基于改进多目标差分进化算法的城轨列车速度曲线优化

周艳丽 徐硕 杨辉

摘要：城軌列车速度曲线研究对于优化列车运行过程具有重要的作用。为得到更好的城轨列车速度曲线优化效果，本文针对列车运行准时性、运行能耗和舒适度3个目标，提出一种基于改进多目标差分进化算法的速度曲线优化方法。首先，建立城轨列车运行过程的多目标优化模型；然后，通过采用精英镜像初始化策略、引入参数自适应和多变异策略，提升多目标差分进化（MODE）算法的性能，并通过与其他6种对比算法在ZDT系列测试函数上所得的反世代距离评价指标（IGD）值进行比较，验证了所提算法的优越性；最后，结合南昌地铁一号线某区间真实线路数据进行仿真。结果表明，改进的MODE算法（IMODE）相较于对比算法在综合性能方面具有一定优势，同时在列车节能优化问题中具有较强的实用性。

关键词：城轨列车；速度曲线；多目标优化；差分进化算法

中图分类号：U231 文献标志码：A

本文引用格式：周艳丽，徐硕，杨辉. 基于改进多目标差分进化算法的城轨列车速度曲线优化[J]. 华东交通大学学报，2023，40（5）：76-82.

Optimization of Urban Rail Train Speed Profile Based on Improved Multi-objective Differential Evolution Algorithm

Zhou Yanli1，2，3，Xu Shuo1，2，3，Yang Hui1，2，3

（1. School of Electrical & Automation Engineering， East China Jiaotong University， Nanchang 330013， China； 2. Jiangxi Key Laboratory Advanced Control and Optimization， East China Jiaotong University，Nanchang 330013， China； 3. State Key Laboratory for Performance Monitoring and Guarantee of Rail Transit Infrastructure， East China Jiaotong University，Nanchang 330013， China）

Abstract：The study of train speed profiles plays a crucial role in optimizing the train operation process for urban rail train. To achieve better optimization results of train speed profiles， aiming at the three goals of train running punctuality， running energy consumption and passenger comfort， an approach based on an improved multi-objective differential evolution algorithm is proposed. Firstly， a multi-objective optimization model for urban rail transit trains is established based on the train operation process. Then， by adopting an elite mirror initialization strategy， ntroducing parameter adaptation and multi-mutation strategies， the performance of the multi-objective differential evolution （MODE） algorithm is improved， and by comparing with the IGD values obtained by the other 6 comparison algorithms on the ZDT series test functions， the superiority of the proposed algorithm is verified. Finally， combined with the real line data of Nanchang Metro Line 1， the simulation results show that the improved MODE algorithm has certain advantages in comprehensive performance compared with the comparison algorithm， and has strong practicability in train energy-saving optimization problems.

Key words： urban railway; speed profile; multi objective optimization; differential evolutionary algorithm

Citation format：ZHOU Y L，XU S，YANG H. Optimization of urban rail transit train speed profile based on enhanced multi-objective differential evolution algorithm[J]. Journal of East China Jiaotong University，2023，40（5）：76-82.

轨道交通是现代城市交通的重要组成部分，为居民提供了便捷、安全、环保的出行选择。城市轨道交通中的速度-距离（v-s）曲线对列车的运行和调度至关重要，合理设计v-s曲线可以提高线路运输能力和运行效率，为乘客提供安全、 舒适的乘车体验。列车速度-距离曲线的优化问题作为一个典型的多目标优化问题[1]，涉及准时性、舒适性、停车精准性等多个指标的优化。针对这一问题，国内外学者目前采用的多目标优化方法有粒子群算法、遗传算法、差分进化算法等智能优化方法[2-3]。

周艳丽等[4]针对北京某地铁线路多目标速度曲线节能优化问题提出一种改进的差分进化算法，通过构造适应度函数将列车优化问题转化为单目标问题进行求解。黄江平等[5]将引入动态学习因子及改进速度更新公式的改进粒子群算法用于列车速度曲线优化过程，同时引入加权惩罚系数设计适应度函数。李婉婷等[6]采用加权法构造适应度函数，并提出一种黄金正弦-鲸鱼优化算法对列车速度曲线优化问题进行求解。以上研究均通过将多目标优化问题转化为单目标优化问题以加快求解进程，忽略了各个目标约束之间相互作用的复杂制约关系。徐凯等[7]提出一种协同进化的多目标混沌粒子群优化算法对城轨列车速度曲线优化问题进行求解，得到了较好的寻优效果，但其求解过程中未充分考虑计划运行时间，忽略了实际运营的需求。列车运行优化本就是多目标优化问题，列车准时性、舒適性及能耗都应充分考虑。汤旻安等[8]将黄金比例策略引入快速非支配排序遗传算法，提升了算法的综合性能，快速有效地得到列车最优控制策略。

基于当前研究基础，本文以列车运行准时性、能耗及舒适度为目标，结合列车运行过程，提出一种改进的多目标差分进化算法（improved multi-objective differential evolution algorithm， IMODE），通过数值仿真验证改进算法的优越性，并以南昌地铁一号某区间线路为例，基于MATLAB仿真平台验证其对列车节能优化问题的有效性，得到列车速度曲线的多目标优化Pareto解集。

1 城轨列车多目标优化模型

1.1 列车动力学模型

在此将城轨列车视为单质点[9]，结合牛顿第二定律对其运行过程进行受力分析，建立城轨列车动力学模型如下

式中：t为列车站间运行时间；s为t时刻列车运行位置；v为列车当前运行速度；μf，μb∈［0，1］为列车牵引力、制动力的输出比例系数；F为列车运行时所受到的牵引力；B为列车运行时所受到的制动力；W为列车运行过程中所受到的总阻力；W0为列车基本阻力；Wi为列车坡度附加阻力；Wc为列车曲线附加阻力。

1.2 多目标优化模型

基于对城轨列车单车站间驾驶策略的分析，构建如下性能指标来评价列车的运行过程。

1） 准点性指标。城市轨道交通对准时性有着较高的要求，本文将列车实际站间运行时间T与计划站间运行时间Tp的差值作为列车准点性指标，具体公式如式（2）所示

2） 节能性指标。本文根据列车纵向动力学模型及列车站间运行工况的分析，采用如下计算方式计算列车的运行能耗

式中：F为列车所施加的牵引力； s为列车在0.1 s内的运行距离；T为列车的运行时间。

3） 舒适度指标。目前，我国城市轨道交通行业均以冲击率指标作为舒适度的衡量标准[12]，冲击率的计算方式如式（4）所示

综上所述，城轨列车速度曲线多目标优化数学模型如下

2 改进的多目标差分进化算法

本文采用自适应的变异因子与交叉概率代替差分进化算法（differential evolution，DE）的固定参数策略，同时引入多变异策略，并对初始化方式进行改进，以进一步提升算法性能。

2.1 精英镜像初始化策略

为提高初始化种群的多样性，本文首先采用透镜成像反向学习策略得到含相反解的两个种群，接着，对这两个种群进行非支配排序和拥挤度距离排序，得到一组优秀的个体。最后，从这些优秀的个体中选择出所需数量的种群。

2.2 参数自适应更新策略

DE算法的相关参数对算法优化性能具有重要影响。缩放因子F决定了差分向量对变异个体的影响程度，在进化过程中设置较大的缩放因子能保持种群多样性但会减慢收敛速度，反之可以加快收敛速度但难保持多样性；交叉概率（crossover rate，CR）能影响算法的局部搜索能力和全局搜索能力的平衡，当CR越大，变异个体对试验个体的贡献越多，有利于局部搜索和加快收敛速度；反之，当CR越小，有利于种群的多样性和全局搜索[13]。

然而传统差分进化算法的参数值均是根据经验所得的，无法实时动态调整。为使算法在进化过程中逐渐从全局搜索转到局部搜索，本文采用如式（6）所示递减的数学函数模型作为变异因子F，而针对交叉概率，本文结合文献[12]设计了随迭代次数自适应非线性变化的交叉概率，公式如式（7）所示

式中：Fmin，Fmax为缩放因子F的最小值和最大值；G为当前迭代次数，Gmax为最大迭代次数；CRmin，CRmax分别为交叉概率的最小值和最大值。

2.3 多策略变异方法

常见的3种变异模式[13]如式（8）～式（10）所示

式中：“rand”为以随机方式从种群中抽取进行差分运算的个体；“best”为从种群中选择适应度值最优的个体。DE/rand/1策略的新个体是通过3个随机选择的个体之间的差异向量变异得到的，可以提高种群多样性；DE/best/1策略中新个体是通过当前种群中最优个体与2个随机个体之间的差异向量进行变异得到的，能够提升个体的收敛性。为平衡算法收敛性和多样性，结合遗传算法中的轮盘赌选择，融合以上3种变异策略，提出了一种多策略的变异方法。

3种变异策略的具体选择方式如下

为一个服从均匀分布的随机数[14]，用以实现算法动态调节不同进化时期的重点搜索方向，使得改进后的算法在早期具备更强的全局寻优能力，在后期则具备更稳定的收敛性能[15]。

2.4 IMODE算法执行伪代码

3 改进多目标差分进化算法测试

3.1 测试函数

本文选择多目标优化问题中常用的ZDT系列标准测试函数[16]中的5个测试函数，进行数值仿真实验通过与多目标灰狼优化算法[17]（multi-objective grey wolf optimizer，MOGWO）、非支配排序的遗传算法-Ⅱ[18]（NSGA-Ⅱ）、非支配排序的遗传算法-Ⅲ[19]（non-dominated sorting genetic algorithm-Ⅱ，NSGA-Ⅲ）、多目标粒子群优化算法[20]（multi-objective particle swarm optimization，MOPSO）、强度帕累托进化算法2[21]（SPEA2）、基于网格的进化算法[22]（grid-based evolutionary algorithm，GrEA）等一些经典成熟的多目标优化算法进行比较，进一步验证改进算法的优越性。

3.2 评价指标

本文采用综合评价指标反世代距离（inverted generational distance，IGD）对不同算法的综合性能进行评价[23]。

IGD定义为

di计算的是Pareto近似前沿P上的参考点p与最近的解xi之间的欧氏距离。

3.3 算法测试结果

算法测试过程中所采用对比算法的参数设置与参考文献[17-22]一致，只是种群规模与算法的最大迭代次数统一设置为种群规模NP=200，最大迭代次数Gmax=200，外部存档数P=100。在计算过程中，为保证所得结果的鲁棒性，本文将所采用的算法独立均运行10次，所求得的具体数值如表1所示。

表1展示的是IMODE算法及6种对比算法在所选取的5个ZDT测试函数上IGD指标计算结果。从表中可以看出，除了NSGA-Ⅱ算法在ZDT6测试函数所得的均值最优之外，IMODE在其他测试函数的结果无论在均值还是标准差上均为最优。因此本文所提改进后的算法在IGD性能方面相比于其他对比算法具有更大的优势，证明了本文所提IMODE算法的优越性。

4 实例仿真验证

为了验证提出的IMODE算法对于城轨列车运行过程多目标优化的有效性，本文针对南昌地铁一号线某全长2 031.39 m的区间A-B线路进行实例研究。在该区段上，站间限制速度为80 km/h，列车编组规格为6节编组，4动2拖，动车质量47.8 t，拖车质量48 t，列车牵引/制动特性曲线如图1所示。

城轨列车区间运行控制是通过牵引、巡航、惰行、制动4种运行工况之间的转换来实现列车运行控制的。根据文献[4]对列车固定运行策略下运行能耗与区间长度关系的研究，对于南昌地铁一号线区间A-B采用四工况的运行转换方式（牵引-巡航-惰行-制动）。同时为保证列车停车的精准性，本文采用回溯法对列车制动过程进行处理。本文以准时性、能耗、舒适度为优化目标建立优化模型，为方便计算，在优化过程中，将列车在不同工况下的持续时间作为优化变量，采用IMODE算法进行求解。算法的种群规模、迭代次数及外部存档数，对算法的运算速度均有影响，经过多次仿真调试，参数设置为：NP=50，Gmax=100，P=100。仿真所得的列车速度曲线Pareto解集如图2所示。

Pareto解集中的个体就代表着不同的v-s曲线运行方案，个体对应的适应度值代表著方案的优劣。从图2中可以直观的看出，不同方案对应的适应度之间是相互制约的。Pareto前沿解中，不同指标占优下的个体是不同的，这就为其他需求下的列车运行提供了选择。

为直观展示计算结果，在优化得到每种运行工况的持续时间后，通过计算求得列车不同工况的工况转化点。经过仿真求解，得到100组不同的运行v-s运行方案，具体的优化结果如表2所示。

从图2及表2的多目标的优化结果不难看出，各个优化目标间存在互相影响、互相制约的关系，其中某一指标最佳时其余指标并没有达到最优效果。为验证所得Pareto解集的有效性，以Pareto解中能耗最低的v-s曲线100与列车2023年3月某日的实际运行曲线进行对比如图3所示。从中可以看出，优化曲线通过延长列车惰行距离，充分利用线路坡度，实现了节能运行。

对于每个运行区间都可以得到一组Pareto最优前沿，通过分析Pareto前沿，决策者可以了解不同目标之间的权衡关系，并可以根据具体情况选择最符合实际需求的解决方案。

5 结论

针对城轨列车速度曲线优化问题，本文以准时性、运行能耗和舒适度为优化目标，建立了城轨列车运行过程的多目标优化模型；提出了一种改进的多目标差分进化算法对该问题求解。为验证算法性能，进行了算法性能对比实验和实例仿真实验。实验结果表明：与其他6种算法相比，所提IMODE算法在综合性能方面具有一定的优越性，且IMODE算法在实际城轨列车运行曲线优化问题方面具有可行性和实用性，对城轨列车运行优化和调度具有一定的辅助和参考意义。

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第一作者：周艳丽（1983—），女，讲师，博士研究生，研究方向为轨道交通运行优化与控制。E-mail：yanlizhou@ecjtu.edu.cn。

通信作者：杨辉（1965—），男，博士，教授，研究方向为轨道交通运行优化与控制、复杂系统建模、控制与优化等。E-mail：yhshuo@263.net。

（责任编辑：李 根）