系，思维要求和运算难度有较大提升.

思路探求：第（1）小题，先由题意求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可. 第（2）小题，先求得函数的定义域，由函数定义域的对称性可以确定实数[b]的值，进一步结合函数的对称性，利用特殊值法可得关于实数[a]的方程，解方程可得实数[a]的值，最后检验所得的[a，b]是否正确即可. 第（3）小题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数[gx=ax2+x-x+1 ·]

[lnx+1]，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分[a≤0，a≥12]和[0

由零点存在定理，可知[φx]在区间[0，+∞]上存在唯一零点[x0，] 且[x0∈1-2aa， 16a2-1，] 所以函数[φx]在区间[0，+∞]上存在变号零点，符合题意.

回顾反思：此题是2023年高考函数与导数题部分一道非常出彩的试题，综合考查了导数的几何意义、函数图象的对称性和极值存在问题，几乎涵盖了用导数研究函数所涉及的全部数学思想与方法，所有处理方法和手段均为通性通法. 学生的解题训练重在解题质量，而不在于数量，如此题第（2）小题中的对称性处理策略，第（3）小题中[1-x+lnx<0，lnx≤x2-x，lnx<][12x-1x]等指数函数和對数函数放缩的原理与应用价值，或者参变分离、构造函数的处理技巧等，是值得学生深入探究的. 让教学和备考真正回归本源，在梳理数学知识体系和构建数学逻辑上下功夫，才是遵循规律的高效教学.

三、复习备考建议

1. 守正创新、依标据本，注重教材例题和习题的多维度价值

《标准》和《体系》为高中数学教学和高考数学备考提供了基本指南，通过对上述高考试题的梳理与分析，我们不难发现教材例题和习题与高考试题间的高关联性，教材例题和习题是高考试题命制的重要依据. 以人教A版教材为例，除例题外，其在习题的设置上相比之前的版本更加丰富，问题分层设置得更加合理，练习更倾向于对当节基本教学内容的检测. 习题主要分为三个部分，复习巩固部分是对当节课重点知识的考查；综合运用部分突出对基本技能和基本思想方法的训练；拓广探索部分侧重提供探究学习的素材. 因此，在复习备考过程中，充分发挥教材例题和习题的导向功能，帮助学生巩固概念，开展互动探究性再学习，捋顺函数与导数问题中的数学逻辑和基本方法显得尤为重要.

数学探究能力的培养是需要情境的，因为这种能力需要浸润在特定的日常问题或数学问题情境中才能得以生成. 鉴于函数与导数内容在高考中的核心地位，在复习备考过程中，学生要努力达成课程标准精神、评价体系与教材例题和试题的深度融合，以高考试题的考查意图为视角夯实基础知识，以提升思维能力和形成数学核心素养为目标完成从解题到解决问题的进阶.

2. 溯本求源、简中悟道，关注高考试题的复习引领功能

总体来说，2023年高考数学中的基础性试题显著增加，涉及函数与导数知识的试题基本聚焦于对导数的几何意义，以及函数的单调性、极值、最值等基本问题的考查，且多以由基本初等函数经过四则运算后形成的含参类函数模型为载体，以分类讨论探究函数的单调性、导数的几何意义、恒成立（存在性）问题、不等式证明的方式呈现，突出导数在研究函数问题中的工具性作用，鲜有涉及多变量问题、极值点偏移问题和隐零点问题，基本为对通性通法的考查. 一味地去猜题、押题、机械刷题，想通过题海战术来提高成绩的做法，显然不合时宜.

结合2023年高考函数与导数解答题位置的变化，我们可以大胆预测，今后高考数学解答题的呈现顺序不再固定，即不存在所谓的套路或题型固化. 位置前移，则难度下降；位置后移，则难度上升. 因此，在复习备考过程中要避免思维的固化，更不能存在侥幸心理，扎实构建函数与导数的知识体系和数学逻辑，深刻领悟函数与导数试题的本质与内涵，是有效复习的重要保障.

3. 勤于总结、学会迁移，重视复习过程的自我“反刍”效益

函数与导数试题考查形式多变、思维强度高、运算量大、技巧性强，深入理解导数与函数相关性质的内在关系是解题的基本保障. 复习备考过程中，要仔细归纳梳理考过、练过的经典题型，认真思考并回答“利用导数研究函数性质一般要经历哪些运算过程”“你对‘导数是研究函数性质的基本工具有什么深刻体会”“你认为用导数的方法解决函数问题时有哪些常见的问题类型”这三个核心问题.

基于对近几年高考中函数与导数试题的梳理，笔者认为通过求导解决函数的单调性、极值（最值）、零点（根）等问题仍然是高考对函数与导数部分考查的主旋律. 对此，做题时不能不求甚解、以量代质，对于重点环节或重点题型的复习要慢下脚步，让思维“反刍”成为习惯. 经验告诉我们，坚持深度学习，学会迁移，坚持反思感悟，构建思维体系，对于函数与导数内容的复习尤其必要.

真正理解函数与导数问题的本质，实现不同类似试题之间的深层次串联，以更高的视角应对函数与导数综合题，相信会有不一样的收获.

答案：略.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史宁中，王尚志.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》解读［M］. 北京：高等教育出版社，2020.

［3］教育部考试中心. 中国高考评价体系［M］.  北京：人民教育出版社，2019.

［4］教育部考试中心. 中国高考评价体系说明［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［5］任子朝，赵轩. 基于高考评价体系的数学科考试内容改革实施路径［J］. 中国考试，2019（12）：27-32.

作者简介：过家福（1970— ），男，中小学正高级教师，主要从事高中数学教学研究；

丁强生（1985— ），男，中小学高级教师，主要从事高中数学教学研究.