数形结合方法在高中数学解题教学中的应用

刘锦程

摘 要：数与形是数学学科中的两个基本对象，如果不能将二者进行有机结合、找到对应的关系，则会影响学生在解答数学题的过程中难以运用各种思维方法分析题目、掌握知识。本文首先分析高中数学解题教学现状，指出其中存在的问题，再阐述将数形结合方法应用于高中数学解题教学的必要性，最后从体验、理解、启迪、锻炼四个方面提出数形结合在数学解题教学中的应用策略，并给出具体的示例，以期培养高中学生的解题能力，为广大数学教师提供参考与建议。

关键词：高中数学；解题教学；数形结合方法

最新版的《普通高中数学课程标准》明确提出：要注重提高学生的数学思维能力，让学生在学习数学和运用数学解决问题时，经历多种思维过程，对各种客观事物中蕴含的数学模式进行思考与判

断[1]。在引导学生经历思维过程、做出思考与判断的过程中，则离不开多种数学方法与思想，而数形结合方法正是高中阶段学生常用的数学方法，被广泛运用于高中数学的各个部分中。那么，如何将数形结合方法应用于高中数学解题教学中，使二者的结合发挥“1+1＞2”的效果呢？这是每位数学教师应当深入思考的问题。

一、高中数学解题教学现状

（一）师生对解题的认识存在误区

在数学解题教学中，教师引导学生思考、解题，并不是为了得到一个答案，而是为了让学生在解题过程中实现知识获得、能力提升与素养养成。但在应试教育观念的长期影响下，无论是教师与学生，都在认识解题教学最终目的上走进了误区。一些教师认为，数学教学是依托于大量习题的练习和讲解展开的，学生要多练习，才会“熟能生巧”，在考试中取得较高的分数，在教师的影响下，许多学生也深以为然。但这些师生都忽视了，若无概念与知识点“奠基”，学生从什么角度切入题目，又该用怎样的方法解题呢？因此，这样的想法和模式是片面的，也不利于解题教学的开展。

（二）现代教育技术手段应用不足

随着社会物质条件的改善，各个学校的教学硬件设施也焕然一新，许多数学教师将现代教育技术手段引入解题教学，在这之中，电子课件、电子白板运用的频率最高，但一些教师对现代教育手段应用水平不高、综合素质有待提升，这就让现代教育技术在解题教学中的应用出现了两种情况。一方面，教师通常会将具有挑战性的数学概念、问题和知识点呈现在幻灯片上，学生所要解答的题目自然也不例外，这让本该由学生深入探究的数学课堂与休闲性、趣味性的文学艺术影片相类似，这显然与解题教学的出发点和落脚点是相悖的；另一方面，各种新式设备与教学模式固然活跃了课堂气氛，但教师在大多数时候是站在讲臺上进行讲授的，并未深入到学生群体中实时观察学生的课堂表现与解题反馈，这让师生的距离变远、互动量减少，最终阶梯教学的实效性可想而知。

从这两种情况的出现能看出一个问题：现代教育技术本该在解题教学中起到辅助作用，但教师却让其“喧宾夺主”，当技术工具的使用在课堂上占据主要位置时，那往往会适得其反。数学是一门脑与手并用的学科，学生只观看课件、进行思考或是跟着教师的思路来探究具体的数学问题显然是不够的，学生要亲自动手动脑解题，这样才能在实践认知过程中理解数学概念原理的本质意义，这也要求教师要认识到现代教育技术的辅助作用，使其“锦上添花”，而非“喧宾夺主”。

（三）教师的数学素养难以提升

大多数高中数学教师接受过高等教育的洗礼，具有较高的知识水平与能力，但在数学学科素养提升方面，却因种种原因难以提升。这就导致教师在教学实践中只知数学的工具性、科学性，却未能深入挖掘数学题目背后的人文资源与生活价值。教师对课程编排意图、出题意图的认知出现偏差，解题教学的目标也就难以实现了。教师如此，那学生呢？许多学生也只是将数学视作工具，对于数学文化、数学史、数学与生活的联系一概不管、不知，长此以往显然不利于学生的全面发展。解答高中数学题目，系统学过高中数学的知识都能基本完成，但要将高中数学题目讲清楚、讲透彻、讲深入，教师任重而道远。

（四）传统教学评价对教学的影响

大多数学校评价教师教学效果的方式很简单，那就是在每次考试中取教师所任教班级的学生成绩平均数，再将各班平均成绩进行排序，以平均成绩的高低来作为教学评价的依据。为了提高“平均成绩”，教师会在课内外为学生布置大量的数学练习题，而学生为了取得一个较高的分数，也会在课外进行补课，同时利用教辅资料进行大量练习，这无疑让师生共同陷入了“题海战术”的误区。一方面，平均成绩本就是以高分数补低分数，对有待提高的学生并没有多少实质意义，以此作为衡量教师教学水平与教学效果的标准，过于浅层化、表面化和形式化；另一方面，学生的数学成绩是多种因素作用的阶段性结果，其中既有教师的讲授和学生的课堂学习与课后练习，也有学生本身的数学基础与数学能力和学生是否在课外通过补课进行额外的补充与提升。因此，这种传统的教学评价是不利于解题教学的改进与提升的，同时也会让教师对学生的当下学习能力与未来发展潜能估计错误，这显然不利于学生的全面发展。

二、将数形结合方法应用于高中数学解题教学中的必要性

（一）提供解题思路

作为数学问题中的两大基本元素，图形中的数量关系可以用“数”表达，却也要借助“形”来观察与分析[2]。这两种基本元素的异同、组合形式、转换思路等为学生提供了解题思路。一方面，数形结合思想能引导学生从宏观的角度认识到数学课程的地位与价值，从而让学生对数学有更准确和深刻的认知；另一方面，数形结合方法是沟通数学与生活的“桥梁”，既能将生活问题转化为数学问题，也能让数学问题回归生活，有利于学生对数学知识进行迁移与创新。由此可见，将数形结合方法应用于高中数学解题教学，对为学生提供解题思路、帮助学生建立起学习数学的自信心有着重大的意义。

（二）降低解题难度

不可否认的是，在所有的高考科目中，数学是难度最大、两极分化最严重的学科，许多学生称“一见到数学就头疼”“一开始做题就不知道何处下笔”，这是因为学生并未建立起“数”与“形”之间的联系，对数形结合的灵活运用更是无从谈起，这才觉得数学题很难、无从下笔。从以形化数的角度出发，引入函数图象、求解数量关系是其中的重要内容，而函数图象的五种性质在降低解题难度中发挥着重要的作用，如函数的凹凸性与求证不等式。学生在遇到除函数外的数学疑难问题时，可以尝试利用数形结合思想，引入函数来思考探究问题，在这个时候，所谓的疑难问题也就不再难了。

（三）培养数学思想

数学思想既是强化学生数学学习效果的重要保障，也是推动学生发展数学思维的重要载体。而数形结合方法作为将高中数学两大重要内容联系起来的“纽带”与“桥梁”，不仅能助力学生数形结合思想的形成与发展，让学生通过以形代数、以数解形形成多样的数学解题思路，還能凭借着数学思想之间的贯通性，培养学生其他方面的数学思想，如分类讨论这种典型的应用数学思想、类比思想等，这对于学生数学思想的形成与发展有着重要的作用。

（四）落实核心素养

高中数学核心素养包括六个方面：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析。在这六个方面中，逻辑推理和数学建模与数形结合思想息息相关。在数学建模中，构建函数关系、构建方程、利用统计学知识皆属于数形结合范畴，而逻辑推理作为一种复合能力，涉及数学运算、数据分析等，同样离不开数形结合。由此可见，将数形结合方法应用于高中数学解题教学，能真正落实数学核心素养，促进学生的全面发展。

三、将数形结合方法应用于高中数学解题教学的策略

（一）关注数学概念，体验数形结合

高中生的数学学习过程呈现出明显的阶段性和差异性特点，在数学教学中，教师要遵循循序渐进原则，将数形结合的方法由浅入深地渗透到教学中，帮助学生建立数形结合思维[3]。开展解题教学的第一步就是关注最基础的数学概念，引导学生经历概念形成，这样不仅能帮助学生建立起数学知识的结构与体系，还能发展学生的逻辑推理这一数学核心素养。而学生在几何背景中观察、思考、推导、总结数学概念的过程，正是体验、理解数形结合思想与方法的过程。

例如：在教学“复数的概念”时，教师可以先让学生对数集的扩充过程进行回顾，复习“自然数集→整数集→有理数集→实数集”，再以“在实数集中方程+1=0有解吗”这一问题创设问题情境，让学生进行思考。当学生通过交流、讨论、回顾知识得出“此方程无实数解”的答案后，教师再提出以下问题让学生思考：1.负数能否开平方？2.为了解决负数开平方这一问题，我们能否扩充实数集来解决呢？由这两个问题，教师可以提出“科学家们由此引出了虚数i”，那么，i这个虚数单位到底有什么作用呢？这就是本节课所要学习的概念。

（二）创设问题情境，理解数形结合

数形结合方法在高中数学解题教学中的应用是非常广泛的，如解析几何中的对应关系、在函数中的应用、在概率与统计中的几何概型和密度函数等[4]。为了让学生更好地理解数形结合方法，教师可以在解题教学中创设问题情境，帮助学生更好地理解数形结合思想与方法。一方面，教师可以以数学题目中的条件为基础，根据学生的基本学情做出适当的延伸与拓展，让学生调动生活经验和所学知识进行“举一反三”后，再回归原问题进行思考，以此引导学生从不同的角度来思考问题；另一方面，教师要对学生所做出的反应进行提前预设，准确抓住提问时机，以层层深入的问题将学生引入问题情境中，使课堂教学更加高效。

例如：在教学“直线的交点坐标与距离公式”时，教师可以提出以下问题，引导学生从直线的交点切入，逐步建立“求两直线交点坐标就是解方程组，看解的个数”的概念：1.请分别说出以下三个公式：两点间的距离公式，点到直线的距离公式，两平行线之间的距离公式；2.用数形结合的思想与方法分析解决具体办法，并用图像进行呈现；3.结合所学的三个公式，分析将复杂的问题几何化与代数化的意义。

（三）牢抓典型真题，启迪数形结合

数学教材是承载数学知识的“容器”，而高考题则为教师开展解题教学指明了方向。数形结合思想与方法在高考中有着重要地位，为了更好地剖析高考命题、引导学生准确抓住零散的知识点，教师应在解题教学中牢抓典型真题，让学生在思考、探究、解答真题的过程中建立起多个零散知识点之间的联系，体会数形结合的重要性，理解数形结合的内涵，并通过对比高考典型真题与自己平时所练习的题目，找出自身不足，有针对性地改进与提升。同时，学生在练习真题的过程中形成书写规范，为未来的高考奠定良好的基础。

除此之外，教师的解题教学活动不应是简单就题解题、答疑解惑，数学方法上的提炼总结和数学思维上的点拨启发固然对学生有着积极影响，但典型真题、例题的应用价值同样不可忽视[5]。这就要求教师在解题教学中联系社会生活实际，与学生共同探究数学题目中蕴含的生活经验规律，从而开阔学生的视野，帮助学生建立数学与生活之间的联系。例如：在学习“分段函数求最大值”的时候，教师可以将其转化为“出租车计价”问题，让学生求市中心到机场的距离，画出函数图象，探究“如何乘车才能让花费最小”。这不仅能让枯燥的函数知识变得更加生动有趣、变得“活”起来，还能让学生在利用数形结合方法解题时建立起数学与生活之间的联系，更真实地去“触摸”数学、探究数学的妙趣。

（四）重视实践应用，锻炼数形结合

在当前的高中数学教学中，数学结合虽然得到了广泛的重视，但在应用过程中仍存在一些不足，如：仅重视“以形助数”、仅将数形结合方法视作解题工具、应用意识不强等。在这些不足之中，应用意识不强是最大的问题，具体体现在学生主观上认为作图浪费时间、学生对知识掌握不全面、学生对代数的几何意义理解不全面等方面。为了改善此种问题，教师要重视数形结合思想与方法的时间应用，缩短自己讲解的时间，以点拨、引导的形式鼓励学生思考、探究与解决问题，让学生在实践应用中锻炼数形结合思想，最终掌握数形结合方法并将其应用于解题过程中。

例如：在讲解“直线与圆、圆与圆”的相关内容时，教师首先可以用图像呈现直线与圆的三种位置关系、圆与圆的五种位置关系，让学生分别运用几何法与代数法揭示、判断原理。而后，教师可以让学生用对比图表的形式来对直线与圆进行对比，让学生理解两者关系体现了圆的几何性质与代数方法相结合，并从不同角度切入做出客观判断，以此培养学生的数学实践意识。而在教学圆的基本性质、圆被直线截得的弦长计算方法时，教师同样可以让学生用几何法与代数法分别切入，运用数形结合方法简化问题，以此得到圆的几个基本性质，总结出求圆的弦长应注意的问题。

结束语

将数形结合方法应用于高中数学解题教学中，既是新课改对数学学科提出的要求，也是有效解决数学抽象知识、简化数学学习的迫切需求，更是教师与学生在数学“教”与“学”的过程中实现协同发展、共同成长的个人诉求。除了数形结合这种重要方法之外，教师还要不断探索更多的数学的教学模式与思维方法，让学生在解题过程中对这些方法和模式进行实践探索，选择最适合自己的解题方法，以培养学生的创新思维，真正落实数学核心素养。

参考文献

[1]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[S].北京：人民教育出版社，2020.

[2]房兵.以解题教学中的数形结合发展学生学力：兼对数形结合运用的现状分析[J].数学教学通讯，2022（27）：58-59+66.

[3]胡亮.数形结合方法在高中数学教学中的应用探析[J].数理化解题研究，2022（33）：26-28.

[4]郭州雄.浅谈高中数学中的数形结合思想[J].数理天地（高中版），2022（21）：73-75.

[5]范习昱.高中数学解题教学需要五种意识[J].教育实践与研究（B），2013（9）：68-70.