基于最近发展区理论的高中数学建模习题编制与实践*

广东省中山市中山纪念中学(528454)梁世锋

“课程标准”将数学建模列为数学学科核心素养之一,是新教材数学课程的核心内容,有明确的教学课时要求和任务.新教材从内容设置、属性规模、数学抽象、有层次地设置各类数学建模素材资源及深厚的数学育人价值等信息资源.根据新教材中对数学建模问题进行划分如下:

建模活动 问题求解问题数学化结果解释建构与简化结果检验模型优化合计数量/项32241186485百分比/% 37.728.212.99.47.14.7100.0

如表所示,新教材中的35 个任务共考察了85 次建模活动,其中问题求解是新教材中考察最多的活动,占总活动量的37.7%,数学化次之,占28.2%,总的来说,新教材中所涉及的建模活动覆盖较全面,注重模型的应用能力.但在教学实践中受限于教学课时、课堂实效、建模素材选取的便利性、考题导向以及数学建模教学定位与价值认识模糊等因素,在教学实践中存在不少现实困境.如何编制有利于建模教学的习题或试题是值得探究的问题.

1 关于维果茨基“最近发展区”的理论概述

维果茨基“最近发展区”理论的基本观点是学生发展有两种水平: 一是已经达到的发展水平,表现为学生具备独立解决问题的智力水平;二是他可能达到的发展水平.

在这种水平下学生需要借助导师引导、帮助,才能解决问题.这两种发展水平之间的距离定义为最近发展区.我们可以用图1 来形象地说明这个隐喻性的概念.坐标轴的方向表示思维水平的层次,当问题的思维水平要求在C以远,则即使有帮助,该生也不能解决这问题.从坐标轴上形象地看,教学过程就是最近发展区AB的移动过程.正是由于这样的移动,使得原本处于最近发展区里的问题,被置于现有发展水平(区)里.本文试图从最近发展区的理念作为切入点,结合国家标准数学建模素养的三个发展水平,选取新教材的数学问题或经典习例题开展数学模型习题编制.以案例分析为背景,按照以下框架(图2)进行数学建模问题的编制.

图1

图2

2 同源改编,从教材及试题中取材

一般来说,直接构建源于现实生活的数学建模问题有难度.实践结果表明,立足于学生的最近发展区水平,选取课本习题适当内容为载体改编成数学建模习题或试题,有利于深化学生对内容的理解,减轻教师的工作量,是提高数学建模教学效果的一种较高效策略,笔者认为可从下面的视角改编.

2.1.关系改编,将定量关系改编为变量关系

题源: 人教版新教材必修1若用模型y=ax2来描述汽车紧急刹车后滑行的距离v与刹车时的速度x的关系,而某种型号的汽车在速度为60 km/h 时,紧急刹车后滑行的距离为20 m,在限速为100 km/h 的高速公路上,一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为50 m,问这辆车是否超速行驶?

数学建模问题当前交通繁忙,马路上车水马龙,怎么保持在公路上安全刹车已经成为越来越重要的问题,那么应该怎样规范才能使人们在安全的条件下驾驶汽车,请同学们自由选择品牌车型,研究汽车的刹车距离模型,并进一步为使用该车型里的车主提供安全的驾驶建议.

对各种影响因素进一步分析,初步建立较为完整的数学模型.

假设一.道路状况、天气、车辆正常行驶、车轮与路面摩擦系数等外界条件一致;

假设二.驾驶员反应时间t1为常数,车辆在反应阶段作匀速直线运动,速度为v;

假设三.车辆在制动刹车做匀减速直线运动,加速度只与车型相关(即加速度为常数,制动所做的功全部用于车辆动能消耗);

假设四.刹车距离d=反应车辆行驶距离d1+车辆制动距离d2;

假设五.制动距离d2: 由制动器作用力F、车的质量m、车速v(制动时的初速度)、道路状况、天气状况相关;

假设六.刹车时间用最大动力F,F作的功等于汽车动能的改变,且F与车的质量m成正比.

用现实数据来检验这个公式: 根据查阅资料,摩擦系数u与多种因素有关,一般为0.8 左右,雨天可降至0.2 以下,冰面就更低了,假设u=0.8,车速与刹车距离表(表3)如下:

表3

可以得出该车型车速在20km/h∼100 km/h, 刹车距离与车速正相关,当然也与制动效果、天气、地面、摩擦系数等有相关关系,可进一步研究,描出车速与刹车距离的散点图,拟合回归方程,估算出相应的刹车时长.

车速与刹车距离散点图

2.2.条件改编,放宽约束条件或隐去限制条件

教材中不少习例题或已有试题中的应用题是给定条件和确定数据的,通过调整数据,减少或增加条件,放宽约束条件,隐去限制条件可以编制成数学建模问题.

题源: 模拟考题某单位有10000 名职工, 想通过验血方式筛查乙肝病毒携带者, 假设携带病毒的人占5%, 如果对每个人逐一化验, 就需要化验10000 次, 统计专家提出了一种化验方法; 随机地按5 人一组分组, 然后将各组5人的血液混合再化验, 如果混合血液呈阴性, 说明这5 个人全部阴性; 如果血样呈阳性, 说明至少有一人的血样呈阳性, 就需要对每个人再分别化验一次, 按照这种化验方法, 平均每人需要化验____次.(结果保留四位有效数字)(0.955≈0.7738,0.956≈0.735,0.957≈0.6983)

混管采样检测是学生有生活真实体验感受的,下面构建筛查样本的真实情境,作以下假设:

假设一.采样总样本为n份,采用k份血液样本混管检验;

假设二.每次检测的时间和成本相同,人人与之间相互独立,不传染;

假设三.方案一,逐个检验;方案二,平均分成两组,再将每组样本混合检验;方案三,四个样本混在一起检验.

假设四.以检测次数的期望衡量方案的优略.

数学建模问题新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒,筛查该病毒的一种方式是检验血液样本中相关指标是否为阳性,对于n份血液样本,有以下两种检验方法: 一是逐份检验,则需检验n次.二是混合检验,将其中k份血液样本分别取样混合在一起,若检验结果为阴性,那么这k份血液全为阴性,从而检验一次就够了;如果检验结果为阳性,为了明确这k份血液中究竟哪些为阳性,就需要对它们再逐份检验,此时n份血液检验的次数总共为k+1 次.某定点医院现取得4 份血液样本,考虑以下三种检验方案: 方案一,逐个检验;方案二,平均分成两组,再将每组样本混合检验;方案三,四个样本混在一起检验.假设在接受检验的血液样本中,每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的,且每份样本是阴性的概率为p.

(1)求两份血液样本混合检验结果为阳性的概率;

(2)若检验次数的期望值越小,则方案越优.那么三种方案中哪个最优? 请说明理由.(以下略,请有兴趣读者自行完成)

进一步研究,若取得为4k(k∈N∗)份血液样本,情况如何?

2.3.情境改编,将数学探究问题置于真实情境

注重构建符合学生认知的真实情境或次真实的情境,有利于激发学生学习的兴趣,常见的真实情境包括生活情境、文化情境、科学情境、社会情境,将抽象的数学背景置于真实情境,有利于学生建模素养的发展.

题源: 2019 年高考全国Ⅰ卷第4 题古希腊时期, 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(,称为黄金分割比例), 著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是( )

A.165cm B.175cm C.185cm D.190cm

数学建模问题维纳斯身高与黄金分割的关系,是数学在生活场景中的应用.问题迁移,在现实生活中,不少女孩子穿着高跟鞋时,显得腿修长美观,那如何选配鞋跟高度才是合理的呢? 你能给出一个合理的建议方案么? 其实,这是一个具有探究现实真实情景的数学建模问题,具备现实研究价值.

假设一: 定义“美”的模型: 古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(,称为黄金分割比例)即采用黄金分割比例作为标准.

假设二: 女孩身高为lcm,肚脐至足底的长度dcm,鞋跟高度为xcm;

假设三: 正常比例范围的人群范围中采集数据,也可模拟真实正常数据.

身高l肚脐至足底的长度d原始比值(近似值)鞋跟高度为x调整比值(近似值)160cm 97cm 0.649cm 2cm 0.636cm 160cm 97cm 0.649cm 3cm 0.630cm 160cm 97cm 0.649cm 4cm 0.624cm 160cm 97cm 0.649cm 5cm 0.618cm 160cm 97cm 0.649cm 6cm 0.612cm

注高跟鞋的鞋跟高度可作以下分类: 1.低高跟鞋一般是4 厘米以下;2.中跟高跟鞋一般是5-10 厘米;3.超高跟鞋一般高度为11 厘米以上;4.日常最低的高跟鞋一般是4 厘米以下,通常是5-10 厘米居多.

从数学的理性视角是选择5 cm 鞋跟,当然根据个人舒适度选择4 或6 厘米的鞋跟接近黄金分割比例,也是不错的选择.此类模型,贴近生活,有现实意义、数学工具和模型符合学生认知.

2.4.性态改编,将静态模型转为动态模型

新教材中的习例题或课外习题的应用探究题大多属于静态模型,通过将模型中的质点转化为动态质点,对模型进行数学建模假设,构建出更符合真实情境的动态模型.考虑到运算的便利性,有时可以改编为次真实情境的动态模型.

题源: 人教版选择性必修1 例题改编在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,以台风中心为中心,半径为20 km的圆形区域内将受到台风影响.已知城市位于台风中心正西40 km 处,该城市的港口位于城市中心正北30 km 处,如果台风沿北偏西45◦的直线行进,那么港口是否会有受到台风影响?

构建台风影响城市的次真实情境,作以下假设:

假设一.台风沿向西偏北β方向匀速直线运动;

假设二.台风的影响面积是圆形面积,初始半径为r0km且半径是匀速v2km/h 变大;

假设三.台风中心位于城市O(如图4)的东偏南θ方向d0km.

图4

数学建模问题在某海滨城市附近海面有一台风, 据监测, 当前台风中心位于城市O的东偏南θ方向d0km 的海面P处,并以v1km/h 的速度向西偏北β方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域, 当前半径为r0km,并以v2km/h 的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?

若建立坐标系以O为原点,正东方向为x轴正向.此时,台风中心(P(¯x,¯y))的坐标为台风侵袭的区域是(x-)2+ (y-) ≤[r(t)]2, 其中r(t) =v2t+r0, 若在t时刻城市O受到台风的侵袭, 则有(0-)2+(0-)2≤(v2t+r0)2.不妨赋值如下:,r0=60 km,d0=300 km,v1=20 km/h,β=45◦.下面计算该城市开始受到台风的侵袭的时刻.

解如图4 建立坐标系以O为原点,正东方向为x轴正向.台风中心(P(,))的坐标为

此时台风侵袭的区域是(x-)2+(y-) ≤[r(t)]2, 其中r(t) = 10t+60,若在t时刻城市O受到台风的侵袭,则有(0-)2+(0-)2≤(10t+60)2.即

即t2-36t+288 ≤0,解得12 ≤t≤24.即12 小时后台风将侵袭该城市.

进一步可以研究, 若台风是沿匀加速(特殊)曲线运动,台风半径膨胀是匀加速状态的数学模型.

2.5.模型改编,探索模型与解释模型改编为学科融合模型

题源: 课外习题已知室内温度T1和室外温度T2恒定不变,热传导过程已处于稳定状态,即沿热传导方向,单位时间通过单位面积的热量是常数.单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q与T成正比,与d成反比,即,其中k为热传导系数,现有某家庭的窗户计划从两种材质相同,厚度分别为d1,d2(d1

数学建模问题在现代居家装修中,不少家庭的窗户采用双层玻璃,即窗户上装两层玻璃且中间保留一定空隙,据说这种玻璃窗能够减少冬天室内向室外流失的热量或夏天减少室外流向室内的热量.建立数学模型,试用所学的知识解释其合理性.

模型假设

假设一.双层玻璃和单层玻璃的室内外气流流速及流向一致,室内室外温差为∆T;

假设二.窗户的密封性能很好,两层玻璃的空隙中的空气保持静态,即热量的传播无对流的单向传导;

假设三.玻璃材料均匀,双层玻璃每层厚度为d,双层玻璃之间空隙宽度为l,单层玻璃厚度为2d;

假设四.用物理学热传导定理解释数学模型;

假设五.室内温度T1和室外温度T2恒定不变,热传导过程已处于稳定状态,即沿热传导方向,单位时间通过单位面积的热量是常数.单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q与T成正比, 与d成反比, 即,其中k为热传导系数.

根据物理定律的数学建模问题

双层窗内层玻璃的外侧温度为Tm外层玻璃的内侧温度为Tn, 玻璃的热传导系数为k1, 空气的传导系数为k2, 单位时间单位面积的热量传导(即热量流失)为, 求解得, 其中, 而厚度为2d的单层玻璃窗, 其热传导为,两者之比为.

从而可以得出结论: 材质一致,双层玻璃比单层玻璃能够减少热量的流失(流入).进一步探究,双层玻璃之间的空气层的宽度并非越大越好? 双层玻璃单片厚度与中间空隙的合理比值是多少?

3.基于教材习例题和试题编制数学建模习题的启示

3.1 重视教材和习题的数学建模资源整合,引导学生领悟数学建模的本质

数学建模是对现实问题的数学抽象,一般步骤为信息表述、问题求解、模型解释、结果验证几个阶段,通过系统挖掘并深度解析教科书中数学建模问题资源,提升学生实践能力与创新意识,数学学习兴趣的培养,体验数学建模过程和“实践一理论一实践”这一循环,有助于学生数学建模素养的发展.

3.2 重视教材中建模内容的组织与改编,有助于突破建模教学的制约因素

挖掘教科书中数学问题的数学建模本质,将生活现象与社会热点问题编制为高中数学建模习题符合学生认知最近发展区,有利于学生深化理解已有的数学问题,促进潜在建模能力水平的发展,有利于改善数学建模教学中受教学课时限制、试题命制限制、演算工具限制、教师意识限制等制约数学建模教学发展的干扰因素.因此教师应对教材素材其进行系统挖掘,并统筹编制数学建模问题,帮助学生较全面系统地理解数学建模的教育价值、科学价值及应用价值.

3.3 提升教师的数学建模素养与挖掘教材的能力,有助于学生建模素养发展

数学建模教学要求教师有较高的数学建模素养,也要求教师要准确把控教材对建模内容的数量与功能定位.基于新教材中的素材改编为学生感兴趣的、符合高中课程标准的、符合学生发展水平的、体现数学建模特点的、融合技术工具、体现完整的数学建模过程的数学建模问题是有意义的.总之,在编制数学建模问题时还应关注问题情境的真实性(次真实性)、条件的约束性、问题的有效性、过程的严谨性、表述的阅读性、科学工具参与性.