指向结构化的小学数学单元设计:大概念的视角

胡晓敏, 张维忠

(1.浙江师范大学 教育学院,浙江 金华 321004;杭州市硅谷小学,浙江 杭州 310053)

《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《义务课标2022年版》)提出:设计体现结构化特征课程内容的课程理念,以及重视对教学内容的整体分析,帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系的教学建议[1].具体表现为,在课程内容组织广度上略有增删,容量、难度上基本不变,课程内容的编排和具体内容主要是调整,注重课程内容的结构化,帮助学生建立能体现数学本质的结构化知识体系.已有研究成果表明,课程内容结构化对当下教学改革具有重大现实意义[2].首先,课程内容结构化将学习内容有机地组成整体,有利于学习的连贯性和综合性;其次,课程内容结构化过程是分析和提炼学科本质的过程,有助于思维的可视化和深度理解;第三,结构化成果的阶段性特征,促进知识的结构化和思维进阶.

那么,如何体现课程内容结构化呢?这是目前困扰一线教师的难题.对已有研究进行分析发现,基于大概念(big idea)视角进行单元整体设计成为解决这个困难的重要途径.笔者曾发表《以大概念为统领设计结构化单元教学》,呼吁大概念对设计结构化单元教学的引领[3].本文将进一步讨论如何基于大概念视角,在具体实践中开展结构化小学数学单元设计的理论与实践.

1 何谓大概念

1.1 大概念的内涵

大概念,又称之为大观念.大概念的有关研究可以追溯到60多年前布鲁纳倡导的学科结构运动,他认为任何学科都拥有一个基本结构.20世纪末,埃里克森等明确指出大概念是在事实基础上抽象出来的深层次的、可迁移的一种抽象概念.威金斯等[4]认为大概念可以帮助学生将各个知识点联系起来,有助于知识和技能的整合,并使之在大脑中得以巩固.

自2017年以来,大概念以及大概念教学引起了国内学者极大的研究热情.刘徽[5]认为大概念是反映专家思维的概念、观念或论题,它具有生活价值.李松林[6]从认识论、方法论和价值论维度提出,大概念是位于更高层次、居于核心地位,隐于更深位置的本质概念,具有广泛迁移性.吕立杰[7]则认为大概念是居于学科基本结构的核心概念,或若干居于课程核心位置的抽象概念整合相关知识、原理、技能、活动等课程内容要素,形成有关联的课程内容组块.祝钱[8]在检视了国内众多关于“大概念”的研究论文之后,提出大概念是一种具有统整事实和经验能力的高概括性知识形态,同时也是一种具有中心性、持久性、思维性和广泛迁移性的多样态认知结构.综上分析可以发现,大概念是统整事实、经验和思维的聚合概念,并具有反映知识本质、体现逻辑思维、关联真实世界的认知模块.

1.2 数学大概念的意蕴

数学的核心大概念是“整体化”——一个数词可以表征不同数字的能力[4].张丹等[9]认为数学大概念是内容、过程和价值的融合,既包括对于核心内容的本质理解,也包括知识形成和应用过程中所体现出来的思想方法和思维方式.就数学单元大概念而言,大概念是数学素养和数学知识的桥梁,是反映单元知识的本质、体现一致逻辑的思维、关联数学或其他学科的认知模块.如,小学数学三年级下册“小数的初步认识”单元的大概念是:小数是正整数计数向相反方向的延伸,源于测量更精准的需要,小数与整数、分数都是计数单位的一种表达.其中,“小数源于测量更精准的需要”体现了小数的“前世今生”,表达了小数的意义;“小数是正整数计数向相反方向的延伸”反映了小数的“来龙去脉”,阐明了十进分数的本质;“小数、整数、分数都是计数单位的一种表达”,是将数的学习统一到计数单位的大体系中.

2 大概念对设计结构化的小学数学单元学习的意义

课程内容结构化的本质是知识或元素之间的关系表达,目的是通过关联将零散的、碎片化的知识建立起具有逻辑化、一致化和整体化的结构.大概念是理解与把握各知识与内容板块之间关联的桥梁,对设计结构化的小学数学单元学习具有如下重要意义:

2.1 大概念有利于理念融合并形成学习逻辑

不同的组织方式会形成不同样态的课程结构,一般有遵循学生认知、学科发展以及现实经验等组织方式.大概念其“大”的特性能够融合各种组织的理念,整合教材、学科以及经验,进而聚成指向素养的学习逻辑,让学习内容最大程度地“活化”.人教版教材“数与运算”主题主要通过现实经验来组织,这样编排的课程知识分布相对零碎,如果不能厘清知识之间的内在关联,把握主题中的数学大概念,就容易给教师的“教”与学生的“学”带来误解.例如,四年级上册的“运算定律”单元,经历7课时教学,学生往往还以为运算定律的学习意义在于简便计算,忽视了运算定律是保证运算结果唯一性的重要规则和代数推理的重要依据.

通过分析与融合可将此单元聚成3个大概念进行组织和表达:1)2个或2个以上的数可以任意顺序相加或相乘;2)等式两边同时加上或减去同一个数,或同时乘或除以同一个数(0除外),等式仍然成立;3)运算律可以为运算带来简便.按照大概念设计的“运算定律”单元教学,最终可以实现“用少量主题的深度覆盖去替换学科领域中所有主题的表面覆盖,这些少量主题使得学科中的关键概念得以理解”[10].既实现了课程内容的“少而精”,又体现了运算律的知识本质.从而,在学生头脑中构建一个“活化”的运算律,为贯通整数、小数、分数等运算,理解未来更复杂的代数运算打好认知迁移的基础.

2.2 大概念有利于反映本质并构成一致序列

“学习进阶”是指学生在较长一段的时间跨度内,学习某一核心概念(技能)时,经历一个连续的理解水平不断深化、思维方式不断发展的过程[11].小学数学主要课程内容的各学习主题,以螺旋式上升的方式设计编排,所以特别需要大概念模块去贯穿、统领各个学段的相关单元,反映不同内容的共同知识本质,构成结构一致的、具有长期意义的学习任务序列.

具有广泛统摄力的大概念,用“少而精”的认知模块建立尽可能多的联系.数学单元大概念除了阐明单元知识的本质之外,更是具体地体现了“从哪里来”的知识本源,“已在哪里”的现有表征特征,又表达“将到哪里”的发展方向,反映知识理解从简单到复杂、从单一到丰富、从低级到高级的进阶过程.

例如,“统计与概率”的学习领域,可以用“数据分类和数据表达”大概念统领在一起,使统计教学构成目标一致的任务序列.具体而言:第1学段,主要以“数据分类”为主题,从事物分类过渡到数据分类.第2和第3学段,重点学习“数据的收集、整理与表达”,体现了统计学习的重点是数据的收集、整理与表达的分析过程.更长远地看,小学阶段要求学生学会初步分类、对数据进行描述性的统计分析;初中阶段则涉及分类的原则与方法,如四分位线、百分位数等,并要求对数据进行推断性统计分析.

再如,图形的认识可通过“直边图形的特征一般从边和角及其关系进行认识”的大概念反映认知本质,将阶段编排的内容重构成认知方法一致的任务序列.具体到三角形的认识,第1学段直观描述三角形边和角的特征;第2学段探索三角形的分类,以及边、角之间的关系,如任意两边之和大于第三边、三角形内角和等于180°等;第3学段则是研究三角形的边、角与面积之间的关系.

对教师而言,大概念有利于理解单元知识与数学体系的关系,以及所对应的核心素养.基于大概念视角,教师能整体把握和设计单元学习任务,并在教学中做到前有渗透、中有突破、后有蕴伏,保证学生每个阶段的主题学习“形断神不断”,实现学生思维的不断进阶.

2.3 大概念有利于联结单元并形成课程整体

大概念作为统领数学内容的“隐线”,具有地位的统摄性和意义的丰富性等特征,可以为单元之间、学科之间重构关系,促成有意义学习.例如,人教版教材“图形的运动”的课程内容编排如下:二年级上册,整体感受和直观认识平移、旋转和轴对称图形;四年级下册和五年级下册,分别进一步认识轴对称、平移和旋转,形成量感、空间观念和几何直观.通常学生以为学习平移、旋转是为了画出运动后的位置,在方格纸上依据对称轴画出图形是学习轴对称图形的目的,彼此与“运动”主题关系不清,容易造成理解上的 “断层”.

假如,在“图形的运动”中,采用“在变化中寻求不变性”“是什么引起了变化”的大概念去统领,就能让学生“看见”3种运动之间的联系与区别,形成横向内容有层次、纵向思维有关联的图形运动的“大单元”.即,轴对称图形(翻折)、平移、旋转3种运动,图形的大小和形状始终保持不变(又称刚体运动);本质是图形上点的位置发生了变化,要确定图形运动前后的位置关系,只需确定点的位置发生了什么变化.事实上,“在变化中寻求不变性”的大概念,不仅是学习数学、科学的重要方法,同时还具有广泛迁移的“生活价值”,为孩子探究自然和社会发展提供了重要的思维方式和发展动力.

又如,人教版教材六年级下册“负数”的大概念:负数是依据计数需要和数学自身发展,向另一方向的扩展.这个单元大概念表达了负数是数向相反方向的一个延伸,其核心概念是相反意义的量;还阐明了构建方法与正数基本一致,学习中必然遇见负小数、负分数等数轴上0的左边,另一个宽广的、与正数对称的数学世界.让原本隐性的思维、纵向的关系变得清晰可见,与横向的学期知识构成一个网状的、结构化的课程整体.

3 利用大概念设计结构化的小学数学单元教学实践方案

好的教学设计应该是“以终为始”,从学习结果开始的逆向设计.所谓的逆向课程设计始于学习目标,也就是说应基于现场教学需要确定学生要学会什么;再思考需要哪些证据来证明学生已经理解了哪些相关学习内容;然后进一步设法把各种学习内容和其他资源加以整合,设计出各种学习任务或教学活动[12].

《义务课标2022年版》整体刻画了不同学段学生学业成就的具体表现特征,除了核心素养强调的“三会”“四基”“四能”和“情感态度”这些总目标之外,还提供了每一个学段不同领域的内容要求和学业要求,并依此形成了学业质量标准,为教师把握教学的深度与广度,开展逆向教学设计提供了参照的依据和标准.下面,笔者借鉴国内外学者研究大概念教学的若干模式,以人教版教材三年级上册“长方形和正方形”单元为例,展示大概念视角下结构化单元设计的框架(如图1),并通过具体数学教学实践初步验证该框架的有效性.

图1 大概念视角下结构化单元设计的框架

3.1 确定学习的预期结果

1)参照目标.这个项目就是从《义务课标2022年版》的学段目标和内容要求中,找出具体的表述.本单元具体这样描述:认识常见的平面图形,经历平面图形的周长和面积的测量过程,探索图形周长和面积的计算方法[1].为保证参照目标的权威性,一般情况下不进行选择、修改,直接从《义务课标2022年版》上摘录相关的内容.

2)理解大概念.大概念组织的单元设计,除了要求学生掌握基本知识和技能之外,还应该帮助学生理解单元大概念,进而发展数学核心素养.基于此,教师就需要思考以下2个问题,即单元大概念是什么?如何促进理解大概念?

提炼大概念的角度和方法很多,无论从哪个角度,都必须站在小学或初中整个阶段开展思考或讨论,从而使得单元知识间、学科单元间的大概念具有关联性、整体性和一致性.“长方形和正方形”单元是“图形的认识与测量”主题的第2次学习(如图2),本次学习要求学生根据图形特征对四边形进行角和边2个维度的分类(不含平行线的维度),并结合实例理解与测量图形的周长,探索长方形与正方形周长的计算公式.小学数学中的“图形的认识与测量”主题的大概念可提炼为图3中的8条,具体到这个单元的大概念可以归纳为以下4点:长方形的认识主要从边和角的维度展开;周长是对图形特征的进一步刻画;周长本质是长度单位的累加;寻找图形要素之间的关系可以推理计算周长的公式.

图2 人教版小学数学“四边形的认识”内容编排

图3 “图形的认识与测量”主题的大概念

威金斯等[4]将问题比作大概念的航标,它们像一条过道,通过它们,学习者可以探索内容中或许仍未被理解的关键概念、主题、理论、问题,在借助启发性问题主动探索内容的过程中加深自己的理解.为了聚焦大概念,促进学生理解,基本问题要指向和突出单元大概念,从而激发思考、关联思维、引导探究,增强学习体验,使学习更有意义.因此,本单元确立了促进理解大概念的2个关键问题:图形的周长指的是哪一部分?如何快速计算图形的周长?

3)“四基”目标.依据数学课程目标的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验的要求,以及《义务课标2022年版》中的学业要求和学生的先期经验,制定了本单元的目标:体验比较,能解释长方形、正方形的特征和区别,阐明周长的意义;经历测量,掌握测量和计算长方形和正方形的周长,领会化曲为直的数学思想;参与实践,应用周长概念和图形特征解决实际问题,积累操作经验,形成量感和初步几何直观[1].

3.2 明晰合适的评估证据

为了判断学生学习要求是否落实到位,是否达到了预期的结果与目标,有何证据能够证明学生的理解和掌握程度?大概念统领下的单元设计要求教师像“评估员一样思考”,思考学生应该理解大概念以及掌握“四基”目标是什么.另外,传统的纸笔测验,已经不能满足核心素养导向下的学习评估,不同的预期结果应该匹配不同的评估方法(如图4).

图4 学习内容与评估方法

基于此,本单元除了纸笔测验之外,笔者还设计了一个针对学生的表现性任务,依此来评估学生理解大概念的层次与水平:在一个长方形花园中(见图5),从长方形的一个角落(六角亭)到长方形的对角(荷花塘)之间设计一条小路,将长方形花园分成2个部分.新花园的右下部分改建成李园,左上部分改建成桃园.李园的一周种李树,桃园的一周种桃树,意为“桃李满天下”;且树与树之间的间隔都一样,总棵数相同.请设计一种或多种方案.

图5 表现性任务设计“桃李园”

真实、开放和复杂的表现性任务不仅评价

学生知道什么,更重要的是评价学生能做什么,是过程和结果全面的评价.因此,为了评估学生理解大概念掌握的情况,还需要事先开发能记录和衡量学生理解大概念水平的工具,即研制描述不同反应水平的评价量规.本次评估借助《追求理解的教学设计》[4],分别从解释、阐明、应用、洞察、神入和自知,设计了多元化评估指标的量规(见表1),评估大概念的理解层次和水平.

表1 设计“桃李园”的评价量规

3.3 规划单元的学习任务

在完成确定学习预期结果、明晰合适评估证据之后,就要开始规划单元的学习任务.在4个单元大概念的观照下,依据实际学情和课程内容开展重组,形成了体现学习进阶的任务群(表2).即第1阶段主要是对周长意义的理解,体会周长对图形是一周长度的刻画.第2阶段是从一般走向特殊,在研究特殊图形周长的过程中,关注图形要素之间的关系,推理获得常见图形周长的计算公式.在转化、类比等过程中,推理产生计算特殊图形周长的新视角.第3阶段则是通过练习和任务完成的过程中,促进理解和评估本单元的4个大概念.

表2 “长方形和正方形”教学内容重组后的前后对比

当然,规划好学习任务之后,还要思考每个任务的具体目标和关键问题.在具体目标确定时,要把“参照目标”“单元大概念”和“四基目标”3个预期结果进行融合和统领,然后结合学习内容将其具体化为预期可见的每个课时的学习目标.其中,关键问题则是基本问题、大概念和课时目标活化后的高质量问题,可以帮助学生聚焦和引发与大概念相关的持续性思考,不断激活具体经验,达成深度理解.

3.4 查验单元设计的一致性

基于大概念进行结构化的单元设计,借鉴了“逆向设计”技术,遵循从课程标准出发的“自上而下”的思路.但在实践中,需要“自下而上”的流程实施检查,验证教学设计的一致性,即在单元设计完成之后,将每课时的“学习目标”找到“评估证据”中的条目,再从预期结果中找到对应的“四基目标”和“大概念目标”的内容.

具体而言,就是考察具体的学习任务对应了哪些评估证据,覆盖了哪条预期结果,如第1课时任务中的“认识含义”“体会方法”分别对应了“设计桃李园”“单元测试”的评估,覆盖了预计结果中领会“周长是对图形的进一步刻画”“周长本质是长度单位的累加”和“化曲为直思想”(如图6).从而,保证预期结果、评估证据与学习任务三者之间保持高度一致,达成强结构化的单元设计.

图6 学习任务与评估证据、预期结果的匹配情况

4 结 语

新一轮的课程改革聚焦学科核心素养,强调变革课堂教学方式,注重体现数学知识间的内在关联,课程内容结构化,积极探索与推进单元整体教学设计.本文从大概念的视角探讨了结构化的小学数学单元设计,超越了过去的常规方法和思维,努力使课程内容具有逻辑性、整体性和一致性,积极实现结构化单元设计的目标,引发学生有价值地学习.但在具体实践研究中,还有诸多方面需要讨论.首先,上述大概念视角下结构化单元设计的框架和技术中关注的4大环节,在逻辑程序上可以视为一种结构化的设计思路,大概念是“优秀的组织者”,具体实践操作中未必“循规蹈矩”,也还可以有“自下而上”等其他思维与想法,关键之处应该是让单元内容结构化.其次,虽然在“评估证据”设计引入了表现性任务的评价,但还是停留在单元学习之后,好的评价应该指向每个任务的学习过程.大概念的习得不是简单来自某个问题解决、某个任务完成,而是不断累积、持续理解的过程.最后,本文在方案设计中仅以“长方形和正方形”单元为例,具体阐述了分析、设计的过程,未来还需要更多案例和教学实践,并依据反馈进行反思和改进.