定位考点，剖析过程，探究多解，教学反思

张芝悦

［摘  要］ 圆锥曲线压轴题的综合性强，解题探究可分三大环节进行：定位解读考题、过程构建分析、多解深入探究. 实现考点、过程、多解的系统串联. 研究者以2022年新高考全国Ⅰ卷的圆锥曲线压轴题为例，开展解题探讨，并提出相应的教学建议.

［关键词］ 圆锥曲线；双曲线；斜率；三角形；面积

圆锥曲线是高中数学的重点知识，实际考查时常从知识综合视角进行，與几何相关联构建复合图形，解题过程有两大特点：一是运算量大，推理过程繁杂；二是解析视角多样，可从不同视角切入，均可构建方法和思路. 开展解题探究，总结思路十分重要，本文结合一道考题进行深入探究.

呈现考题，定位考点

定位 本题以直线与双曲线相交为背景，题设两问，分别求直线的斜率和三角形的面积，将双曲线与直线、三角形相融合，数形结合思想突出，侧重考查学生的逻辑推理与分析运算等能力.

面积模型. 由于本题两问的综合性强，因此可结合图象分段构建解题过程.

分段构建过程，详解问题

1. 方程联立简化，斜率构建处理

第一步，绘制图象.

位置：双曲线的焦点位于x轴上；

交点：直线l与双曲线有两个交点，分别为点P和点Q；

直线：涉及直线AP和AQ.

根据上述分析绘制图1所示的图象.

第二步，确定双曲线的方程.

第三步，设定直线的方程，联立方程进行处理.

设P（x，y），Q（x，y），易知直线l的斜率存在，可设直

综上可知，直线l的斜率k=-1.

2. 转化三角函数值，构建三角形面积模型

第一步，设定角度关联推导.

采用分段构建的方式求解，从求解过程来看有三大特点：一是运算量大，需要采用整体代换、分类讨论等简化方法；二是数形结合紧密，需要借助图象把握直线与曲线的位置关系；三是分段过程较多，涉及方程联立、模型构建、简化处理等过程. 总之，综合性问题的破解过程，要把握图象，合理转化处理条件，准确构建模型，充分简化处理代数式.

思路拓展，多解探究

上述求解过程采用的是传统解法，联立方程简化处理条件求斜率，分类讨论三角函数值构建面积模型. 本题求解还可以从不同视角、采用多种方法构建思路，下面结合问题开展多解探究.

1. 构建参数方程，切入条件求斜率

核心条件是直线AP，AQ的斜率之和为0，可采用参数方程法设定两直线的方程，通过参数方程的联立并简化来求斜率.

评析 这采用的是参数方程法，共三步：第一步，设定两直线的参数方程；第二步，推导点P和Q的参数；第三步，将直线PQ的斜率转化为与点P和Q的参数相关的代数式，整理后消去参数求出斜率. 参数方程法最大的特点是对直线参数方程的设定.

2. 点差法转化构建，向量法转化破题

对于第（2）问的三角函数值条件下的面积问题，可以结合点差法和向量法来分别构建直线方程和面积模型. 其中点差法主要用于直线l方程的求解，而向量法主要体现面积模型的转化. 由于上述已经确定点P，Q只能位于双曲线右支，在此不再讨论，方法构建具体如下.

解法1 点差法.

解法2 向量法.

评析 上述呈现的是用点差法和向量法求解第（2）问（面积问题）的过程. 利用点差法可较为简洁地构建直线的斜率，利用向量法可调用正切值条件直接构建面积模型. 若实际求解时能融合这两种方法，则可高效快速处理面积问题.

解后反思，教学思考

笔者探究时将过程分析与多解探讨相融合，全方位呈现了解题过程，这对于同类型问题的破解有参考价值. 下面结合教学实践提出几点建议.

1. 定位分析考题，明晰知识考点

综合性强是圆锥曲线压轴题最典型的特点，涉及众多知识考点. 解题探究环节中需要充分分析考题，定位考查重点，明晰知识要点，为后续的知识调用与思路构建做基础，同时有利于复习备考. 如上述解题分析，定位直线与双曲线相交，以交点与直线为基础构建三角形，融合了三角函数、斜率等知识. 教学中要引导学生解读题干信息，梳理问题条件，把握图象关系，系统串联考点.

2. 数形结合推理，分步构建过程

数形结合、分步构建是破解综合性问题的核心方法，即采用数形结合法，解读条件，转化条件，构建模型. 思路构建分步呈现，将复杂问题细化为众多的小问题，充分降低思维难度. 以上述第（2）问为例，原解法共四步——设定条件、讨论交点、推导直线、构建模型，解析过程调用公式定理，实现复杂问题简单化. 探究教学中同样建议采用数形结合法，将问题拆解，结合图象引导学生思考，形成系统的解题思维.

3. 深入思考考题，拓展探究解法

圆锥曲线综合题的解法思路不唯一，采用不同方法或思路均可完成求解，教学中有必要引导学生深入思考，全面审视问题，探寻不同解法. 如上述多解探究环节，采用点差法转化斜率求直线方程，利用向量法调用正切值条件构建面积模型. 尤其对于综合性强的圆锥曲线与直线压轴题，可从函数、向量、方程、不等式等视角审视条件、构建思路. 教学中可结合实例开展多解探究，引导学生深刻理解问题，拓展学生的思维.