关于抽象函数的对称性、周期性的几点思考与建议

杨青英 张少霞

【摘要】抽象函数一直是高考的高频考点，最常见的题型是将函数的周期性、对称性结合在一起考查.相比其他题型，学生面对抽象函数时更加难以理解，抓不住关键信息，找不到解题思路.本文拟从以上问题出发，通过梳理知识点，分析学生在解抽象函数中存在的问题，提出对应的解题方法，以2021、2022年的高考题为例，进行分析，希望对学生的解题能力有所帮助.

【关键词】高中数学；抽象函数；对称性

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些特殊条件或特征的函数称为抽象函数，如f（m+n）=f（m）·f（n）等表达式.正是因为没有具体的解析式，所以学生通过求函数解析式来求解函数的这种思路便不再适用于抽象函数.因此，从抽象函数的性质出发，研究其周期性、对称性的基本特征，结合数学不同知识点之间的关系，系统地掌握数学知识，学生的解题速度和质量都会获得提升.

1 抽象函数的对称性、周期性的基本解法

1.1 对称性

对称性包括轴对称和中心对称，一般与函数的奇偶性联系在一起.当函数为偶函数时，f（x）=f（－x），对称轴为x=0，并且如果一个函数满足f（a+x）=f（a－x），则函数f（x）的对称轴为x=a，通过观察，这两个函数数值相等，而且括号中的x为一正一负，可知对称轴为正负对称（轴）的平均；当函数为奇函数时，f（x）=－f（－x），其对称中心为（0，0），或者一个函数满足f（a+x）=－f（a－x），则这个函数的对称中心为（a，0），可得这个函数的对称中心的横坐标为两横坐标之和的平均数.

1.2 周期性

周期函数是指对于函数如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，此时我们就把这个叫周期函数，不为零的常数T就叫做函数的周期［1］REF_Ref131621457＼r＼h＼*MERGEFORMAT，常用的三种求函数周期性的方法是：（1）函数f（x）关于直线x=a，x=b对称，则T=2|b－a|；（2）函数f（x）关于直线x=a和（b，0）对称，则T=4|b－a|；（3）函数f（x）关于点（a，0）和（b，0）对称，则T=2|b－a|.

掌握函数的周期性可以使学生便捷快速地进行解题.求解函数的周期一般与函数的对称性有关，并且函数的对称性可以转化为函数的周期性，2 影响学生解题的因素

2.1 思维定势的影响

学生在独立解决问题的过程中，在过去知识经验的影响下，心理常处于一种准备状态，在解决当前问题时有一定的倾向性，从而决定后继活动的趋势［2］REF_Ref131626215＼r＼h＼*MERGEFORMAT，也就出现了思维定势.学生在解抽象函数时，先前所积累的解题经验对学生印象深刻，学生会下意识地用已有数学思维去解决抽象函数类题型，使其思维受阻.

2.2 基础不牢，知识点混淆

学生对基础知识的获得有两种形式：一是死记硬背，知识之间不成系统；二是在脑海中进行有意义建构，将所学知识形成思维导图［3］REF_Ref131696281＼r＼h＼*MERGEFORMAT，抽象函数综合性较强，涉及的知识点范围广，常常会和一个或多个知识点结合起来考查，学生在先前的学习中，没有形成一个系统的结构框架，在解题时，只会套用公式，弄不清问题本质，遇到较难习题时，容易将知识点混淆，找不到解题思路.

2.3 归纳总结能力较低

高中数学题型包罗万象，机械式的刷题模式会加强学生的学习负担，从根本上无法提升学生的解题效率.其中有一部分原因是学生在解题后没有对同一类型的题型进行归纳总结，不会举一反三.另一部分原因是学生在解题时，会出现思路错误、方法错误、知识点错误，但学生并没有对此进行反思总结，在做此类题型时仍犯同样的错误，加大了数学学习负担.

3 解题方法

3.1 还原法

还原法是解决抽象函数常用的方法，其最终目的是通过递推和替换使题目中所要求的抽象函数表达式呈现周期性、对称性的结构特征.第一次还原是根据题目所给的条件，进行形式上的递推，让其变成f（x）的表达形式.第二次还原是在第一次还原的基础上再次替换，使其替换后的抽象函数表达式可以呈现出对称轴、对称中心或者周期等基本信息.

3.2 赋值法

在解决抽象函数时有一种通过化抽象为具体的方法，即赋予恰当的数值或代数式，经过恰当的运算和推理加以解决，这种方法就是赋值法［4］REF_Ref131779725＼r＼h＼*MERGEFORMAT.常见的是将未知量赋予一些特殊值或简单的数，如：令x=0或x=1等.

3.3 構造法

构造法解题的本质是根据数学问题中的条件，用条件中的元素为“原件”，用已知数学关系为“ 支架”，在思维中构造相关的数学对象、或数学形式，从而使问题转化并得到解决［5］REF_Ref131781193＼r＼h＼*MERGEFORMAT.在高中数学中最常见的有用构造辅助线、辅助量、图形等来解.

4 抽象函数的周期性、对称性在2021年、2022年高考题中的应用

例1 （2021全国甲卷）设函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当x∈1，2时，f（x）=ax2+b，若f（0）+f（3）=6，则f92=（  ）

（A）－94. （B）－32. （C）74. （D）52.

解析 （第一次还原）因为f（x+1）为奇函数，所以f（x+1）=－f（－x+1），且f（1）=0.因为f（x+2）为偶函数，所以f（x+2）=f（－x+2），变形得f（x+1）+1=－f－（x+1）+1=－f（－x），即f（－x+2）=f（x+2）=－f（－x）.

（第二次还原）令t=－x，则f（t+2）=－f（t），所以f（x+4）=f（x）.当x∈1，2时，f（x）=ax2+b，f（0）=f（－1+1）=－f（2）=－4a－b，f（3）=f（1+2）=f（－1+2）=f（1）=a+b，又因为f（0）+f（3）=6，所以－3a=6，a=－2，f（1）=a+b=0，所以－a=2.当x∈1，2时，f（x）=－2x2+2，所以f92=f12=－f32=－－2×94+2=52，由此可知此题选（D）.

本题通过第一次还原递推得出f（－x+2）=f（x+2）=－f（－x），观察函数表达式，进行第二次还原，通过替换表达式中的x，使它变成f（x）的形式，再结合函数的周期性，此题便可得解.

例2 （2021全国乙卷）已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）+g（2－x）=5，g（x）－f（x－4）=7，若y=g（x）的图象关于直线x=2对称，g（2）=4，则∑22k=1f（k）=（  ）

（A）－21. （B）－22. （C）－23. （D）－24.

解析 由y=g（x）的图象关于直线x=2对称，可得g（2+x）=g（2－x）.在f（x）+g（2－x）=5中，用－x替换x，可得f（－x）+g（2+x）=5，可得f（－x）=f（x）.①y=f（x）为偶函数，在g（x）－f（x－4）=7中，用2－x替换x，得g（2－x）=f（－x－2）+7，代入f（x）+g（2－x）=5中，得f（x）+f（－x－2）=－2.②y=f（x）的图象关于点（－1，－1）中心对称，因此f（1）=f（－1）=－1.结合①②，可得f（x）+f（x+2）=－2，所以f（x+2）+f（x+4）=－2，f（x+4）=f（x），y=f（x）·T=4.由f（x）+g（2－x）=5，可得f（0）+g（2）=5，因为g（2）=4，所以f（0）=1，又因为f（x）+f（x+2）=－2，所以f（0）+f（2）=－2，可得f（2）=－3，又因为f（3）=f（－1）=－1，f（4）=f（0）=1，所以∑22i=1f（x）=6f（1）+6f（2）+5f（3）+5f（3）+5f（4）=6×（－1）+6×（－3）+5×（－1）+5×1=－24，故选（D）.

在这道题中并没有出现很明显的解题信息，但是y=g（x）的图象关于直线x=2对称，联想到偶函数的性质，沿着这个思路进行递推、替换，将表达式还原成f（x）的形式，观察表达式之间的结构特征，在利用函数周期的性质解题.

例3 （2022新高考2卷）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）+f（x－y）=f（x）f（y），f（1）=1，则∑22k=1f（k）=（  ）

（A）－3.  （B）－2.  （C）0.  （D）1.

解析 由上述题型可知∑22k=1f（k）=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（22），因为f（x+y）+f（x－y）=f（x）f（y），令y=1，则f（x+1）+f（x－1）=f（x），对x∈R都是成立的.用x+1代替x，则f（x+2）+f（x）=f（x+1），由此可推出f（x+2）=f（x+1）－f（x）记为①式，同时也可推出f（x+1）=f（x）－f（x－1）记为②式，②式代入①式可得f（x+2）=－f（x－1）.用x+1代替x可得f（x+3）=－f（x），根据周期函数的性质f（x+m）=－f（x），T=2m，所以在f（x+3）=－f（x）中，T=6，f（1）=1.令 x=1，y=0，代入f（x+y）+f（x－y）=f（x）·f（y）中，整理化簡得f（0）=2.由①式f（x+2）=f（x+1）－f（x）可知，令x=0时，f（2）=f（1）－f（0）=－1.令x=1时，f（3）=f（2）－f（1）=－2.令x=2时，f（4）=f（3）－f（2）=－1.令x=3f（5）=f（4）－f（3）=1，令x=4时，f（6）=f（5）－f（4）=2.又因为（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=0，∑22k=1f（k）=［f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）］×3+f（19）+f（20）+f（21）+f（22）=f（19）+f（20）+f（21）+f（22）=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=－3，故此题选（A）.

2022新高考2卷中的这道题的解题过程中并不是单一使用一种方法，而是将还原法与赋值法结合解题.因此，学生解题不应拘泥于一种解题方法，而是根据具体题型具体分析，将解题方法融会贯通，解题思路也会更加清晰.

5 结语

通过分析这两年的高考题可以看出抽象函数中对求值问题考查频繁，学生在解题过程中，需要重点注意“三性转化”（奇偶性、对称性、周期性），对于“三性”之间的关系做到熟稔于心，熟练自如地运用解题方法.遇到难度较大、信息繁琐的习题时，秉持化繁为简、化难为易，找准解题的切入点，最终达到习题所要实现的目标.

参考文献：

［1］栾晓红，刘淑君.由一道高考题浅谈抽象函数周期性与自身轴对称性的异同［J］.中学数学研究，2009（06）：29-31.

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［3］李妮妮.提高中学生数学解题能力的策略研究［D］.新乡：河南师范大学，2018.

［4］何晓勤.赋值法在求解抽象函数问题中的应用［J］.数学学习与研究（教研版），2008（08）：94.

［5］何忆捷，熊斌.中学数学中构造法解题的思维模式及教育价值［J］.数学教育学报，2018，27（02）：50-53.