Mathematica 软件在天线阵方向特性教学中的应用*

曹文权 刘杨 邵尉

中国人民解放军陆军工程大学通信工程学院 南京 210007

0 引言

天线阵广泛应用于通信、广播、雷达和测控等无线电系统中。单个天线的方向性较弱，为了增强天线的方向性或形成特定的方向图，通常需要采用天线阵。天线阵的定义为：由若干个单元天线按照一定方式排列起来的辐射系统。构成天线阵的单元天线称为阵元。根据天线的排列方式，可以将天线阵分为直线阵、平面阵、圆环阵、共形阵和立体阵等；根据阵元的个数，可以分为二元阵、三元阵、多元阵等；按阵元间距、馈电振幅是否相等，相位是否呈线性变化，可以分为均匀阵（均匀直线阵、均匀圆环阵、均匀平面阵等）、非均匀阵（振幅不均匀阵、间距不固定阵等）。所有阵元的类型、结构、尺寸、取向整齐划一的天线阵称为相似阵，其单元天线的方向函数相同[1]。

本文讨论的天线阵为均匀直线阵，是天线阵种类中最为简单的类型。若干个阵元均匀排列在一条直线上，馈入各阵元的电流振幅相等、相位呈等差级数分布，此类阵列即为均匀直线阵。均匀直线阵是一种最典型的天线阵，任何复杂天线阵均可以看成是由不同均匀直线阵叠加而成。这是笔者重点分析均匀直线阵的原因。可见，为了清楚地了解天线阵的辐射特性，特别是方向特性，从最简单的均匀直线阵入手，是最好的选择。

1 Mathematica 软件简介

描述天线阵方向特性的电参数有方向函数、方向图和方向系数。方向函数是核心，它通过数学函数全面的描述天线的辐射特性；方向图是在工程中常用的，通过图形比较直观的反映天线的方向特性；方向系数，则是用一个数字定量地描述天线方向性的强弱。在实际工程应用中，方向系数只表示了最大方向的辐射特性，而方向函数相对抽象，唯有方向图形象、直观，弥补了方向函数的抽象性，其可借助建模仿真或者测量数据得到。对于天线阵而言，往往具有复杂的方向函数数学表达式，常常需要借助仿真软件，获得二维、三维方向图，甚至是动态变化的方向图，方便进行重要参数分析。

用于天线仿真的软件主要包括HFSS、CST、FEKO 等电磁仿真专业软件和MATLAB、Mathematica、Maple 等数学软件。HFSS、CST、FEKO 等三维电磁仿真软件精度高，拥有强大的天线设计功能，可以计算天线的各种电磁参量，当然也包括方向图。三维电磁仿真软件适合用于严格精确的场路分析，需要一定的专业基础才能熟练使用，对于复杂结构和电大尺寸的场合，往往伴随着较长的仿真和优化时间。MATLAB、Mathematica、Maple 具备强大的数据分析和图形绘制能力。MATLAB将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化的建模和仿真等诸多强大功能集成于一个易于使用的视窗环境中，摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，解算问题更加简捷[2]。而与MATLAB 软件相比，Mathematica 编程语句简洁，其程序语句都是按照数学函数的结构编写的，与数学表达方式极为相似，语法统一，简单易学，仿真所需内存小，其结合了数值和符号计算引擎、图形系统、编程语言、文本系统以及与其他应用程序的高级连接[3]。当前，因其具有漂亮的图形，Mathematica在高等教育的课程教学中发挥着重要的作用，广泛应用于高等数学[4]、概率论与数理统计[6]、物理学[7]、基础工程学[8]等课程教学中。值得一提的是，Mathematica 在电磁学的课程教学中，也已发挥了重要的作用[9-10]。凭借其可视化处理功能和参数动态可调特性，Mathematica 在天线阵等天线基础知识相关教学中可灵活运用，值得深入研究和探索。

2 均匀直线阵方向图分析与绘制

2.1 N 元均匀直线阵的阵因子

最简单的天线阵是均匀直线阵。均匀直线阵的所有阵元结构相同，等间距、等幅激励，相位沿阵轴线呈依次等量递增或递减。

如图1 所示，N个阵元沿z轴排列成一行，且相邻阵元之间的距离相等都为d，相邻两阵元之间的电流相位差为ξ，根据方向图乘积定理，均匀直线阵的方向函数等于阵元的方向函数与直线阵阵因子的乘积，以阵元1 为相位参考点。

图1 N 元均匀直线阵

N元均匀直线阵的阵因子为：

其中，ψ=ξ+kdcosθ；

在ψ＝0 时，上式极大值为N，所以归一化阵因子

在实际应用中，要让单元天线的最大辐射方向尽量与阵因子一致[1]。

考虑到单元天线多采用弱方向性天线，均匀直线阵的方向性调控主要通过调控阵因子来实现。所以笔者重点分析天线阵的阵因子。根据均匀直线阵的阵因子公式（3）可以看出，影响天线阵方向图的参数主要有阵元个数N、阵元间距d和单元初始相位差ξ。下面结合Mathematica 软件的绘图功能，分别编程进行分析。

2.2 参数分析

2.2.1 阵元个数N 的影响

如图2 所示，假定d不变（为λ/2），相差ξ不变（为0°），改变N，可以看出，随着阵元数的增加，主瓣变窄，方向性增强。任取两种情况作对比，单元天线（N=1）为理想点源全向的，没有方向性，在等幅同相激励时，N元阵水平面为最大辐射方向，变得具有方向性了，而且随着阵元个数的增加，波束越窄，有限的能量聚焦在更小的空间范围，就能获得更高的增益。

图2 阵元间距d=λ/2，ξ=0°时不同的阵元个数N（1～9）对应的不同方向图

其程序如下：

(* 若要连续变化 设置AnimationRate →0.25 *)

arrs = {{0,-1},{0,-3/4},{0,-1/2},{0,-1/4},{0,0},{0,1/4},{0,1/2},{0,3/4},{0,1}}

arrows = {{{0,-1},{1/4,-1}},{{0,-3/4},{1/4,-3/4}},{{0,-1/2},{1/4,-1/2}},

{{0,-1/4},{1/4,-1/4}},{{0,0},{1/4,0}},{{0,1/4},{1/4,1/4}},

{{0,1/2},{1/4,1/2}},{{0,3/4},{1/4,3/4}},{{0,1},{1/4,1}}}

Animate[Show[PolarPlot[{Abs[Sin[N*(1*Pi*Cos[t + Pi/2])/2]/(N*Sin[(1*Pi*Cos[t +Pi/2])/2])],1},{t,0,2 Pi},PlotStyle →{Blue,Thick}],Graphics[{PointSize[0.05],Red,Point[Take[arrs,Floor[N]]],Arrow[Take[arrows,Floor[N]]]}]],{N,1,9.1,1},AnimationRate → 1]

2.2.2 阵元间距d 的影响

如图3 所示，假定阵元个数N 不变（为4），相差ξ不变（为0°），改变阵元间距d，可以看出，间距d 由小到大渐变，方向图波瓣增多，可以发现间距d 影响天线阵的方向图。

图3 阵元个数N=4，ξ=0°时不同的阵元间距d=（0.1～5.88）对应的不同方向图

其程序如下：

m = Manipulate[PolarPlot[{Abs[Sin[4*(d*Pi*Sin[t])/2]/(4*Sin[(d*Pi*Sin[t])/2])],1},{t,0.0001,2Pi},PlotStyle → {Blue,Thick},PlotRange → {{-1.01,1.01},{-1.01,1.01}}],{{d,0.1},0.1,6,0.01,Appearance→ “Open”}]

Export[“manipulate-d\manipulate-d.png”,m,“VideoFrames”]

2.2.3 相差ξ 的影响

如图4 所示，假定阵元个数N 不变（为4），阵元间距d=λ/2，改变相差ξ，ξ由小到大渐变，天线的最大辐射方向发生变化，可见配相ξ影响波束指向。如果在阵元数和单元间距一定的条件下，能够人为地合理的控制不同单元天线的激励初相位，可以改变天线波束指向，实现波束扫描。

图4 阵元个数N=4，阵元间距d=λ/2，不同相差ξ=（0.0001～5.65497）对应的不同方向图

其程序如下：

arr = {{0,-1},{0,-1/3},{0,1/3},{0,1}}

arrow = {{{0,-1},{0.25,-1}},{{0,-1/3},{0.25,-1/3}},{{0,1/3},{0.25,1/3}},{{0,1},{0.25,1}}}

Animate[Show[PolarPlot[{Abs[Sin[4*(1*Pi*Cos[t] + p*Pi)/2]/(4*Sin[(1*Pi*Cos[t] +p*Pi)/2])],1},{t,0,2 Pi},PlotStyle →{Blue,Thick}],Graphics[{PointSize[0.05],Red,Point[Take[arr,4]],Arrow[Take[arrow,4]]}]],{p,0.1,4,0.1},AnimationRate →0.2]

3 结束语

本文针对电磁波与天线类课程中阵列天线方向特性复杂难懂的问题，利用Mathematica 虚拟软件，仿真模拟均匀直线阵的方向图，化抽象为具体，可视化形象呈现。重点对影响天线阵方向特性的三个因素进行了参数分析，可以明显看出天线阵的阵元个数N、阵元间距d和单元初始相位差ξ均对阵因子的方向图产生重要影响。仿真实例可提升学员电磁素养，并有效提高课堂效率。