分类讨论的数学思想遵循的教学原则

黎建英

【摘 要】分类讨论的数学思想是研究初中数学问题的重要思想方法，它始终贯穿于整个数学教学当中。 初中数学分类讨论思想教学必须遵循一定的教学原则，才能使大量繁杂的数学材料条理化、系统化，有效提高学生的综合解题能力，才能培养学生严谨的思维品质。

【关键词】分类讨论思想;教学原则;循序渐进原则;同一性原则;学生参与原则

分类讨论作为一种数学思想，对学生的思维发展中有着不可估量的作用。我在初中数学分类讨论思想教学中，除了运用通常的教学原则外，我总结了以下的三点的教学原则。

一、循序渐进原则

分类讨论的数学思想的形成难于知识的理解与掌握。分类讨论的数学思想和方法一般要经历三个阶段：

（1）模仿形成阶段，学生往往只注意了数学知识的学习，而忽视了联结这些知识的观点，以及由此产生的解决问题的方法和技巧，即使有所觉察，也是处于“朦朦胧胧”、“似有所悟”的境界。就以学习绝对值为例，学生在学习绝对值定义初，即使把绝对值定义背到滚瓜烂熟。学生脑海中依然会忽略绝对值的其它可能性。所以教学时必须反复强调绝对值定义引出的三种情况。

例1：填空题|a|=3 ，则a=（  ）。班上则有三分之二的学生填 a=3。因为学生对绝对值定义理解还是朦胧的，学生还是忽略了另一种可能性a =-3。正确的答案应该是a=（+3）。

（2）初步应用阶段，即学生对数学思想方法的认识开始已经明朗，开始理解解题过程中所使用的探索方法和策略，也会分类分析概括总结出来。

例2：当a取任意实数时，求|a-3|的值。到了这阶段学生会水到渠成的对绝对值这类型题进行分类讨论：

当a≥3时，因为a-3≥0，所以|a-3|=a-3;

当a≤3时，因为a-3≤0，所以|a-3|=3-a。

（3）自觉应用阶段，当学生对绝对值学习到一定程度的时候，学生做到能根据数学问题，恰当运用分类讨论思想方法进行探索，以求得问题的解决。

例3：若abc≠0，则的值不可能为（ ）

A.-1          B.1         C.2         D.3

分析：

这里没有说明a、b、c是正数还是负数，所以该式有多个取值，但我们可以很容易得到，，。

解析：

①若a、b、c都是正数，则该式的值为3;

②若a、b、c都是负数，则该式的值为-3;

③若a、b、c中有一正两负，则该式的值为-1;

④若a、b、c中有一负两正，则该式的值为1.

因此，该题答案为C.

学生分类讨论的数学思想方法的学习过程，决定了数学思想方法的教学原则不可能一步到位，也有一个相应的循序渐进、由浅入深的过程，因此要按照”反复强调、初步形成、应用发展”的顺序来完成数学分类讨论思想方法的教学。

二、同一性原则

同一性原则简言之即“不遗漏”、“不重复”，要分清主次。分类讨论的数学思想方法还必须遵循同一性的原则，才能使分类科学、严谨，从而能正确、合理地解题。

例4：等腰三角形的一个内角为50°，则其它两个内角为（D）

A.50°，80°B.65°，65°C.50°，65°D.50°，80°或65°，65°

分析：題目中等腰三角形的一个内角50°是锐角，所以本题要分类讨论50°可以指顶角，也可以指底角。再结合三角形两边的和大于第三边综合分析，也就有两种可能性。故选择D。

例5：点A，B，C 在同一条直线上，AB=3cm，BC=1 cm.求AC的长.

分析：由于线段可以由两个大写字母表示，并且字母没有先后顺便，学生习惯上将线段BC直接拼在线段AB的后侧，而往往忽略了拼在其左侧的情况，教学中引导学生明确线段的表示方法基础上做出图形，最后综合得解。

解析：

（1）如图①，因AB=3㎝ ，BC=1㎝，所以，AC=AB+BC=3+1=4（cm）.

（2）如图②，因AB=3㎝，BC=1㎝，所以AC=AB-BC=3-1=2（cm）.

对于由图形位置变化引起的分类讨论问题，教师可以用“数形结合法”加以解释。对各种情况用图形进行辅助说明，这样可以使得较为抽象的数学问题简单化、直观化，学生也比较容易理解和接受，同时，这样的教学方法也能够提高学生思维的灵活性和创造性。

对问题中的某些条件进行分类，要遵循同一标准，进行合理分类。需理清分类的界限，选择分类标准，并做到不重复，不遗漏。

三、学生参与原则

由于分类讨论的数学思想方法比数学知识更抽象，不可能照搬、复制。分类讨论数学思想方法的教学，重在思辨操作，离开学生参与教学活动过程，数学分类讨论思想方法教学就也就无从谈起。只有激发学生学习的兴趣，兴趣是最好的老师、是一种无形的动力。在兴趣的推动下组织学生积极参与分类讨论教学，在老师的启发引导下逐步领悟、形成、掌握分类讨论数学思想方法，才能用自己的思维方式构建出数学分类讨论思想方法体系。

例6：解关于x的不等式a（x+3）>x+a

分析：

本题考查的是不等式的性质在求解不等式的解集时对未知数的系数的符号进行判断或分类这一知识技能。

解析：

我先让学生观察该不等式，再要求学生动笔计算，这时学生就急于通过移项、合并同类项将其化简，得到：（a-1）x>-2a ，进一步系数化为1，得到：

.

我在课堂上巡视了一周，这时学生就美滋滋的认为这个结果是正确的。但是，这样的答案是不完全正确的。我再次启发学生，在不等式的左右两边同时除以式子a-1时，应该考虑a-1是正数、负数还是0。特别强调当a-1为负数时，不等号的方向要改变。所以该题的答案是：

①当a=1时，x为任意实数;

②当a <1时，x<-;

③当a>1时，x>-。

学生如果不参与第一环节的计算过程，就不会发现：当a=1时，当a<1时;当a>1时的三种情况，而且这三种情况必须要都要考虑的。

学生在求解该类不等式的解集时，很容易忽略未知数系数为负数这种特殊的情况而出现分析不全面的情况。因此，教师只有让学生动口、动手、动脑参与数学课堂，才能提高学生综合分析能力。

这是我在初中数学教学中，探讨分类讨论思想总结出以上三点教学原则。从以上的例题中不难看出，分类讨论思想在初中数学练习的运用中占有很重要的地位。所以教师在教学中要对分类讨论的数学思想，有意识地对学生加以渗透，对于蕴含在数学知识中的分类讨论思想适时予以揭示，反复强化以优化学生的思维品质。只有这样才能有效提高学生自身的解题能力。

参考文献：

[1]吕巍.《分类讨论思想在初中数学中运用的一些思考》.科学大众（科学教育），2011年04期

[2]饶盛祥.广东教育-高中，《备考中不可忽略的分类讨论思想》，2011年第11期