分类讨论思想在高中数学解题训练中的实践运用

李钰

【摘要】数学作为高中课程体系中一门难度相对较大的科目，不仅知识学习起来比较困难，试题难度同样有所提升，学生不仅需掌握牢固的理论知识，还需学会运用一些特殊的解题方法，其中分类讨论思想就有着广泛运用，教师应给予高度重视与格外关注，指导他们灵活运用分类讨论思想分析与解答数学试题，使其快速找到准确、完整的答案，提高解题水平.

【关键词】分类讨论思想；高中数学；解题训练

数学结论的成立均有着自身的特殊条件，不同解题方法的使用范围存在差异，有的数学问题的结论不是唯一确定的，或者难以通过统一的形式处理，就可用到分类讨论思想.在高中数学解题训练教学中，当遇到一些特殊试题时，教师可引导学生运用分类讨论思想，让他们根据问题特征和要求进行类别划分，拆解成若干个小问题，使其分类讨论后求得结果.

1 分类讨论思想在集合类试题中的实践运用

集合属于高中数学课程中的接触知识，热门考点是集合与元素的关系，多个集合之间关系，以及含有参数的集合问题等，因为在一道试题中往往会出现多种不一样的情况，当处理部分特殊的集合题目时，教师要求学生以认真阅读题目内容、精准理解题意为基础，按照具体要求进行分类讨论，使其根据统一标准逐个处理，让他们综合整理求得获得完整结果［1］.

例1 已知集合A={x|－2≤x≤a}，集合B={y|y=2x+3，x∈A}，集合C={z|z=x2，x∈A}，则实数a的取值范围是什么？

分析 通过对这三个集合的认真观察，当－2≤x≤a时，z=x2的范围同实数a的正负号均有关系，因此需对a的值进行分类讨论，由此准确找到a的取值范围.

解 由集合A={x|－2≤x≤a}能够得到集B={y|y=2x+3，x∈A}＝{y|－1≤y≤2a+3}，接着分类讨论a的值，（1）当－2≤a≤0时，集合C={z|a2≤a≤4}，因为CB，所以4≤2a+3，a≥12，与－2≤a≤0存在冲突；（2）当0

2 分類讨论思想在函数类试题中的实践运用

在解答高中数学函数试题时，分类讨论思想极为常用，像二次函数、分段函数、函数导数与等.高中数学教师在具体的函数解题训练中，应带领学生先仔细观察与分析题干周年办中给出的条件，假如难以使用统一的方式来解答，就需对研究对象展开类别划分，使其将整个题目科学分为多个小部分，然后一个一个的解答，让他们通过分类讨论顺利解答试题.

例2 已知函数f（x）=2x2－2ax+3在区间［－1，1］内有最小值，可记作g（a），请问g（a）的函数表达式是什么？

分析 解答这一函数试题时，应考虑到二次函数对称轴所处的位置，要根据对称轴的不同位置进行分类讨论，只有这样求出的结果才完整.

解 把原函数配方以后得到y=2（x－a2）2+3－a22，对称轴方程为x=a2，此时需对该函数的对称轴位置展开分类讨论，（1）当a2≤1时，即为a≤2，函数y在区间［－1，1］内单调递增，x=－1时y有最小值，那么g（a）=2a+5g；（2）当－1

3 分类讨论思想在数列类试题中的实践运用

在高中数学数列解题训练中，数列周期性和等比数列求和等多种类型试题均要用到分类讨论思想，教师需要引领学生巧妙采用分类讨论思想，对解题思路进行优化，从而准确精准题目类型，属于条件划分、集合划分劶或概念划分，使其清晰的将题目划分为多种情况后展开逐个解答，帮助他们逐渐理解与掌握分类讨论思想的内涵，且学会用来解答数列试题［2］.

例3 如果等比数列an的首项是正数，公比是q，前n项和是Sn，且Sn>0（n=1，2，3…）（n＝1，2，3，…），求公比q的取值范围.

分析 解答本道题目时需对试题中可能出现的几种情况展开分类讨论，且根据已知条件进行分析，发现公比q不可能为0，但是因为没有没明确指出q，则要分类讨论q的值.

解 结合题意可知公比q≠0，但是需对q是否是1展开分类讨论，（1）当q=1时，Sn=na1>0；（2）当q≠1时，能够得到Sn＝Sn=a1（1+qn）1－q>0，那么1－q<0，1－qn<0，其中n=1，2，3…或者1－q>0，1－qn>0，其中n=1，2，3…综合以上式子可以确定公比q的取值范围是（－1，0）∪（0，+∞）.

4 分类讨论思想在概率类试题中的实践运用

高中数学教师应引导学生合理使用分类讨论思想解决概率类试题，使其真正了解到概率事件的集合与某件事在所有事件中发生的概率，让他们清晰、精准分类他们完成求解.

例4 一城市正在传递奥运圣火，有18个竞选火炬手，他们的编号分别是1，2，3…16，17，18，不过只选出3名火炬手，那么选择火炬手的编号能形成公差是3的等差数列概率为多大？

分析 利用分类讨论思想，先确定问题概型是古典概型，求出基本事件的总体情况，再根据实际要求确定火炬手，即a分别是1、2、3等时有多少种情况，将符合题意的所有情况都找出来后，列式和计算概率.

解 题目中基本事件的总种数是C318=17×16×3，确定火炬手编号为an=a1+3（n－1），然后展开分类讨论，当a1=1时，编号1，4，7，10，13，16能够组成4种选法；当a1=2时，编号2，5，8，11，14，17也能够组成4种选法；a1=3时，编号3，6，9，12，15，18同样能够组成4种选法，则p=4+4+417×16×3=168.

5 分类讨论思想在几何类试题中的实践运用

高中数学几何试题主要包括解析几何和立体几何，由于几何体往往存在着不确定性因素，教师可带领学生使用分类讨论思想分析图像形状与位置分布等类别问题，促使他们通过运用分类讨论思想处理几何试题，使其掌握更多解题技巧［3］.举例略.

6 结语

在高中数学解题训练活动中，教师应认真对待分类讨论思想的具体应用，据此开设专题联系，让学生能够合理确定分类标准，使其在分类讨论中将复杂化的试题变得简单化，精准把握题目的特点与本质，利用分类讨论迅速求得正确大难，并促进他们思维能力的发展.

参考文献：

［1］崔坚.分类讨论思想视域下高中数学解题研究［J］.数理化解题研究，2022（36）：8-10.

［2］曾祥均.浅谈分类讨论思想在高中数学解题中的应用［J］.数学学习与研究，2022（32）：146-148.

［3］贺红莉.高中数学解题策略中分类讨论思想的应用研究［J］.数学学习与研究，2022（28）：119-121.