拉格朗日中值定理在含参数不等式问题中的应用思考

华南师范大学数学科学学院(510630)洪森鸿

1 问题的提出与背景

拉格朗日中值定理是数学分析中的一个重要定理,其特殊的等式关系连接了切线斜率与割线斜率之间的关系.定理描述如下:

定理如果函数f(x)满足: (1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导,那么至少存在一点ξ∈(a,b),使得成立.

在中学数学问题解决中,拉格朗日中值定理有着重要的应用价值.文献[1-3]讨论了型不等式题目中,拉格朗日中值定理的应用以及相关注意条件.然而拉格朗日定理也普遍运用在求解型不等式中,典例如下:

例1(2007 年高考Ⅰ卷理科第20 题) 设函数f(x) =ex-e-x.(1)证明: 函数f(x)的导数f′(x) ≥2;(2)证明:若对∀x≥0,都有f(x)≥ax,则a的取值范围为(-∞,2].

证明(1) 略.(2) 当x= 0, 显然成立.因此当x> 0 时,f(x) ≥ax可转化为.由拉格朗日中值定理知, 至少存在一点ξ∈(0,x), 使得.由基本不等式知eξ+e-ξ≥2,因此a≤2.

上述的证明在文献[4-7]均有提到,然而此处的证明方法并不严谨,切线斜率最值与函数导数最值显然并不一定相等.诚然在此题中的最小值也恰好为2,但并非所有函数的结构满足这种最值相等的关系,例如在2020 年高考全国Ⅰ卷理科卷中出现类似问题:

当x≥0 时,,求a的取值范围.

此题若使用拉格朗日中值定理,则当x> 0 时,原不等式转化为

图1

从图中可以看出g′(t)与的最大值显然不相等,此处使用前面例1 方法求a取值范围会导致题目的求解出错.那么拉格朗日中值定理在此类不等式问题中的使用前提条件是什么? 这在文献[4-7]以及许多学者研究中均未提及讨论.而针对这一问题,笔者经探究得出了下面实用性的性质与推论,以补充完善前人研究.

2 性质探究与应用

性质1定义域为[0,+∞)的连续可微函数f(x)满足f(0) = 0,存在唯一的x0> 0,使得,若函数f′(x)-f′(x0)只有唯一零点,则在x=x0取得最值f′(x0).

证明令h(x) =f(x)-f′(x0)x, 则h′(x) =f′(x)-f′(x0),由条件知x=x0为h′(x)的唯一零点.因此进一步分为以下四种情况:

(1)若x∈[0,x0),h′(x) > 0;x∈(x0,+∞],h′(x) < 0;则h(x)max=h(x0) =f(x0) -f′(x0)x0= 0, 故∀x∈[0,+∞),h(x)≤0,即.

(2)若x∈[0,x0),h′(x) < 0;x∈(x0,+∞],h′(x) > 0;则h(x)min=h(x0) =f(x0) -f′(x0)x0= 0, 故同理,∀x∈[0,+∞),.

(3)若∀x∈[0,+∞),h′(x) ≥0, 即f′(x) ≥f′(x0).则由拉格朗日中值定理知, 存在ξ∈(0,x),,当x=x0,等号成立.

(4)若∀x∈[0,+∞),f′(x) ≤f′(x0).则同理由拉格朗日中值定理可得,存在ξ∈(0,x),,当x=x0,等号成立.

推论1定义域为[0,+∞)的连续可微函数f(x)满足f(0) = 0,存在x0> 0 使得,若f′′(x) > 0,则最小值为f′(x0);相反,f′′(x) < 0,则最大值为f′(x0).

证明因为h′′(x) =f′′(x), 则当h′′(x) ≥0 时, 满足x∈(0,x0),h′(x) < 0;x∈(x0,+∞),h′(x) > 0, 由性质1情况(2) 证明,.同理可证当f′′(x) < 0 时,.

推论2定义域为[0,+∞)的连续可微函数f(x)满足f(0) = 0,且存在x0> 0 使得,若f′′(x)的唯一零点为x=x0,则最值为f′(x0).

证明因为h′′(x0) =f′′(x0) = 0,且x=x0为h′′(x)唯一零点,h′(x0) =h(x0) = 0.若x∈(0,x0),h′′(x) > 0;x∈(x0,+∞),h′′(x) < 0, 则此时h′(x) ≤ 0, 对应性质1 证明的(4) 情况.同理若x∈(0,x0),h′′(x) < 0;x∈(x0,+∞),h′′(x) > 0, 则对应性质1 证明的(3) 情况.而f′′(x) ≤f′′(x0) = 0 和f′′(x) ≥f′′(x0) = 0 分别对应性质1 证明的(1)和(2).证毕.

推论3定义域为[0,+∞) 的连续可微函数f(x) 满足f(0) = 0, 若f′(x) 在f′(x0) 处取得最大值, 若满足, 则, 若,但, 则依然有, 等号在x→0 时可取得.

证明由拉格朗日中值定理知,而f′(ξ) ≤f′(x0),所以,若,则等号可以成立;若,但存在,则,根据极限思想可知当x→0 时,不等式等号可成立.

同理,推论3 可推广至f′(x)存在最小值的情况,此处简略.

例2(2008 年高考全国ⅠⅠ卷理科第22 题) 设函数, 对∀x≥0, 都有f(x) ≤ax, 求a的取值范围.

解析x= 0 不等式显然成立.当x> 0,, 由于,.当x∈(2kπ,2kπ+π) (k为非负整数),f′′(x) < 0, 而当x∈(2kπ+π,2kπ+ 2π)(k为非负整数),f′′(x) > 0, 且f′′(2kπ+π) = 0.因此∀x> 0,, 由于而, 故由推论3 知,,从而.

点评此题先求解f′(x)的最值,进而利用推论3 可知与f′(x)在最值上是一致的,从而实现切线斜率与割线斜率最值的合理转化.

性质2定义域为[0,+∞) 的连续可微函数f(x) 满足f(0) = 0, 且在(0,+∞) 上无零点, 若存在, 且函数f′(x) -f′(0) 有唯一零点0,则最值为f′(0).

证明令g(x) =f(x)-xf′(0),g′(x) =f′(x)-f′(0)存在唯一零点0.若g′(x) > 0, 则g(x) >g(0) = 0, 即.相反,若g′(x)<0,则.

推论4定义域为[0,+∞) 的连续可微函数f(x)满足f(0) = 0, 且在(0,+∞) 上无零点,存在.若f′′(x) > 0, 则,相反若f′′(x)<0,则.

证明因为g′′(x) =f′′(x), 若g′′(x) > 0, 则g′(x) ≥g′(0) = 0, 所以g(x) ≥0, 即.同理可证g′(x)<0 时,则.

例3(2017 年高考新课标ⅠⅠ卷文科第21 题) 设函数f(x)=(1-x2)ex,当x≥0 时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.

解析当x>0,令g(x)=(1-x2)ex-1,则.假设方程有解,则进一步化简为h(x) = (x3+x2-x+1)ex-1 = 0有解, 然而h′(x) = (x3+ 4x2+x)ex> 0,h(0) = 0, 因此∀x> 0,h(x) > 0, 矛盾, 方程无解.又因为g′′(x) =-(x2+4x+1)ex< 0,由推论4 可得,从而a≥1.

点评例3 先检验是无实数根的,进而利用推论4 条件进行推理,得到参数取值范围.

例4(2006 年高考新课标Ⅰ卷理科第21 题) 设, 对∀x∈(0,1), 恒有f(x) > 1, 求a的取值范围.

解析f(x) > 1 可转化为,令,则.令,.因此h(x) >h(0)= 0,从而在(0,1)上无零点,而由推论5 知,从而a≤2.

点评例4 在处理不等式上与例3 略微不同,首先需要通过对数转换将题目函数不等式转化为的结构.进而结合推论4 的方法,通过与例3 相同的计算过程得到最终结果.

性质3定义域为[a,b](a< 0,b> 0) 的连续可微函数f(x) 满足f(0) = 0, 若∀x∈[a,b],xf′′(x) ≥0, 则.相反,若xf′′(x) ≤0,则.(假设存在)

证明令, 则, 而(f′(x)x-f(x))′=xf′′(x),若xf′′(x) ≥0,则当x∈(a,0),f′(x)x-f(x) 0.因此.同理可证,xf′′(x)≤0 时,.

性质4定义域为[c,+∞)的连续可微函数f(x)满足f(c)=0.若存在唯一的x0>c,使得,若函数f′(x)-f′(x0)只有唯一零点,则在x=x0取得最值f′(x0).

证明令h(x) =f(x) - (x-c)f′(x0), 则h′(x) =f′(x)-f′(x0), 由条件知x=x0为h′(x) 的唯一零点.与性质1 的证明相似, 可以分为四种情况.以第一种情况为例: 若x∈(c,x0),h′(x) > 0;x∈(x0,+∞),h′(x) < 0;则h(x)max=h(x0) =f(x0) -f′(x0)(x-c) = 0, 故∀x∈[c,+∞),h(x) ≤0, 即.同理其他三种情况可参考性质1 的证明, 此处从略.综上,在x=x0取得最值f′(x0).

性质5定义域为[c,+∞) 的连续可微函数f(x) 满足f(c) = 0, 且在(c,+∞) 上无零点, 若存在, 且函数f′(x) -f′(c) 有唯一零点c,则最值为f′(c).

证明令g(x) =f(x) - (x-c)f′(c), 则g′(x) =f′(x) -f′(c), 因为g′(c) = 0, 由条件知,∀x∈(c,+∞),g′(x) > 0 或g′(x) < 0, 结合g(c) = 0 得g(x) ≥0 或g(x)≤0.从而,或.

推论5定义域为[c,+∞) 的连续可微函数f(x)满足f(c) = 0, 且在(c,+∞) 上无零点,存在.若f′′(x) > 0, 则,相反若f′′(x)<0,则.

证明因为g′′(x) =f′′(x), 若g′′(x) > 0, 则g′(x) ≥g′(0) = 0, 所以g(x) ≥0, 即.同理可证g′(x)<0 时,则.

上述性质与推论等号均只在x=c时取到.

例5(2016 年高考新课标ⅠⅠ卷文科第21 题) 已知函数f(x) = (x+ 1)lnx-a(x- 1), 若当x∈(1,+∞) 时,f(x)>0.求a的取值范围.

解析题目条件可转化为, 当x∈(1,+∞) 时,, 令h(x) = (x+ 1)lnx, 则h(1) = 0,, 若, 化简得,显然当x∈[1,+∞),方程只有唯一解x=1.又因为,因此由推论5知当x∈(1,+∞),,故a≤2.

点评例5 先检验不存在实数根,进一步利用推论5 的结论进行转化,实现不等式参数范围的求解.

3 总结

在参数不等式问题解决中所应用的拉格朗日中值定理法属于高观点视野下的解决方法,上述5 个性质及其推论的讨论,进一步揭示了该定理的部分使用条件.使用高观点数学方法解决中学问题,能够实现问题的“妙解”.而我们发现,高考命题中经常用到高观点的思想方法,这值得数学教育者予以关注与研究.