问题驱动 类比迁移 生长思维——以“一次函数与二元一次方程”为例

王永锋

江苏省苏州市吴江区盛泽第二中学 (215228)

《义务教育数学课程标准》(2022版)指出:体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系,在探索真实情境所蕴含的关系中,发现问题和提出问题,运用数学和其他学科的知识与方法分析问题和解决问题．基于此,数学课堂教学要以培养学生发现、提出、分析和解决问题的能力驱动设计,体现知识的类比迁移,培养学生的生长思维．素养导向的初中数学课堂教学中,问题才应该是数学学习的生命线,以情境产生问题,以问题驱动思考,引发学生持续、深入的探究,感受数学知识生长的全过程．本文以苏教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册“6.5一次函数与二元一次方程”为例,谈谈基于问题驱动,唤醒知识经验,巧妙类比迁移,自然生长思维的教学过程．

一、于情境创设中跨学科引入,让学生体会数学之美

教学的艺术不在于传授,而在于激励、唤醒和鼓舞学生的心灵．数学教学时,教师要创设真实的学习情境,这不仅可以吸引学生的注意力,而且有利于学生发现问题,探索新知．北京大学郭华教授指出:数学学科主动走出去,将其他相关学科积极请进来．在这个过程中以“我”为主、以“我”为本,同时将其他学科的知识和方法为“我”所用、助“我”成事．[1]跨学科引入的问题情境,必然是课堂教学的润滑油与催化剂．这里讲的跨学科引入,是指为学生提供恰当的学习情境,将本学科之外的学科知识置于学习情境中,从知识或方法的交叉处提炼出具有数学学科意义的关键概念,并对其进行思考和探索的教学过程．本课引入将语文学科的古诗词在数学课堂中呈现,以古诗词对仗之美烘托数学符号之美,以古诗词的意蕴之美关联数学本质之美,以古诗词细腻的情感之美映射数学严谨的科学之美,学生美不胜收．

片断1：课堂引入问题设计

(1)我们学过北宋诗人苏轼的《题西林壁》,一起大声朗读,并请语文课代表谈一下感受?

(2) 对于关系式y=-x+5,你能从不同的角度谈一谈对它的认识吗?请数学课代表谈一下感受?

设计意图：唐诗宋词是我国的文化瑰宝,传承至此,历久弥香．一首《题西林壁》告知我们要从不同的视角观察问题,才能得到问题的本质．对关系式y=-x+5,从不同的视角来观察,既是二元一次方程,也是一次函数,本质上都是表示两个变量之间的关系,两位课代表很好地解释了各自表达的主旨．将语文古诗词融入数学教学,学生于问题驱动中类比迁移,于跨学科引入之美中自然得出“一次函数和二元一次方程”这一研究主题．跨学科引入研究主题,关键是依托教师的引,促进学生的悟．跨学科引入实际上就是利用学科知识进行现实生活的观察和问题解决,它以课程标准为依据,以学生的经验为基础,围绕学科本质而开展．基于此,跨学科一定要让学生自己动起来,在发展人文的基础上增加浓厚的趣味性,选取“为我所用”的知识、材料和技能,去作出调整,既能促进学科之间的本质融合,又能感受数学的内在美．

二、于操作探究中找本质,让学生悟出知识关联

现代认知结构理论认为,学习不是教师向学生传递知识,而是学生自己建构知识和应用知识的过程．它以学生为中心,强调学生的亲身体验,强调学生对知识的尝试发现和对所学知识意义的主动建构．数学是一门“做”的学科,学生通过动手操作和探究交流,激活已有的经验和知识储备,找准思维的最近发展区,厘清知识之间的内在关联,拨开形式不同的“面纱”找准其中蕴含的本质．郑毓信教授说:“基础知识不在于求全,而在求联．”“求联”的着力点在于以问题驱动思考,让学生亲身经历,参与实践,以旧知唤醒新知,悟出知识关联,形成个性化的理解．教学时,教师设计的问题以问题串形式出现,让学生学会有条理的思考,培养学生的思维能力．

片断2：课堂探究问题设计

(1)一次函数y=-x+5与二元一次方程x+y-5=0之间有怎样的联系?

(2)二元一次方程x+y-5=0的解与一次函数y=-x+5的图像上的点有什么关系?

(3)画出一次函数y=-x+5的图像,在图像上任取3个点,并写出它们的坐标．你发现了什么?

(4)再写出方程x+y-5=0的3个解,以这3个解为坐标,在上述直角坐标系中描出这3个点．你又发现了什么?

(6)把上述一次函数的关系式一般化,可得y=kx+b(k,b是常数且k≠0),相应的二元一次方程为kx-y+b=0．它们之间还满足上述的关系吗?

设计意图：美国数学家布鲁纳指出:“数学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动,思维永远是从问题开始的．”问题(1)中的一次函数y=-x+5与二元一次方程x+y-5=0,可以通过移项相互转化,它们都是表示x、y相同的数量关系．问题(2)地解决要依托解决问题(3)和问题(4)来领悟,于学生而言,这也是学习本节课的学习难点．教师需引导学生选取“两个关键点”画出一次函数的图像,并在图像上取出不同的点,进一步感受这样的点有无数个,并且它们都是相应的二元一次方程的解．接下来,对二元一次方程的解进行描点,发现这些点都在一次函数的图像上．由于这个操作只能选取有限个点,教师可结合几何画板加以演示,让学生深刻领悟两者蕴含其中的关联．问题(5)是对问题(3)、(4)的特殊点的一般化归纳,也是对解和坐标关系的一般性诠释．从问题(1)知晓关系式可以相互转化,自然也就不需要将问题(5)中的坐标代入验证了．由此可以引导学生悟出:一次函数y=-x+5图像上点的坐标是二元一次方程x+y-5=0的解;同时,二元一次方程x+y-5=0的解是一次函数y=-x+5图像上点的坐标．问题(6)是问题(2)的一般化归纳,它是上述5个问题的总结,在本节课起着承上启下的作用．问题是数学的心脏,通过问题串优化问题设计,激活学生的知识积淀,优化学生的数学技能,丰富学生的情感体验,化抽象为具体,深入浅出让学生悟出“点的坐标”和“方程的解”的关联．

三、于类比迁移中现灵魂,让学生领会思想方法

《义务教育数学课程标准》(2022版)指出:通过丰富的教学方式,让学生在实践、探究、体验、反思、合作、交流等学习过程中感悟基本思想、积累基本活动经验,发挥每一种教学方式的育人价值,促进学生核心素养发展．数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓,是将数学知识转化为数学能力的桥梁和纽带,是数学知识本质和内在联系的反映,是数学创造和发展的源泉,是数学学习的灵魂所在,具有高度的抽象性和概括性．数学思想方法不是解题的模型和套路,而是数学文化的本质和内核．它是动态的,发展的,是数学应用的关键,要从关注学生的长远发展进行针对性的化隐为显,逐步渗透．学生只有领会了思想方法,才能灵活运用知识,真正发展数学能力．

片断3：课堂提升问题设计

(1)练习:已知点M(0,3)和N(1,4)在一次函数y=kx+b的图像上,求一次函数的表达式．你这样做的依据是什么?

(2)在同一个坐标系中画出一次函数y=x+3的图像,它和函数y=-x+5有怎样的位置关系?同一平面内的两条直线还有怎样的位置关系?

设计意图：数学思想是对概念、方法和理论的本质认识;数学方法是处理数学问题中所采用的各种手段、途径和方式．设计问题(1)目的有二:一是复习求一次函数关系式的求解方法,二是解释这样做的依据,即“坐标是解”．问题(2)结合前面所画的一次函数y=-x+5的图像,直接得出这两条直线相交(垂直),同一平面内的两条直线的位置还可能平行,这就为解决问题(4)埋下伏笔．问题(3)是研究两条直线的交点和对应的二元一次方程组的解之间的关系,通过类比迁移,学生自然会得出两者之间的关系．结合教学片段2和3,学生很好地感受到点(解)的特殊到一般,函数关系式(二元一次方程)的特殊到一般,感受“形”(一次函数的图像)与“数”(二元一次方程)的巧妙结合,感受一条直线(一个方程)到两条直线(两个方程)的类比与转化．教师不断地设问、发问、提问、追问,学生不断地长思考、深思考、全思考、慢思考,在师生共同体验中,积极参与数学问题生成与分析解决的全过程,透过知识这个载体,感受数学思想方法的渗透与突出,逐渐提升数学素养．

四、于归纳总结中会思考,让学生自然生长思维

数学家康托尔说:“数学的本质在于它的自由．”这里的自由即是一种理性思维自由的创造．因此,在数学课堂上,教师不能依赖于大容量、快节奏的教学方式对学生狂轰滥炸,而是要留给学生充足的思考时间,让学生自由地思考和表达,让不同的人得到不同的体验和发展．“编筐编篓,重在收口．”数学课的最后阶段,留下几分钟让学生畅谈感受甚至是写写感悟,对一节课的学习过程进行归纳总结,让学生亲身体验数学“再发现”和“再创造”的过程,获得进一步发展所必需的数学活动经验来发现和提出问题,用数学思维来分析问题,用数学语言来表达并解决问题,这对完善学生的认知结构,发展学生的思维大有裨益．

片断4:课堂总结设计问题

(1)用图像法解二元一次方程组的步骤是什么?与消元法相比,它的优缺点是什么?

(2)这节课是怎样学习函数与方程间关系的?请画出它的知识结构图．

(3)在探索过程中渗透了哪些数学思想和方法?

(4)再读《题西林壁》,你又有怎样的感受?

设计意图：瑞士教育家裴斯泰洛奇说:“教学的主要任务不是积累知识,而是发展思维．”本环节中,问题(1)通过观察操作,类比抽象,总结归纳出用图像法解二元一次方程组需“变函数——画图像——找交点——写结论”四个步骤．与七年级学过的消元法相比,图像法更为直观,确定交点坐标便可以直接写出相应的方程组的解,但是未知交点坐标则只能求出近似解．问题(2)是对整节课教学流程的一个回顾,教师引导学生画出如图1所示的思维结构图,完善学生的知识结构体系．数学在某种程度就是一种系统和结构,结构上一以贯之,知晓通性才有通法可徇．[2]问题(3)是对知识体系形成过程的高度抽象和概括,突出强调类比、数形结合、特殊到一般等思想方法．问题(4)与课堂引入首位呼应,是本节课人文性的升华．审视本环节的学习,学生获得“四基”的过程与结果相互交融,发展“四能”的目标层层递进,于归纳总结中深入思考,厘清知识脉络,提升能力,生长思维,落实素养．

图1

“教育的出发点和落脚点就是让学生经历一种成长,见证一种成长”．基于此,教师要找准生长点,以问题驱动教学,为学生创设丰富的表达个人观点的情境,给学生知无不言、言无不尽的表述机会．只要学生敢于开口,乐于操作,勤于总结,必然优化思维品质,培养思维能力,发展数学素养．