合理对待数学错误，培养学生学习习惯

刘红久　刘忠华　周睿

［摘  要］ 在数学教学中，教师要正确地对待学生的错误，要结合学生的错解过程找到他们真正的错因，从而通过针对性的引导及时帮助学生查缺补漏. 文章分析了学生学习过程中的一些典型错误及错因，并指出充分发挥错误资源的“诊断”和“治疗”作用，能有效降低学生再出错的频率.

［关键词］ 纠错教学；教学策略；学习习惯；错误资源

相信大多数教师都遇到过这样的困惑：有些题目讲了又讲，练了又练，但是学生还是会犯错. 虽然错误在学习过程中无法避免，但是学生若能正确地认识错误、合理地对待错误，就能有效避免再次出错或降低错误再次发生的频率. 在数学教学中，教师应充分发挥其引导者的作用，及时和有效地指导学生进行错题管理，培养学生良好的纠错习惯，同时采取多样化的、有针对性的教学策略来提升教师的教学质量和学生的学习品质，有效避免“一错再错”［1］.

现状分析

面对学生的错误，不同的教师有着不同的解决方式. 有的教师认为学生之所以会错，是试题做得不够多，因此常常选择同类型的试题让学生“反复刷，重复练”，以期降低学生出错的频率. 但是“反复刷，重复练”容易让学生产生思维定式，这会严重影响学生解题的准确率. 有的教师认为错误是在所难免的，学生的学习过程和人的成长过程一样，不可能一帆风顺，所以对学生的错误常常听之任之，这样对待错误过分“宽容”了，学生再错也就在预料之中了. 有的教师面对学生的错误显得过于消极和急躁，不进行错误分析和引导，而是“一骂”了之，这样不仅没有有效地解决问题，而且容易让学生对错误产生恐惧心理，这会严重影响学生学习数学的信心. 错误在学习过程中是不可避免的，产生错误的原因也是多种多样的，师生只有正确认识错误，才能找准错因，从而找到行之有效的解决策略，有效避免错误或降低错误再次发生的频率.

错误是宝贵的教学资源，不过在实际教学中，错误的积极意义并没有得到充分的肯定，因此关于错误解决策略的研究较少. 大多数教师仅仅“就题论题”式讲解，这样很难让学生对自己的错误形成正确的认识，所以学生容易再次出错. 为了改变这一现象，在具体的教学中，教师应该对常见的错误进行错因分析，引导学生在失败中吸取经验和教训，并提出一些“防错”和“纠错”的教学策略，以期借助多样性、针对性的纠错方法，提升数学教学成效［2］.

案例分析

纠错在数学教学中是必不可少的，在此环节，教师需要分析并整理学生所犯的一些典型错误，并应用多样的教学手段来消除学生对困惑或错误的认识，帮助学生建立正确的认识. 笔者结合教学实践，总结、归纳了以下几种典型错误，供参考.

1. 知识性错误

学生在解题中之所以会犯知识性错误，主要是因为他们对概念、公式等基础知识掌握得不牢，如分不清考点，概念混淆，公式错用，忽视自变量的取值范围等. 对于此类错误，大体可以分为两类，第一类是存在数学知识漏洞，如审题不清，考点分析不准确，认识问题不全面；第二类是知识点把握不到位，如概念混淆，记错公式、法则，忽视公式的适用范围等.

例1 若一元一次方程（m-1）x2+5x+m2-3m+2=0的常数项为0，则m的值是（    ）

A. 2            B. 1

C. 1或2      D. 不能确定

错解 C

错因分析 从表面上看，学生出错的原因是审题不清，忽视了“一元一次方程”这一限定条件，加之对一元一次方程的概念比较模糊，并不知道二次项系数要为0. 因此，解题时根据“常数项为0”这一条件，得到m2-3m+2=0，然后直接得到答案C. 从本质上分析，学生在学习之初就没有理解或重视概念，所以在审题时未能准确提炼出解题的关键信息，最终发生错误.

与此类似，学习一次函数y=kx+b时，学生容易忽视“k≠0”这一基本条件；学习分式时，学生容易忽视“分母不能为0”这一限定条件. 又如，对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和反比例函数y=（k≠0），学生同样容易忽视限定条件. 可见，此类问题是例1的延续，若教师在教学中不重视这类错误，仅进行简单的讲评，告知学生要好好审题，那么学生在解题时势必会因存在知识漏洞而一错再错.

例2   计算：

--3-（1+）0+.

错解  原式=-0+2=2.

错因分析 出现以上错误，可见学生对零指数幂、负整数指数幂、绝对值等概念理解不清. 学习新知时，学生对这些特殊形式、运算法则了如指掌，但是时间久了出现了遗忘，所以他们就按照自己的理解去定义概念. 因遗忘而造成概念模糊在学习中最为常见，可谓是学生的“天敌”.

2. 方法性错误

在平时的学习中，部分学生由于对概念、定理等内容理解或掌握得不到位，所以常常在解题时因解题方法使用不当或解题方向出现偏差而出现错误.

例3 计算：2x（x-3）=5（x-3）.

错解 原方程等价于2x=5，解得x=2.5.

错因分析 解题时，学生直接将等式两边同时除以整式（x-3），因对等式的性质认识不清而造成失根. 解题时，部分学生图省事，会忽视一些公式、定理、法则等成立的条件，从而使解题方向发生偏移，造成解题错误.

3. 逻辑性错误

學生解题时，常会出现一些如推理错误等逻辑性错误. 出现此类错误的主要原因是学生的思维、推理不够严谨，平时没有养成正确推理的习惯. 纠错时，教师可以列举一些简单的符合逻辑规律的实例，让学生意识到严谨在解决问题中的价值，以此培养学生的逻辑思维能力.

例4 在△ABC中，AD是高，且AD2=BD·CD，那么∠BAC的度数（      ）

A. 等于90°     B. 小于90°

C. 大于90°     D. 不能确定

错解  A

错因分析 学生之所以选择A，是受思维定式的影响，默认为AD在三角形内部，由此得出∠BAC=90°. 但原题并未指明AD在何种位置，当高AD在三角形外部时，可得到∠BAC是锐角.

4. 运算类错误

谈起运算类错误大家并不陌生，这是一个普遍存在的问题，很多人将其统一归类为粗心造成的，不过仔细分析不难发现，其实大多数运算错误是因为学生对运算规律及概念理解不到位. 教师纠错时，既要让学生呈现思维过程，又要渗透解题技巧，让学生感悟到运算的乐趣，从而培养运算兴趣.

例5 解不等式：-≥x-.

错解  2（x-2）-3（3x+5）≥x-2-x⇒2x-4-9x-15≥-2⇒x≥-.

错因分析 此题表面上看是因为去分母时出现了不等转化所致，但仔细分析不难发现，学生在“系数化为1”这一步也出现了错误. 可见，学生既没有建立解方程和解不等式的联系，更不懂两者的区别，不懂每步操作的原因和理由，因盲目生搬硬套而引发了错误.

5. 心理类错误

在每个班级都有这样的学生，平时练习、考试都能取得很好的成绩，但是在正式考试时却屡屡失败，这是由心理造成的. 对于此类问题，教师在平时的教学中要注意心理疏导，多给学生一些鼓励，重视学生心理素质的培养，帮助他们形成良好的心态、健康的心理.

总之，在教学中，教师既要宽容地对待错误，又要对学生的错误进行细致分析. 要知道，每个错误都不是凭空产生的，只有找到问题的根源才能找到合适的应对策略，从而将错误资源转化为优化学生认知结构、完善学生认知体系、促进学生发展的宝贵生成性资源，切实提高学生的学习品质.

实践策略

错误虽然不可避免，但如果教师在教学中采取有效的解决策略，就可以避免或者减少类似错误的再次发生. 基于以上典型错误及错因分析，笔者总结、归纳了如下解决策略.

1. 教师引导，树立正确的“错误观”

教师作为课堂教学的组织者和引导者，其对待学生错误的看法和态度将直接影响学生对待错误的看法和态度. 在教学中，教师要少一些批评，多一些鼓励，宽容地对待学生在学习过程中出现的错误，并对学习中出现的错误给予积极的反馈，指导学生找到改正错误的方法，以此提高学生的认知水平，帮助学生树立正确的“错误观”.

在学习过程中，假如学生树立了正确的“错误观”，他们就能在面对错误时不胆怯，并拥有学习数学的信心. 另外，在日常教学中，教师切勿以偏概全，要善于捕捉学生错误中的闪光点，及时把握机会与学生进行有效沟通，了解学生的真实想法，展示学生的思维过程，帮助学生找到错误的根源，并给出一些针对性的改进建议，以此逐渐完善学生的认知结构，提高学生解决实际问题的能力.

2. 组内交流，培养学生的合作意识

纠错时，教师可以将学生分组，发挥同伴互助的作用. 组内能够解决的问题就在组内解决，组内不能解决的问题开展集体探究，这样学生既能在他人的错误中吸取教训，又能在互助中完善自己的认知，还能培养合作意识，发展分析问题的能力.

课堂时间和教师的精力都是有限的，而分组学习可以有效地打破这种局限，让学生在互相纠错的过程中获得不同程度的成长. 需要注意的是，为了确保小组合作学习的质量，教师要对小组合作成果进行检验，并基于学情制定一系列奖励措施，以充分发挥个体优势，提高纠错教学的有效性.

3. 选择合理纠错的方式，提升纠错效率

在传统的教学中，纠错的方式比较单一，大多是以教师讲授为主，即教师直接将正确答案讲给学生听，然后借助同类型的问题进行强化训练. 这样的教学从短期来看是高效的，学生通过模仿教师给出的标准解题过程就可以顺利地解决问题，但纠错是一个复杂的认知过程，通过“强塞”的方式帮助学生纠正错误，难以让学生从根本上解决问题，很容易“一错再错”. 因此，在實际教学中，教师要改变单一的纠错方式，通过方法的多样性和针对性来提升纠错效率.

（1）暴露学生的错误，激发学生改错的自觉性

在纠错教学中，教师可以挑选一些具有代表性的错误来展示，让学生先独立完成纠错，然后师生互动交流. 在此过程中，教师要多问几个“为什么”，引导学生进行错因分析，并给出自己的修改意见，激发学生改错的自觉性，培养学生的“防错”和“改错”意识.

（2）设计多样性实践活动，规避再错风险

方式一，以学生活动为主线，引导学生通过独立改错、合作纠错相结合的方式开展多样性实践活动，充分发挥学生的主体作用，让学生在独立思考和合作探究中探寻正确解法，优化认知.

方式二，以教师为主线，教师结合学生的反馈挑选一些出错率高的问题进行重点剖析，充分发挥教师的主导功能，让学生更加全面地认识错误、理解错误. 当然，出错率较低的问题，教师也不能不讲，不过可以采用课后辅导的方式进行单独讲解.

（3）优化批改方式，发挥作业价值

批改作业的过程是师生互动交流的过程. 此过程既要有教师“批”的过程，又要有学生“改”的过程. 不过，实际教学大多以“批”为主，忽视了“改”的过程. 笔者认为，教师应该重视作业的回批，要求学生及时地更改错误，并写出完整的纠错过程，如错因分析、解题过程等，然后根据纠错过程进行打分，并给予一定的奖励，以此培养学生正确的纠错意识. 同时，教师在批改时除了使用“√”“×”，还可以增加一些符号，如画圈、画波浪线等，通过有效提示，提高学生的纠错效率.

4. 应用错题本，培养整理归纳能力

错题本是重要的纠错工具. 在学习中，对典型错误进行整理和分析，有利于学生深化对问题的理解，有助于学生总结、归纳. 在错题本的建立和应用中应注意以下几点：（1）分类整理错题本，如按章节分类，按错因分类；（2）不断补充错题本；（3）经常阅读错题本；（4）交换阅读错题本；（5）教师指导和监督. 规范地整理错题本，结合教师有效的指导与监督，能充分发挥错题本的价值，减少错误反复发生的频率.

总之，在教学中，教师既要重视错误，又要宽容错误，还要合理应用错误，为学生提供时间和空间去思考、去探究、去纠错，以此达到巩固知识、强化技能、完善认知、发展思维的效果，切实提高学生的学习能力.

参考文献：

［1］黄玉芳. 浅论让美丽的错误开出绚烂的学习之花——初中数学错误资源的有效利用［J］. 数学教学通讯，2019（26）：34-36.

［2］王树林. 初中数学教学中错误资源的有效应用［J］. 中学课程资源，2018（12）：8-9+42.

基金项目：邵阳市教科院规划课题“新背景下课堂教学中培养学生良好学习习惯的策略”（SYGH210）.

作者简介：刘红久（1969—），本科学历，正高级教师，从事初中数学教学工作.