例探初中生符号意识形成路径*

刘 静 钟珍玖

江苏省江阴市第一初级中学 (214432)

七年级是从小学的算术思维向用字母表示数形成代数思维的启蒙期,八年级则是学生符号意识形成的关键期.从学生认知能力来看,八年级学生抽象能力迅速发展,已经基本能够借助符号进行形式化演绎推理;从学习内容来看,轴对称图形(线段、角、等腰三角形)和中心对称图形(平行四边形、菱形、矩形、正方形)是初中阶段运用符号进行逻辑推理核心内容,也是符号意识形成的最佳素材;一次函数和反比例函数的学习丰富了符号语言的种类,用函数图像来表达函数是符号意识形成新的突破口.在八年级的教学中有目的、有意识的加强学生的符号意识,让学生主动理解与运用符号,从而提高数学表达的能和习惯,落实学生的核心素养.

一、 在几何教学中运用符号推理,强化符号的思维功能,渗透符号意识

几何演绎推理遵循着《几何原本》的公理化思想,由已知的公理和定义,用逻辑推理的方法推导出其它数学定理和命题.教材的编写也遵循同样的思想,研究几何图形的性质都是把定义作为基本事实,然后用逻辑推理的方法得出图形的性质及判定方法.几何定义、公理、定理的表达和几何推理的过程都需要较强的符号意识支撑,数学的形式化、结构化、操作化都离不开数学符号的表达[1].罗素认为:数学就是符号加逻辑.几何图形之间的关系包括数量关系和位置关系,应培养学生用符号刻画这些关系的意识,符号意识的发展有利于学生理解符号的使用和进行数学思考,强化符号意识的同时,获得知识,发展学生的逻辑推理能力.

案例1 苏科版教材八年级上册“2.4线段、角的抽对称性”.

如图1,若△ABC的角平分线AD、BE相交于点P．求证:点P在∠C的平分线上.

图1

证明：过P作PM⊥CB,PN⊥CA,PF⊥AB,垂足分别为M、N、F.∵EB平分∠CBA,PM⊥CB,PF⊥AB,∴PM=PF.∵AD平分∠BAC,PN⊥CA,PF⊥AB,∴PF=PN.∴PM=PN,PM⊥CB,PN⊥CA,∴点P在∠C的平分线上.

从教学实践来看,八年级学生对于这些图形位置关系的问题非常陌生,不容易入手,从直观上来说点在直线上很好理解,但是用符号语言如何表达?其中又蕴含着怎样的图形特征?对这些问题的追问可以帮助学生找到问题的解决方法,强化用符号推理的功能,深刻理解符号表达的思维价值.

教学策略：八年级是学生逻辑思维能力发展的关键学段,而符号语言是思维的载体和抓手,符号语言的灵活运用能促进思维能力发展,同时也帮助学生形成符号意识.在结构化的几何教学中,渗透符号意识的策略:①引导学生用符号语言表达图形的性质(结构)和图形之间的关系,从大概念的视角审视符号语言的作用,即几何符号语言表达的是结构和关系;②符号语言中蕴含着基本图形语言,是进行逻辑推理的工具和抓手,实际上就体现了符号语言的可操作性,从本质上和代数推理和变形原理是一致的,强调步步有据,这样的教学就体现了符号语言的作用,让学生从更高的视角理解几何推理的本质,实现知识在不同情境下的正向迁移.

二、 在函数教学中用符号描述变化,强化符号的表达功能,促进符号意识形成

七年级的符号意识形成表现为用字母表示数,完成了从算术思维到代数思维的跨越,并且把符号作为对象参与运算,实现了符号的可操作性.在实际问题中引入符号(未知数)刻画现实世界中的等量关系和不等关系,初步体会了代数思维的特点[1].八年级数学中很重要的内容就是一次函数与反比例函数,函数模型简明扼要的把复杂的现实情境中的一类两个变量的关系概括的清清楚楚,利用函数的图像、表格及表达式等符号语言表达函数关系三类符号语言的相互转化,促进学生符号意识的形成与深化理解,发展学生的抽象能力和建模能力[2],函数内容的结构化教学方法如下所示.

1.用符号表示函数关系,描述和解释现实世界

从具体情境中抽象出两个变量之间的关系与规律,是列函数表达式的基础.而函数表达式同样深刻揭示了一类问题中的共性和普遍性,学生运用表达式或图像或表格解决问题则提升了学生对于符号的理解,进一步发展学生的数学抽象能力和数学建模能力.

案例2 苏科版八年级上册“6.2一次函数”.

问题1 给汽车加油的加油枪流量为25L/min．如果加油前油箱里没有油,那么在加油过程中,用y(L)表示油箱中的油量,x(min)表示加油时间.

(1)y是x的函数吗?如果是,请写出函数表达式;

变式1 油的加油枪流量为40L/min．如果加油前油箱里没有油,那么在加油过程中,用y(L)表示油箱中的油量,x(min)表示加油时间,y与x之间有怎样的函数表达式?

(2)如果加油前油箱里有6L油,y与x之间有怎样的函数表达式?

变式2 如果加油前油箱里有5L油,y与x之间有怎样的函数表达式?加油前油箱里有8L油呢?

(3)如果加油后油箱里有油40L,每行驶100km耗油10L,写出行驶过程中油箱内剩余油量Q(L)与行驶路程s(km)的函数表达式;

问题2 这些函数表达式有什么共同特点?

归纳：一般地,如果两个变量x与y之间的函数关系,可以表示为y=kx+b(k、b为常数,且k≠0)的形式．那么称y是x的一次函数(linearfunction).特别地,当b=0时,y叫做x的正比例函数．所以正比例函数是特殊的一次函数.

这是八年级上册一次函数概念教学的片段,问题的设置蕴含了丰富的符号意识,用变量表达现实世界的变化,即两个变量之间的关系,这是学生要经历的第一次抽象的过程,而概括这些函数表达式的共同特点是让学生再次经历用符号来表示一次函数模型,是学生在概念形成前的第二次抽象.这些问题及其变式就是运用符号来培养抽象能力和建模能力的生活具象,是教学中不可或缺的重要环节.

2.用多种语言表征函数,促进符号表达的深刻理解

引导学生用多种语言表示函数:一种是数学内部与外部之间的转化,即自然语言和函数的符号语言的转化,第二种是数学内部间的互相转化,即函数的不同表达方式之间的相互转化,从而提高学生的符号意识,发展学生的多元表征意识.

案例3 苏科版八年级上册“6.3一次函数的图像”.

观察如图2的图片,并将你获得的信息填入下表:

点燃时间/min05101520香的长度/cm

图2

设燃烧过程中香的长度为y,燃烧时间为x,你能写出y与x之间的函数表达式吗?

以x轴表示香的燃烧时间,y轴表示香的长度,建立平面直角坐标系,画出它的图像.

很多一线教师在进行这节课的教学中常忽视此情境.实际上此现实情境能帮助学生深入理解自然语言所蕴含的香的长度随着燃烧时间的变化而变化的含义,用不同的方式记录香的长度:表格、表达式、函数图像,让学生体会到不同的符号语言的内在一致性,同时,让学生感受到符号语言比自然图片语言更具有一般性与概括性,更能表述函数的本质属性.

教学策略：函数是表达现实世界规律和数量关系的又一重要模型,函数教学是符号意识形成的又一重要契机,在函数教学中促进符号意识形成有如下策略:①强化函数三种表示方法(函数表达式、图表法、图像法)的教学,同时揭示不同符号表达函数在本质上的一致性;②从三种符号表示方式的差异性上,理解每种表达方式的优缺点,特别是要强化函数图像的教学,实践证明学生在处理函数图像有关问题还不能灵活和创造性应用.

三、在问题解决教学中引入符号,强化符号的操作功能,深化符号意识

符号语言不仅仅是数学交流和表达的工具,更是一种思维和操作的方式,也是发现问题和解决问题的工具,是代数思维的基础.能够使用符号进行运算推理,实现问题解决,是提升符号意识的一种可视化表现.

案例4 甲、乙两运动员在长为100m的直道AB(A,B为直道两端点)上进行匀速往返跑训练,两人同时从A点起跑,到达B点后,立即转身跑向A点,到达A点后,又立即转身跑向B点…若甲跑步的速度为5m/s,乙跑步的速度为4m/s,则起跑后100s内,两人相遇的次数为( ).

A．5 B．4 C．3 D．2

方法1：分别计算每次相遇的时间(略).

方法3：图象法(如图3):观察图象,两人运动图象交点有4个,两人相遇4次.

三种解法是三种不同符号语言的表达,方法1是算术方法,方法2是构造方程模型,方法3用函数图像来表示运动过程,直观性强,问题解决有创新意识,是符号意识灵活运用的具体体现.这个问题还可以作变式,变化为甲乙两人分别从A、B两地同时起跑,这样第一次相遇路程和为100m,问题会变得更加复杂,用图像法来解决问题更具有优势.

教学策略：问题解决是数学学习的重要环节,教学中要善于运用问题解决深化符号意识的形成.在问题解决中深化符号意识形成策略:①设置典型问题深化符号意识.八年级学生已经具备较强的逻辑推理能力,教学中可以设计有一定思维含量的综合性问题,在问题解决中强化学生引入符号表达现实问题或数学问题的意识,引入参量解决问题是高中阶段学习必需的技能,是符号意识形成的重要标志;②优化符号的表达方式,深化符号意识.数学表达不仅是解决问题的方式,更是认识问题的途径,同一个问题用不同的表达方式,在最优化的符号表达中形成符号解决问题的深刻理解;③ 运用符号语言使问题解决程序化和操作化,深化符号意识.要引导学生看透形式符号背后的代数结构或者图形结构,把解决问题的过程内化为“对象”,能对“对象”进行操作,提高解决问题的创新意识和创新能力.

在义务教育阶段,数学眼光主要表现为:抽象能力(包括数感、 量感、符号意识)、几何直观、空间观念与创新意识.会用数学的思维思考现实世界,表现为能够运用符号运算、形式推理等数学方法,分析、解决数学问题和实际问题.会用数学的语言表达现实世界表现为:数据意识或数据观念、模型意识或模型观念、应用意识.通过经历用数学语言表达现实世界中的简单数量关系与空间形式的过程,学生初步感悟数学与现实世界的交流方式[3].可见学生符号意识形成与核心素养密切相关,随着义务教育数学课程标准的颁布和实施,以核心素养立意的初中数学课堂教学改革必将向纵深的方向发展,初中生符号意识的形成其本身就是数学素养的重要组成部分,也是数学交流和表达的重要载体,初中生符号意识形成策略值得深入研究.