打造追求思维含量的高中数学课堂

罗飞

［摘  要］ 以学生的认知基础去实施有效的高中数学教学，很关键的一点就是在认知基础与教学目标之间搭建一座坚实的桥梁，这样学生才能从真实的出发点走向科学的落脚点. 這个桥梁就是“思维”. 无论是数学知识的积累，还是数学学科核心素养的落地，一定是学生思维作用的结果. 学生只有借助自身思维，才能让数学知识真正成为自身所拥有的知识，而数学学科核心素养也只能在理解和掌握知识的过程中落地. 从这个角度来看，打造引领学生追求思维含量的高中数学课堂，是一线数学教师的主要任务.

［关键词］ 高中数学；思维；含量；课堂教学

从2001年开始正式推行课程改革，至今已有二十多年. 在这二十多年的时间内，关于支撑课程改革理论的讨论与热议，经历了一些重要变化. 站在今天的角度来看，最重要的变化之一就是当下核心素养概念的提出. 核心素养是对教育教学目标的描述，强调的是培养学生适应社会发展与终身发展的必备品格与关键能力. 这意味着必备品格与关键能力是核心素养定义中最核心的两个关键词，在将必备品格与关键能力作为所有学科教学目标的时候，要思考学科教学中如何实现这些目标. 课程标准的修订使得核心素养与学科教学之间有紧密的联系，而学科教学的主要任务就是促进学科核心素养的落地. 《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》明确指出高中数学学科核心素养由数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析等要素组成.

面对核心素养目标的实现需要，一线教师在日常教学中的思考必须既符合课程标准的要求，又符合学生的认知发展规律，这样才能支撑起学生核心素养的发展. 在笔者看来，基于学生的认知基础去实施有效的高中数学教学，很关键的一点就是在认知基础与教学目标之间搭建一座坚实的桥梁，这样学生才能从真实的出发点走向科学的落脚点.

对高中数学学科而言，这个桥梁是什么呢？笔者认为这个桥梁就是“思维”. 无论是数学知识的积累，还是数学学科核心素养的落地，一定是学生思维作用的结果. 学生只有借助自身思维，才能让数学知识真正成为自身所拥有的知识，而数学学科核心素养也只能在理解和掌握知识的过程中落地. 从这个角度来看，打造引领学生追求思维含量的高中数学课堂，是一线数学教师的主要任务. 下文以新人教A版高中数学必修第一册“三角函数”中的“任意角和弧度制”教学为例，谈谈一些思考与做法.

一些追问引起的数学教学思考

从时间的角度来看，近二十多年来的课程改革变化是显著的，课程标准的修订以及相关概念的提出，让一线教师处于较快的教学理念切换的过程中. 应当说在教学中追求“变”有其必要性，但是在追求“变”的过程中也应当思考一些深层次的东西. 一位教学经历丰富的教师曾反思如下：从事高中数学教学教研已有三十九年，经历了一次又一次课程改革，听了一场又一场专家报告，观摩了一节又一节数学公开课，翻阅了一篇又一篇数学文献，我不断拷问自己数学教学的意义在哪儿？数学教学核心是什么？它不受世事变迁，永远追求的本色又是什么？［1］

这些追问引起笔者深深思考，站在一线教师的角度来看，处于日常工作状态的一线教师，所期待的是在“变”与“不变”之间取得一定的平衡. 也就是说，教师要保证自己的教学理念是相对先进的，是与国家课程标准完全一致的，但是在具体实施时又要有一个能够贯穿教学始终的着力点. 这个着力点就应当是学生的思维. 如果说课程标准规定的数学教学的意义在于核心素养的落地，对教师来说，紧扣学生的思维发展，让学生进入一个科学的数学知识建构过程，然后让数学学科核心素养与知识建构过程相伴相生，是一个良好的教学样态.

对于这样的教学样态而言，同时涵盖了传统的数学教学目标与核心素养发展的要求，从理论的角度来看具有强大的生命力. 联系前面的追问，很明显，紧扣学生的思维来教学，更能够相对直接地把握数学教学的意义，能够理清对数学教学核心的认识，体现数学教学永远追求的本色.

当然必须注意到的是，从学术的意义来看，思维是学生知识学习背后的大脑活动，其本身是内隐的，是无法直接观察的. 要把握好学生在数学知识学习过程中的思维，主要看学生在问题解决过程中的具体表现，比如看学生对知识的有效连接与运用，看学生对数学思想方法的有效激活与运用. 如果在问题解决过程中，学生有良好的表现，那么伴随学生学习的就是与数学学科核心素养相关的环节，而这些环节需要教师带着核心素养的培育意识进行设计.

从上面的分析可以得出一个基本结论，那就是对于高中数学学科而言，无论课程如何改革，教学如何变化，总存在需要坚守的对象. 立足学生的思维发展而教学，就是需要坚守的思路. 因此打造一个追求思维含量的高中数学课堂，就应当成为衔接传统与现代的高中数学教学、成为体现继承与创新的数学学科教学的关键载体. 事实证明，只要坚持打造追求思维含量的数学课堂，就能够为核心素养背景下的高中数学教学开辟新的天地.

打造追求思维含量的数学课堂

高中数学教学历来重视思维的价值，新颁布的课程标准也明确指出，“数学在形成理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用”. 要让学生形成理性思维与科学精神，要让学生的智力得到发展，说到底还是要抓住思维这一核心要素. 考虑到班级授课制的基本特征，在发展学生的思维能力时固然要关注个体，但同时也需要关注群体效应，这就是笔者强调要“打造追求思维含量的数学课堂”的关键所在.

所谓有思维含量的数学课堂，首先意味着班级中的所有学生都能够沉浸在群体高效思维的学习情境中，也就是教师所创设的学习情境、所提出的数学问题，应当让所有学生面对并思考（当然思考的层次有所不同）；其次意味着学生个体在这样的课堂上能够各有收获. 这是一个非常现实的问题，也是影响学生个体学习获得感的重要问题. 如果教师在教学过程中给出的学习素材以及提出的学习问题，能够表现出一定的层次性，那么学生在课堂上、在自己的最近发展区内就能获得最高的学习效率. 通过这样的分析可以发现，有思维含量的数学课堂必须坚持“以生为本”，要强调学生在学习过程中的获得感. “以生为本”的课堂不仅需要学生充分参与课堂活动，更需要提升学生的思维深度和广度. 思维生长的核心，也是发展学生核心素养的关键所在［2］. 认识到这些后就可以组织具体的教学了.

“任意角和弧度制”在高中数学知识体系中是基础性知识，从学生学习的角度来看面临着一定的障碍，尤其用弧度制来表示角度对于相当一部分学生而言有显著的不适感. 要化解学生的学习困难，最有效的思路之一就是为弧度制知识的生成创设良好的情境，确保学生在足够的时间和空间中进行深入思考，让学生用自己的思维对相应的知识进行精加工，这样可以保证信息加工的效果，可以让弧度制知识进入学生的长时记忆. 而这样的课堂自然就是有思维含量的课堂！

在具体设计教学时，笔者认为应当重视以下几个环节.

一是情境创设环节. 越是抽象的知识越需要情境的支撑，弧度制相对于学生熟悉的角度制而言，是比较抽象的，在这种情况下，想让学生顺利建立起弧度制的概念，就要保证学生的思维对象是丰富的. 这里可以借助教材所设计的圆周运动，让学生观察圆周上某一点以另一点为起点做逆时针旋转运动，思考如何刻画运动点的位置变化. 在这一情境中，学生面对的是一个圆，以及圆周上的两个点（如图1所示）. 对于高中生而言，情境问题并没有太大的难度，因此教学起点的确定可以说是符合学生认知发展规律的. 而在这一基础上提出的问题，主要引导学生围绕“位置变化”进行思考，很显然学生必须借助已有知识来回答这一问题.

当学生有了一定的认识后，就可以引导学生进行深度思考，于是教学自然进入下一个环节.

二是深度思考环节. 要让学生将思维从熟悉的地方切换到不熟悉的领域，首先必须让学生认识到有其必要性. 而这种认知心理，也需要靠情境或问题来达成. 一个最基本的问题就是当点P越过出发点A后，角度α的大小就超过了周角（360°）的大小；更进一步，在很多生活情境中，要描述某一点位置的变化，只用水平角度是不夠的，还要关注这一点旋转的方向（如图2所示的齿轮中A，B两点运动的方向不同），这时想用简洁的语言进行描述，角度制就显得捉襟见肘. 在这种情况下应当如何解决这一问题呢？

此时教师应当将思维时间与空间还给学生，让学生充分思考、充分猜想，哪怕出现错误的答案也不应当简单批评. 实际上，在这个过程中，部分学生能够将旋转的方向想方设法纳入原有的知识体系. 比如有学生围绕点P的运动过程中圆周半径的变化，结合旋转的方向来描述角的变化. 看来学生不太可能一下子想到正角和负角，但是学生的思维被激活后，教师可以慢慢地引导，使学生对任意角有更加丰富的认识.

有了这些认识后，教师可以进一步提出问题：度量角时是否存在不同的单位制？能否用十进制的实数来度量角的大小呢？这在弧度制概念建构的过程中是一个重要问题，而解决这个问题可以在前面学习的基础上（实际上就是在学生原有的认知基础上）

思维是高中数学教学永恒的追求

在上文的教学案例中，在两个重要的教学环节里，学生都有充分的思维空间，学生的思维在情境素材以及问题的支撑下被激活. 思维的激活与思维空间的存在，意味着这样的课堂上学生的思维有着显著的沉浸感，每一个学生都可以在这样的课堂上面对教师提出的问题，先去激活自己的思维，然后在自己的思维中进行推理. 由于学生个体间的差异，他们所推理得出的结果自然会存在诸多不同，这种情况下如果教师再借助合作学习让学生充分交流，那么学生就会有一个新的思维空间.

值得一提的是，要打造具有思维含量的课堂，还必须关注学生学习后的反思环节——要提高学生的学习品质，学习反思是至关重要的环节. 学习反思可以让学生在回顾学习过程时，除去其中一些不重要的因素，只留下自己感兴趣、能引发自己深度思考的因素，当这些因素得到重视，价值得到确认时，学生对数学概念的来龙去脉就会更加清晰，对知识的逻辑认识也会更加深刻，这自然能提升学生的学习能力，而逻辑推理、数学建模等要素也能得到落实. 可以说，有反思的课堂才是具有思维含量的课堂，是能够促进学生数学学科核心素养发展的课堂，是没有逻辑矛盾、能够得到事实支撑的课堂.

总而言之，思维是高中数学教学永恒的追求，核心素养背景下的高中数学教学，依然要抓住思维这一核心要素来打造有思维含量的课堂.

参考文献：

［1］ 张金良. 聚焦思维张力 构建思维课堂［J］. 数学通报，2022，61（05）：23-29.

［2］ 沈月. 聚焦思维课堂，培养核心素养——例谈基于提高数学思维能力的初中数学课堂构建［J］. 数学教学通讯，2019（20）：37-38+48.