巧借数形结合思想，高效解答数学试题

陆吉明

【摘要】高中数学是一门难度相对较大的科目，相应的试题难度也比较大.解题训练是日常教学中不可或缺的一个重要环节，不仅可以培养学生的知识应用能力，还能够训练他们的解题能力，数学教师除传授一些常规解题方法外，还要注重部分特殊解题技巧的讲授，数形结合思想即为其中之一，指导学生巧借数形结合思想高效解答数学试题，不断增强他们学习数学的自信心.本文据此展开深入分析与探讨，并分享部分解题实例.

【关键词】高中数学；数形结合思想；解题

数形结合思想作为一种逻辑性与实用性较强的数学解题思想，也是一种把抽象思维与形象思维结合到一起的解题思维，能够把抽象的数量关系转化成形象的直观图形，以便学生更好地展开分析与理解，还可以把形象图形中的数学概念与内在含义抽取出来，转变成具体的数量关系，以便他们归纳与运用.对此，数学教师应指引学生根据具体题目巧妙借助数形结合思想分析题意，使其从中快速找到解题的切入点与思路，让他们高效地解答试题［1］.

1 巧借以形助数思想，高效解答数学试题

在学习数学过程中，将“数”和“形”结合到一起的方法就是数形结合思想，不仅在内容方面，在方法使用方面均相互联系和渗透，彼此之间还可以相互转化，由此形成数形结合思想这一特殊的数学解题思想.数形结合是一种比较特殊的数学思想方法，应用时一般分为两种情况，第一种是以形助数，利用“形”的直观特征对“数”的关系展示出来.数学教师应引领学生根据题目中提供的数量关系，画出与之对应的图象或者图形，让他们求得准确答案［2］.

例1 请阐述一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数三者之间的关系.

分析 本题题干十分简单，只是让阐述这三个数学概念之间的关系，如果不列式、画图的话很难展开说明，这时教师可提醒学生采用以形助数的思想，把文字说明转变成图形样式，这样就显得简单明了，易于他们更好的解题.

详解 可以借助平面直角坐标系，先画出一元二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，如图1所示，利用图象能够直观看到一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系，y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点即为一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，位于x轴上方的图象部分是一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集，位于x轴下方的图象是一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集.

例2 在反比例函数y=kx（k≠0）图象上面任意取一点，分别做出与x轴和y轴相平行的线，证明：这两条平行线同x轴和y轴之间围成的图形面积为定值.

分析 这是一道典型的有关数量关系的试题，但是并没有配图，假如不画出图形的话，学生的思维极易受到阻碍，很难形成简便的证明思路，此时，教师应指导他们巧借以形助数的解题思想，先根据题意画出相应的图形，通过对图形的直观观察，找到需证明的问题和题目信息之間存在的关系，使其快速确定证明思路

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详解 根据题意先在一个平面直角坐标系中画出反函数y=kx（k≠0）的图象，在图象上面任取一点A（a，b），分别画x轴与y轴的平行线出AB与AC，可以得到一个四边形ABOC，面积是SABOC=AB×AC，其中AB=a，AC=b，则四边形ABOC的面积SABOC=a×b=k，从而证明四边形ABOC的面积为反比例函数中的定值k.

2 巧借以数解形思想，高效解答数学试题

上文指出数形结合思想的运用一般包括两种情况，第二种则为以数解形，即为利用“数”的精确性对“形”的一些属性进行阐明，当部分几何图形比较简单时，观察后很难看出存在的规律，此时就能够给图形赋予适当的值，像角度、边长等.在数学解题训练中，当遇到一些同几何图形有关的题目时，采用几何图形对数量关系进行研究，即可采用代数的方式进行解决，把复杂的几何图形问题转变成简单的数量关系问题，从而让学生高效率的解答试题［3］.

例3 如图3所示，某学校有一个旗台，其中在坡度为15°的看台B点和看台坡脚A点处，分别测得旗杆顶部的仰角为30°和60°，测得看台坡脚A点与B点之间的长度是10米，请问旗杆CD的高度为多高？

分析 处理这一带有几何图形类的试题时，教师可以引导学生根据题干中提供的信息构建出相应的三角形，使其利用三角形进行求解时，需先求出AD的长度，再运用直角三角形知识求出旗杆CD的高度，让他们巧借数形结合思想把已知与未知条件均转变成边和角，最终通过以数解形的方式准确、快速的解答试题.

详解 根据图中信息可知，在△ABD中，∠ABD=45°，∠BAD=105°，∠ADB=30°，根据三角形正弦定理能够得到10sin30°=ADsin45°，据此求得AD的长度是102米，在Rt△ACD中，AD=102，∠CAD=60°，结合三角形正弦定理sin60°=CDAD=CD102，能够轻松求出CD=56米，也就是说旗杆CD的高度是56米.

3 结语

总的来说，在数学解题训练活动中，数形结合思想有着广泛的应用空间，教师需以理论知识的讲授为前提，帮助学生以透彻理解与牢固掌握数形结合思想的本质和内涵为基础，根据实际题目内容巧妙借助数形结合思想中的以形助数或者以数解形进行解题，以此降低数学试题的难度，使其确定简便的解题方案，减少错题现象的出现，助推他们高效解答数学试题.

参考文献：

［1］王亚丽.数形结合思想在中学数学解题中的应用［J］.新课程教学（电子版），2022（18）：98-99.

［2］魏苹.浅析数形结合在中学数学解题中的应用［J］.数学之友，2022，36（16）：55-58.

［3］章福枝，钱爱林.数形结合思想方法在中学数学解题中的运用［J］.湖北科技学院学报，2020，40（02）：95-98+128.