对合无穷远 斜率若比邻

吴昊

［摘  要］ 文章对一道联考试题中的“多余”条件进行分析，探究一般性规律及其成因，得出与之相关的几个定理以及探究这些定理在解题中的应用.

［关键词］ 斜率之和；斜率之积；对合；定值

笔者在做2023年“广州市一模”第21题时发现一个“直线过定点”的条件是“多余”的——其不影响结论的得出，这说明这类问题具有一般性的规律，于是笔者以此为出发点进行了一些探索，发现其背后的命题规律，愿与诸君分享.

缘溪行，仿佛有光

（1）求C的方程；

（2）直线l：y=k（x-1）（k≠0）与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，直线OP的斜率为k′（O为坐标原点），△APQ的面积为S，△BPQ的面积为S. 若AP·S=BP·S，判断k·k′是否为定值，并说明理由.

O，得到C′：（x+x）2+2（y+y）2=8，即x2+2xx+2y2+4yy=0.

疑惑：在解答过程中笔者发现，不用“直线l：y=k（x-1）（k≠0）过定点（1，0）”这个条件，依然能得出结论——斜率之积（k·k′）为定值，这是不是说明结论（斜率之积为定值）与已知直线是否过定点无关呢？一般情况下是否也有类似的结论呢？经进一步探索，笔者得到两个定理.

及点P处的切线的斜率都存在，分别为k，k，k，k.

综上可知，上述考题的第（2）问要证明的结论是定理1的结论（1），只是将条件k+k=0进行了包装.类比双曲线，又可以得到定理2（证明略）.

得出这些结论后，笔者仍然在想，为什么会有这种简洁、对称的结论呢？

复前行，豁然开朗

如果将椭圆换成圆，用同样的方法可以得到定理3.

定理3 已知点P在圆C：x2+y2=r2上，直线l：y=kx+b（k≠0）与C相交于A，B两点，设直线PA，PB，OP及点P处的切线的斜率都存在，分别为k，k，k，k.

（1）若k+k=0，则k·k=1，k+k=0；

（2）若k·k=1，则k+k=0，k·k=1.

已知点P在C（圆或椭圆）上，直线l：y=kx+b（k≠0）与C相交于A，B两点，设直线PA，PB，OP及点P处的切线的斜率都存在，分别为k，k，k，k，则

（1）若k+k=0，则k+k=0，k·k=λ，

（2）若k·k=λ，则k·k=λ，k+k=0.

可以看出，若k+k=0，则总有k+k=0；若k·k=λ，则总有k·k=λ.而切线可以看成割线的极限，那么将圆内接三角形换成圆内接四边形，又能得到什么结论呢？

定理4 如图1所示，设圆内接四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA所在直线的斜率都存在，分别为k，k，k，k，则

（1）若k+k=0，则k+k=0；

（2）若k·k=1，则k·k=1.

述，得证.

由此看来，对于圆内接四边形，若一组对边所在直线的斜率之和为0，则另一组对边所在直线的斜率之和必为0；若一组对边所在直线的斜率之积为1，则另一组对边所在直线的斜率之积必为1. 将四边形的其中一边缩小到一个点，即四边形变为三角形，用该点处的切線（斜率）代替该边所在直线（斜率），则为定理3. 类比到椭圆和双曲线，分别得到定理1和定理2. 从对合的角度来看，若P，A，B是二次曲线上的点，且PA，PB的斜率之和为0，则AB所过的定点无穷远，即直线AB的斜率为定值，其大小为点P处的切线斜率的相反数.

再回首，恍然大悟

以此为背景的考题为数不少，举两例如下：