高中数学解题训练中数列试题的解题技巧

李冬梅

【摘要】数列是高中数学中的重要知识内容，数列题型具有复杂性和综合性，要求学生具备较强的解题能力.为了帮助学生更好地解决数列问题，教师需要根据数列题型特点，选择合适的解题方法和技巧，帮助学生突破解题困境.在日常教学中，教师除了传授学生知识内容，还需要结合数列题型，传授学生解题技巧，提高数学数列问题解题能力.本文分析高中数学求解数列试题的技巧，以供参考.

【关键词】高中数学；数列；解题技巧

数列是高中数学课程体系中的重点与难点部分，试题内容复杂多变、较为抽象，对解题有着较高的技巧性要求，致使不少学生望而生畏，他们极易陷入困境，使其学习数学的自信心明显受到影响.在高中数学解题训练中，针对数列试题主要涉及等差数列、等比数列与混合数列等题型，教师需带领学生着重剖析一些经典例题，了解题型特点，使其学会根据不同题目类型选取不一样的解题方法，从而帮助他们掌握更多解决数列试题的技巧.

1 利用基本概念解决数列试题

在高考数学试题中，有很多和数列基本概念相关的题目，涉及基本的概念和原理，因此，教师应当要求学生熟练掌握数列基本概念等基础知识，并且灵活利用这些基本知识解题.在高中数列教学中，一些数列试题具有模式化的特点，学生只需要利用公式套入，就可以得出准确答案，对于此类数列试题，学生需要做到仔细、认真，不能因为题目简单而马虎大意，遗漏重要条件，导致试题解答错误失分.

例1 已知等差数列 an的前n项和是Sn（n为正整数），如果a3=5，S10=100，求S5的值.

解 在等差数列an中，假设数列的首项是a1，公差为d，所以a3=5=a1+（3－1）d，S10=100=10a1+10（10－1）2d，得出a1=1，d=2，所以S5=25.

2 运用公式法解决数列试题的技巧

在高中数学课程教学中，不少知识要点都会涉及相应的公式，公式法是处理本知识点试题的基本技巧，可以用来处理不少基础性试题，有着广泛的适用范围.在高中数学数列试题解题教学中自然也是如此，教师首先可指引学生运用公式法进行求解，根据题目实际情况选取相应的数列公式，使其结合题干信息直接套用公式就能够求出结果，提高解题效率［1］.

例2 已知在数列an中，a1=2，an+1=an+2n+1，数列bn满足bn=2log2（an+1－n），那么数列bn的前n项和Sn是（  ）

（A）n2.     （B）n2－n.

（C）n2+n.  （D）n2+n+1.

解 根据an+1=an+2n+1，能得到an+1－2n+1=an+2n+1－2n+1=an－2n+1，则（an+1－2n+1）－（an－2n）=1，由于a1=2，则a1－2=2－2=0，那么数列{an－2n}是以0为首项，1为公差的等差数列，即为an－2n=n－1，an=2n+n－1；根据bn=2log2（an+1－n）可得bn=2log2（an+1－n）=2log2（n－1+2n+1－n）=2n，则Sn=b1+b2+…+bn=2（1+2+…+n）=2×n（1+n）2=n2+n，故正确答案是选项（C）.

3 采用分组法解决数列试题的技巧

在高中数学数列解题训练中采用分组法时，通常按照以下步骤进行：第一步，定通项公式，即为根据题目中提供的已知条件求出数列的通项公式；第二步，巧拆分，根据通项公式的特征将其分解为几个能够直接进行求和的数列；第三步，分别求和，需分别求出各个数列的和；第四步，组合，就是将拆分后每个数列的求和组合到一起，就能求得原数列的和.

例3 已知数列an是3＋2－1，6＋22－1，9＋23－1，12＋24－1，……，那么数列an的通项公式是什么？求出其前n项和Sn的值.

解 结合题意可得数列an的通项公式是an=3n+2n－1，则Sn=a1+a2+a3+…+an，把an=3n+2n－1代入后加以整理，可变形为（2＋5＋8＋…＋3n－1）＋（2＋22＋23＋…＋2n），由此实现分组，分成前后两个部分，前者是一个公差是3的等差数列，后者是一个公比是2的等比数列，分别代入相应的公式可得Sn＝n（2+3n－1）2＋2（1－2n）1－2＝n2（3n+1）+2n+1－2.

4 使用相减法解决数列试题的技巧

在高中数学数列解题教学实践中，相减法是一种使用频率较高的解题技巧指引，一般指的是错位相减，当遇到等比数列与等差数列相乘的求和问题或者等比数列求和问题时，就能够使用这种解题技巧.高中数学教师需引导学生先在等式两边同时乘以等比数列的公比，再把两个等式相减，然后运用等比数列的前n项和公式进行求和，让他们顺利解题［2］.

例4 已知通项Sn=1+3x+5x2+7x3+…+（2n－1）xn－1，其中x≠0且x≠1，求该数列的前n项和公式.

解 对题目中的等式Sn=1+3x+5x2+7x3+…+（2n－1）xn－1两边同时乘以等比数列的公比x，可以得到xSn=1x+3x2+5x3+7x4+…+（2n－1）xn，然后把原式同该式相减，能够得到（1－x）Sn=1+2x+2x2+2x3+2x4+…+2xn－1－（2n－1）xn，接着，使用等比数列的求和公式能够得到（1－x）Sn=1+2x×1－xn－11－x－（2n－1）xn，

所以Sn＝（2n－1）xn+1－（2n+1）xn+（1+x）（1－x）2.

5 利用并项法解决数列试题的技巧

在处理一些比较特殊的高中数学数列试题时，有时无法使用错位相减法，这时可以根据具体题目内容转变解题思路，像求解方向、已知条件、题目公式的内部规律等，假如发现这些项和特殊项之间有所联系，就能够使用并项求合法，就是根据具体数列的特征，把题目中一些有所关联的数列合并起来，使之具备某一特殊性质，然后把它们放到一起进行求和［3］.

例5 已知Sncos1°＋cos2°＋cos3°＋…＋cos177°＋cos178°＋cos179°，求Sn的值.

因为cosn°=－cos（180°－n°），所以Sn=（cos1°+cos179°）+（cos2°+cos178°）+（cos3°+cos177°）+…+（cos88°+cos92°）+cos90°=0，即Sn的值是0.

6 应用函数法解决数列试题的技巧

函数与数列本身就存在着特殊的關系，基于函数视角来看，数列就是一种特殊的函数，在高中数学解题训练中，当采用常规方法很难求解时，教师就可以提示学生应用函数法，主要是借助函数思想的优势找到解题的突破口，特别适用于处理部分求最值类的数列题目，学生应从函数角度展开分析与思考，使其找到相关参数之间的关系，让他们轻松完成解题.举例略.

7 结语

数列是高考中的一个高频考点，教师在平常解题训练中需给予高度重视，专门围绕数列知识设计专题训练，指导学生根据具体题目灵活采用公式法、分组法、相减法、并项法等多种多样的解题技巧，使其找到最佳的解题思路与方法，让他们高效解决数列试题.

参考文献：

［1］张洁.刍议高中数学数列试题的解题方法与技巧［J］.试题与研究（教学论坛），2021（13）：1.

［2］陆钰.高中数学数列试题的解题方法与技巧［J］.数理化解题研究，2021（33）：34-35.

［3］郭嫣然.高中数学数列试题的解题方法与技巧探究［J］.数字化用户，2019，25（04）：214.