求解几何体外接球问题的不同思路分析

张广海

【摘要】高中数学的立体几何问题经常出现一类将空间几何体和外接球结合在一起的问题，常见的空间几何体有三棱锥、四棱锥、三棱柱等.解答这些常见几何体的外接球半径、表面积以及体积的相关问题，则要求同学们具备一定的空间想象能力和不同的解题思路与方法.本文从具体例题切入，主要从三个不同解题思路分析如何求解几何体的外接球问题，以此给同学们提供更多思考与启发.

【关键词】几何体外接球问题；补形；球心

几何体外接球问题在工程、科学和数学等领域具有广泛的实际应用，如计算机辅助设计、机器人学、物体识别等.求解几何体外接球问题是一个复杂的过程，尤其是在处理具有多种类型和复杂形状的几何体时，需要选择合适的解决方法.本文提出了三种不同的思路来解决这一问题，分别是补形思路、确定球心思路和截面思路.

1 补形思路

根据已知几何体的结构特点补充得到长方体、正方体或直棱柱这些比较熟悉的几何体，求这些几何体对应的外接球能使问题得到简化，解题也会更加直接简单.

例1 已知底面边长等于1，侧棱长等于2的正四棱柱的各个顶点全都在同一个球面上，则该球的体积等于（  ）

（A）32π3. （B）4π. （C）2π. （D）43π.

解析 对所给条件即底面边长与侧棱长的长度进行分析，可考虑将该空间几何体补充成长方体，即问题等价于求解长方体的外接球体积.其次根据长方体外接球的半径公式2R2=a2+b2+h2，代入相关值求得外接球半径.最后根据球体体积公式，运算得到问题答案.

如图1所示，假设该外接球的半径等于R，根据公式可得2R2=22+12+12，

所以外接球半径R=1，由球体的体积公式可知：V=43πR=43π，故正确答案为（D）选项.

2 确定球心思路

几何体外接球的定义，即球心到每个顶点的距离都相等.根据这一定义可尝试确定外接球的球心，从而确定半径和表面积、体积，这种思路可称为确定球心思路.

例2 在三棱锥A－BCD中，BC⊥CD，AB=AD=2，BC=1，CD=3，则三棱锥外接球O的半径为.

解析 结合所给条件对问题相关的三棱锥空间结构特点进行分析，可得到AD⊥AB和BC⊥CD，由斜边上的中点到顶点A，B，C，D的距离都相同，可确定球心的位置，求出BD的边长即可得出外接球的半径.

因为BC⊥CD，BC=1，CD=3，所以BD=2，

又因为AD2+AB2=22+22=4=BD2，所以AD⊥AB，

所以球O的球心在BD的中点，所以球O的半径为1.

变式 在三棱锥P－ABC上，PA=PB=AC=BC=2，AB=23，PC=1，则三棱锥外接球的表面积为.

解析 首先确定球心的位置，三角形ABC的外接圆圆心一定和三棱锥外接球的球心在同一条垂线上，故可确定球心位置，其次根据定义，球心到每个顶点的距离都相同，可列出相关等式，运算并解答，即可得到三棱锥外接球的半径和表面积大小.

作△ABC的外接圆，圆心为O，过圆心O作面ABC的垂线，三棱锥外接球的球心M在垂线上，

因为△ABC是等腰三角形，所以∠A=∠B=30°，外接圆的半径r=22sin30°=2，

以外接圆的圆心O为原点，建立如图所示的空间直角坐標系，

则M0，0，z，C－2，0，0，P－32，0，32，

因为MP=MC，所以4+z2=94+32－z2，解得z=－33，

故三棱锥外接球的半径R=MC=4+z2=133，三棱锥外接球的表面积S=4πR2=523π.

3 截面思路

经过外接球球心的平面是最大的圆，由几何体的平面所截得的圆与面积最大的圆存在一定联系，即根据截面圆半径，外接球半径和截面到中心圆的距离构造直角三角形，利用勾股定理解答问题求得半径等其他值.

例3 已知正四棱锥P－ABCD的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高度等于4，底面边长等于2，则该球的表面积为.

解析 对正四棱锥进行分析，可知该几何体外接球的球心在底面中心E与顶点P的连线段上，且点E是正方形ABCD外接圆的圆心，此时可以构造直角三角形OAE.假设球的半径为R，球心到截面圆圆心的距离为OE，球的半径为OA，且AE的边长可求得，根据勾股定理列出方程OA2=OE2+AE2，运算解答即可得到外接球的半径，进一步根据表面积公式求出对应值.

将AC，BD连接交于点E，连接AO，PE，如图3所示，假设球心为O，球O的半径等于R，在直角△AOE中，由勾股定理得4－R2+22=R2，解得R=94，故外接球O的表面积等于4πR2=81π4.

4 结语

立体几何的外接球问题在近几年的高考数学试题中出现频率较为频繁，因此同学们一定要掌握解决外接球问题的有关方法和思路，可以对问题几何体进行几何体模型的补充，也可以利用球的几何定义求解，还可以运用构造三角形思路进行解答.除了熟悉和掌握相关解题思路，还要熟练掌握一些基础公式，才能保证解题的速率与效率.

参考文献：

［1］杨彩云.截面法在求解空间几何体外接球问题中的应用［J］.中学数学：高中版， 2019（5）：35-36；

［2］李甲银.求几何体外接球半径的两种思路［J］.语数外学习：数学教育， 2021， 000（002）：P.46-46.

［3］吴清清.几何体的外接球问题［J］.福建中学数学， 2018（4）：6-7