探索而来的“刚刚好”*——“确定圆的条件”的实践与思考

田 梅

⦿ 南京市浦口区实验学校

笔者曾在执教公开课——苏科版九年级上册第2章第3节“确定圆的条件”时,做了大胆的创新和尝试,学生的想法铺满了黑板,尽显山重水复疑无路的疑虑和柳暗花明又一村的喜悦.

1 教学分析

(1)内容分析

本节课从圆的定义出发,经历确定圆的条件的探索过程,形成外接圆、外心、内接三角形等概念.

(2)重难点分析

教学重点:经历确定圆的条件的探索过程,经历过不在同一直线上的三点作一个圆的过程.

教学难点:确定圆的条件的探索.

(3)教学目标

①经历确定圆的条件的探索过程,了解不在同一直线上的三点可以确定一个圆.

②经历过不在同一直线上的三点作一个圆的过程,观察和比较所作图形的特点,了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念.

③在探究过程中,体会分类讨论思想.

2 教学过程

2.1 如何理解“确定圆”

教师:请同学们回忆一下,确定直线、三角形的条件分别是什么?

学生1:两点确定一条直线,不共线的三点确定一个三角形.

教师:也就是说,经过两点我们能作并且只能作一条直线,以不共线的三个点为顶点我们能作并且只能作一个三角形,那你们是如何理解“确定圆”的呢?

学生2:根据一些条件,只能画出一个圆.

教师:是的,“确定”就是有且仅有,存在且唯一.

设计意图：本环节从确定直线、三角形的条件开始回忆,而确定直线、三角形的条件学生是熟悉的,从而唤醒和加深学生对“确定”的理解——有且仅有,存在且唯一.

2.2 确定圆的条件是什么

教师:同学们,你们认为确定圆的条件是什么?

学生3:圆心和半径.

教师:好的,请你以确定的圆心和半径为条件作圆.(学生在黑板上画图,如图1.)

图1

教师:根据圆的定义,同时给出圆心和半径这两个条件可以确定一个圆.你能否尝试改变条件,也能确定一个圆吗?同学们画画看.

学生4:(在黑板上作图,如图2)给出圆心O和圆上一点A也可以确定一个圆.

图2

教师:请解释一下你的想法.

学生4:连接圆心和圆上的一点,就可以得到半径.知道了圆心和半径就可以确定圆.

教师:很好!这位同学保留了圆心O这个条件,把半径改成了圆上一点,那么还可以从其他角度改变条件吗?同学们再试试看.

(学生陆陆续续在黑板上画图,如图3～8.)

图3

学生5:半径r和圆上一点A.

学生6:半径r和圆上两点A,B.

学生7:半径r和圆上三点A,B,C.

学生8:圆上三点A,B,C.

已经关停的油井，是否还有必要恢复？读罢贵刊2018年第19期刊登的报道《“唤醒”关停井》一文，得出的答案不仅是“有必要”，而且是“油田企业扭亏脱困的重要手段”。

学生9:矩形ABCD.

学生10:弧AB.

教师:同学们陆续地在黑板上画了一些图,下面就请他们结合图形说说自己的想法.

学生5:我保留了半径r这个条件,然后确定了圆上一点A.但是我发现圆心有无数个,而且在以A为圆心,r为半径的圆上,因此这两个条件不能确定一个圆.

学生6:我想到的条件是半径r和圆上两点A,B.目标也是找圆心,首先作线段AB的垂直平分线,然后以A为圆心r为半径画弧,与线段AB的垂直平分线交于两点,所以可以作出两个圆.

教师:在找圆心时,你为什么想到作线段AB的垂直平分线?

学生6:因为圆心O到点A,B的距离相等,而到点A,B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上.

教师:很好!对比图3和图4,在添加了圆上的一点后,圆的个数从无数个变成了两个,我们离成功更近了,而且获得了一个非常宝贵的经验——已知A,B是圆上两点,那么圆心在线段AB的垂直平分线上.

图4

图5

(其他学生说:条件太多了,半径不需要.)

学生8:我先画了三个点A,B,C,然后作AB,BC的垂直平分线,它们的交点就是圆心,圆心到点A的线段长就是半径,此时圆就画出来了.

教师:此时,我们感觉到这位同学画的三个点A,B,C刚刚好能确定一个圆,条件不多也不少.那么这是不是确定圆的条件呢?任意三点都可以确定一个圆吗?同学们验证一下,画画看.有想法的可以到黑板上讲一讲.

学生11:如果三个点A,B,C在一条直线上,线段AB,BC的垂直平分线互相平行,此时它们没有交点,也就没有圆心,因此这个时候不能确定圆.

教师:那么,可以怎样正确地表述确定圆的条件?

学生:不在同一条直线上的三个点确定一个圆.

教师:同学们,我们回头看一看探索过程.我们从圆的定义出发,先是保留圆心,将半径改为圆上一点是可以的;然后保留半径,将圆心改为圆上一点、两点、三点,最终得到不共线的三个点是“刚刚好”确定圆的条件.当然这个过程中,我们始终抓住的仍然是能否确定圆心和半径.

学生9:我作了一个矩形ABCD,经过矩形的四个顶点也能确定一个圆.

(其他学生:不是所有的四个点都能确定一个圆啊.)

教师:这个同学想到了矩形,一种特殊的四边形,那么对于任意的四边形四个顶点都共圆吗?显然不是.看来需要对这个四边形添加一些条件,使得四点共圆的四边形更一般化.这个问题留给同学们课后去探索!

学生10:一条弧也可以确定一个圆.一开始我是跟着感觉顺着弧描出来的圆,现在我觉得可以在弧上任意找三个点,就可以确定一个圆.

教师:是的,弧上有无数多个点,任意三个点都是不共线的,都可以确定弧所在的圆.与“不共线的三个点”相比,弧给的无数个点就太多啦!

设计意图：本环节从圆的定义出发,圆心确定位置,半径确定大小.学生通过不断尝试改变条件,经历了可以作出无数个圆、作出不同位置的两个圆、不能作圆、可以作出确定的圆等,最终发现不共线的三个点是确定圆的条件.这个过程有7个学生在黑板上画图并分享自己的想法,全体学生共同探索和见证结论的形成.

2.3 如何用直尺和圆规作三角形的外接圆

教师:同学们,观察图6,不共线的三个点A,B,C给我们最直接的意象是△ABC,而⊙O是经过这个三角形三个顶点的圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心,这个三角形叫做圆的内接三角形.请你任作一个△ABC,然后用直尺和圆规作△ABC的外接圆,并思考还可以得到哪些结论.

图6

图7

图8

(学生陆陆续续在黑板上画图,如图9～11.)

图9

图10

图11

学生12:OA=OB=OC,锐角三角形ABC的外心O在其内部.

学生14:OA=OB=OC,钝角三角形ABC的外心O在其外部.

教师:同学们通过作图发现了不同形状的三角形,其外心与三角形的相对位置也不同.为什么三角形的形状会影响其外心的位置呢?同学们可以思考一下.另外,老师还看到有的同学画了等腰三角形的外接圆,多么漂亮的轴对称图形.我们还可以提出并解决哪些问题呢?这些都是值得进一步探索的问题……

设计意图：在上个环节探索的基础上,形成外接圆、外心、内接三角形的概念;学生经历尺规作图的过程,进一步发现外心的性质和相关结论,并为未来可能的探索作铺垫.

3 教学思考

3.1 设计“真”问题,让学生经历知识点的生成

《义务教育课程方案(2022年版)》和各学科义务教育课程标准(2022年版)已于2022年4月正式颁布,课标高度强调:育人为本,建构核心素养导向的新教学.问题设计应基于学生、尊重学生,如果问题不切合学生所想和所需,学生思维可能就“僵”在那里.比如,如果我们问学生,过一个点、两个点能确定一个圆吗?学生会觉得奇怪,因为他们已经知道两点确定一条直线,确定圆肯定要超过两个点,所以不符合初三学生的认知特点,也显得问题不具有合理的逻辑性.如果从一个点、两个点开始,到不共线的三个点结束,学生难以体会不共线的三个点是“刚刚好”的条件.从学生认知基础圆心和半径突然到不共线的三个点,既限定了学生的思维,又缺少必要的关联.课标指出,问题的提出应引发学生认知冲突,激发学生学习动机,促进学生积极探究,让学生经历数学观察、数学思考、概括归纳、迁移运用等学习过程,体会数学是认识、理解与表达真实世界的工具、方法和语言,增强解决问题的能力.从本案例的实践来看,教师在提出如何改变条件确定圆的问题后,学生积极动笔画图,不断尝试,陆陆续续产生了很多想法,并愿意交流分享,最终在黑板上完整地呈现出探索过程和成果.对于学生来说,这个问题是切合需要的、适合挑战的,自然而然这个问题的探索过程是一次真实的、丰富的体验.

3.2 开展“真”探究,由学生实现思维点的突破

当下的课堂中常常见到“快闪探究”,老师提出一个探究问题,学生立即回答,或者小组交流还没有展开就已经结束.也常常见到“假探究”,就是用不太恰当或者错误的方法开展探究,忽视了探究的学科属性.新课标明确提出强化学科实践,就是“像学科专家一样思考与行动”,在教学情景中,运用该学科的概念、思想与工具,解决真实的问题.在此案例中,学生从圆的定义(圆心确定位置、半径确定大小)出发,有逻辑地尝试改变条件,利用控制变量、弱化条件的思想,不断探索和修正,学生作为课堂的主体,陆续分享自己的想法,互相交流和碰撞,最终解决问题——不共线的三点是确定圆的“刚刚好”的条件.这个探究过程以学习者为中心,关注学生思维的方向性、层次性、灵活性、品质性,以高阶的素养目标为导向.

史宁中教授说:教学不仅要教给学生知识,更要帮助学生形成智慧[1].知识的主要载体是书本,而智慧则形成于经验的过程中,形成于经历的活动中,教师应该为学生创造思考的过程、探究的过程.通过探究活动,让学生亲身感悟解决问题、应对困难的思想和方法,就可以逐渐形成正确思考与实践的经验.乔治·波利亚在《数学的发现》一书中说:在语言文字表达及概念建立之前要先有一个探究阶段,这样学习所得才能转化为学生的才能和品性,变成精神素质的一部分[2].

3.3 积累“真”经验,助力学生的可能性创造

“如何把学生教聪明,如何让数学变得容易一点”,这一直是笔者在探索实践的问题.本案例中,学生从定义出发,运用了控制变量改变条件、弱化条件等方法,积累方法的经验;在发现的过程中领悟新知识,积累创新和创造的经验;在分析和调整的过程中抓住问题的核心,从感性认识上升到理性认识,为未来的学习提供可参考迁移的思维经验.如果学生在每天的学习后,有新的视角或者方法解决他之前不会的问题,就会逐渐感觉到数学的力量感,从而感觉数学变得容易一点了.现在的每一节课,都是为了学生在未来应对新的挑战时能更加从容、自信和有力.

从本案例的设计、试讲、修改的过程中,笔者愈发感觉到把学生放在心中,把培养学生的学科素养体现在每一节活生生的课中,在发展学生的同时也成就了自己,这也是教师的初心和使命吧!