浅谈函数与方程思想在高中数学解题中的应用

胡建峰

【摘要】函数与方程思想是高中数学思想之一，它在数学解题过程中广泛应用，包含了函数与方程的共同优点，是高中生学习掌握数学思想必不可少的一部分.在数学课堂教学过程中，教师通常引导学生利用已知条件去建立函数或者方程去解决问题，进而提高学生的解题效率和正确率.文章深入探讨了函数与方程思想的内涵，并结合具体的数学实例去说明函数与方程思想在高中数学解题中的应用.

【关键词】高中数学；解题能力；函数与方程思想

目前，在高中数学中，方程与函数的相关知识是非常重要的知识点.函数与方程思想是高中学生解决数学问题必须掌握的，同时是高中生学习数学思想非常关键的一部分.但一部分学生在函数与方程的相关学习过程中，总会遇到函数与方程转化过程中的各种问题，从而导致在学习过程中出现差错.所以，在教学过程中，数学教师不仅要教会学生做对函数与方程的相关题目，还要教会学生如何运用函数与方程思想解决问题.另外，在日常教学过程中，数学教师也会发现掌握函数与方程思想的学生在解答函数与方程问题的时候，经常可以做到举一反三.因此，数学教师要指导学生不断提高自身的函数与方程思想，培养学生的数学知识学习能力与解决数学问题的能力.

一、函数与方程思想的简述

函数思想是指人们从运动变化的角度，去研究分析数学中的数量关系，然后建立函数关系或构造函数，利用函数的图像与性质去分析和解决相关的问题.方程思想是分析数学中的等量关系，从而去构建方程或方程组，通过求解或利用方程的性质去分析解决问题.方程与函数思想是结合上述两种思想方法，让学生从建立函数与方程的角度去看问题，建立未知与已知之间的关系式，从而将问题求解转化到函数或方程的求解上.

二、函数与方程思想在高中数学解题中的应用

在高中的数学学习过程中，学生经常会面临题干中所给的参数未知或者题干信息不全的情况，通常在这种情况下，学生可以先将未知参数视为特定条件，并将其代入题目中，寻找它们之间存在的关系，从而建立函数或者方程，然后以解答函数或者方程的形式去解决问题.

（一）在三角函数问题中的应用

在三角函数的题型中，经常会涉及最值问题的求解，此时学生便可以利用题目中所给的条件来建立方程，并结合三角函数的性质去解题，提高解题效率.

例1 某一农场主打算在自己的矩形农场ABCD里放养牛群和羊群，为了防止牛群跟羊群混淆，现农场主将牛群放在矩形农场的左边（AD边）进行放养，将羊群放在矩形农场的右边（BC边）进行放养，把牛群跟羊群的运动轨迹比作图1中的AN，BM，而农场主住在矩形农场AB边的中点O点，农场主每天从家走到牛群，然后从牛群走到羊群，再从羊群走回家，行程路径正好是一个三角形，其中农场主从家走到牛群的路径和从羊群走回家的路径形成直角，如图1所示，已知AB=100米，BC=503米.

（1）设∠BOM=α，试将△OMN的周长L表示成α的函数关系式，并求出函数的定义域；

（2）农场主发现，自己每走一米路程，需要花费0.8秒，试问：当牛群和羊群在哪里时，农场主走一圈花费的时间最少？并求出最少时间.

分析 针对第（1）问，求△OMN的周长，需要分别计算OM，ON和MN的边长，然后将三者相加.又因为点M在边BC上，点N在边AD上，点N和点M是运动的，要考虑点N和点M运动的临界点，从而得到角α的范围，进而推算出函数的定义域.针对第（2）问，因为要求的花费时间最少，且行走路程均为匀速，即取△OMN的周长的最小值即可.

所以当BM=AN=50米时，花费时间最低，最少时间用为80（2+1）秒.

（二）在直线与圆的方程问题中的应用

在直线与圆的方程中，直线与圆之间存在着一定的关系，这些关系都可以作为学生构建方程或函数的条件.学生通过对未知线段进行设值，并且结合几何关系建立方程组并求解方程组，能够有效提高解题的正确率和速度.

例2 如图2所示，在平面直角坐标系中，有长方形ABCD，长方形ABCD对角线的交点为E（1，1），AB边所在直线的方程为x-y-2=0，点F（-3，1）在AD边所在直线上.

（1）求AD边所在直线的方程；

（2）求长方形ABCD外接圆的方程.

分析 针对第（1）问，由题干知直线AD经过点F，又因为直线AB⊥直线AD，直线AB的斜率题干中已给，所以就可以求出直线AD的斜率，将直线AD的斜率和经过点带入点斜式的方程中，便可以得到最终结果.针对第（2）问，首先，利用直线AD和直线AB相交于A点，得到A点的坐标，其次利用点E是长方形ABCD的中点，推导出E为长方形ABCD外接圆的圆心，则半径是线段AE的长，最后，利用圆的方程公式，计算矩形ABCD外接圆的方程.

（四）在等式、不等式方程组问题中的应用

在高中的许多数学问题中，经常会出现两个未知数，在这种情况下，我们就要学会列方程组解决问题.学生在面对方程组问题时，先要找出问题中的两个未知数，以及它们之间的关系，从而列方程组，化简求解，从而得到最终结果.

例4 胡经理到一个机器厂家去选购M，N两种型号的小型零件，若购买M型号零件60个，N种型号零件100个，需要700元；若购进M型号零件100个，N种型号零件50个，同样需要700元.

（1）求M，N两种型号的小型零件分别为多少元？

（2）若销售1个M型零件可获利3元，销售1个N型零件可获利2元，根据公司要求，购买的M型零件数量是购进N型零件数量的2倍少10个，且M型零件最多可买进80个，这些零件全部售出后，总获利不少于322元，有几种购买方案？胡经理该如何进货？

结 语

函数与方程思想是高中数学思想最基础的内容之一，它在高中数学解题中被广泛应用，学生学好函数与方程思想，便可以在高中的数学解题过程中利用题干中已知条件构建方程，并且通过求解方程解答问题.在日常的教学当中，教师在详细讲述解答题目的过程中，也要去掉一些不必要的过程，从而使题目的求解过程更加简单明了，这样有利于提高高中生的解题能力和解题效率，加深高中生对方程与函数思想的了解.

【参考文献】

[1]张凤丽.方程与函数思想在高中数学解题中的应用[J].中学数学教学参考，2022（27）：34-36.

[2]陆云仪.函数与方程思想在高中数学解題中的应用[J].数理天地（高中版），2022（17）：88-90.

[3]王秀娟.高中数学课堂教学的有效构建[J].新课程教学（电子版），2021（21）：50-51.