高中数学概率与统计模块中的数学文化分析

伍倩 董白英

【摘要】《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》要求在教材中融入数学文化元素展现数学的人文价值.文章主要对2019年普通高中教科书人教A版在概率与统计模块中融合数学文化的情况进行统计，分别从总体特征、栏目分布、类型分布三方面分析教材中数学文化的现状.并根据分析结果提出，高中数学教学应通过融入数学史、增加数学与人文艺术、添加数学游戏等途径进一步突出概率与统计模块中的数学文化，从而提高学生的文化素养和学习能力.

【关键词】高中数学教材；概率与统计；数学文化

【基金项目】宁夏自然科学基金项目（2021AAC03234）

一、背景

20世纪80年代国际知名数学家、教育家齐聚布达佩斯，举办了第六届全球数学教育大会，会议以“数学·教育·社会·文化”为主题.“数学文化”是世界各国教育研究者和教育工作者热议的话题，顾沛在《数学文化》一书中提出：数学文化是指数学的思想、精神、方法、观点以及数学的概念和思想方法在形成和发展中所体现的文化特征和文化价值.

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》多处强调数学文化的渗透，不仅仅提到“强调数学与生活及其他学科的联系，注重渗透数学文化”的基本理念，而且要求在编写教材时“融合数学文化和重视中国传统文化中的数学元素”.依据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》，教材内容分为六大模块，其中数学文化的相关内容以概率与统计模块占比最多.本文主要研究2019年普通高中教科书人教A版的概率与统计模块中数学文化分布情况，将从数学文化的总体分布情况、数学文化在各栏目的分布情况、教材中各类型数学文化的分布情况三方面进行统计分析.

二、概率与统计模块中数学文化的分布情况

（一）数学文化的总体分布

随着对数学文化的重视，在概率与统计模块中数学文化主要体现在数学史、现实生活中的数学问题、其他学科中的数学知识，其中着重以学生在学校或日常生活中所能接触的事物和活动为背景，如抽选学生参加活动、抛掷硬币、数学成绩分析、体育比赛等.教材中概率与统计模块知识点分布集中，以必修一和选修三为主.参考教材分布，概率与统计模块分为五部分内容：概率、统计、计数原理、随机变量与分布、成对的数据分析，统计数学文化在各部分内容中所占比例（见表1），在计数时同一个数学文化例子归为一处.

通过统计发现，数学文化在概率与统计模块的五部分内容中分布情况所占比重依次为：随机变量及分布>计数原理>概率>统计>成对的数据分析.其中统计、概率、成对的数据分析这三部分内容中的分布较为均匀，计数原理、随机变量及分布这两部分的数学文化内容较多，且五部分内容中所包含的数学文化主要通过生活中的数学问题培养学生的概率意识，体现数学的应用价值和文化价值.

（二）数学文化在各栏目中分布

教材中不同位置的数学文化，学生会收获不同的学习效果，所以应该根据教材中的具体位置分析数学文化.通过查阅新人教A版高中数学教科书的内容设置，将每内容分为四个栏目：引言（每章开始的那一页）、正文（思考、例题、探究）、拓展（旁注、数学探究、阅读与思考、统计案例）、习题（练习、习题、复习题）.对于同一个数学文化实例，计数时以详细介绍的位置作为计数标准，当在其余位置出现时不再重复计数.

教材中各个栏目都存在数学文化，在五部分内容中，使用条形图分别统计四个栏目中所包含的数学文化个数（见图2）.发现五部分内容的各栏目中数学文化分布情况基本一致，数学文化的个数排序依次为习题>正文>拓展>引言.在“正文”中，例题所包含的数学文化个数占主要篇幅.并且“正文”的例题和“习题”中都通过使用数学文化设置问题情境，用以巩固学生的學习收获.

不同栏目中所包含的数学文化数量也有所不同，通过饼状图统计各栏目所包含的数学文化个数所占比重（见图3）.

第一，“习题”包含的数学文化数量最多，共106处，占数学文化总量的50%.可见概率与统计模块中近一半的数学文化内容是通过“习题”进行呈现的，这是因为“习题”是巩固新知的主要途径，其本身是教材的重点；另一个方面，数学文化融入在“习题”中，可以通过创设情境辅助学生更好地理解数学问题.第二，“正文”包含数学文化个数共69处，占比33%，且“正文”中的数学文化元素主要以例题为主.例如，把程序问题融入例题之中，引导学生用数学的眼光看待计算机中如何选择执行路径的问题，加深学生对概率与统计的理解.第三，“拓展”包含数学文化个数共29处，占比14%.“拓展”中情境丰富，数学文化主要呈现在每章小结的阅读与思考.例如，以数学历史为背景，让学生了解统计学在军事中的应用，如二战时德国坦克总量的估计问题.第四，“引入”包含数学文化个数共8处，占比4%，是占比最少的栏目，甚至在统计与随机变量及分布两部分内容中未出现数学文化元素.该栏目内容通常以数学在日常生活中的应用为例介绍每章所学内容.

（三）数学文化的类型分布

概率与统计模块中不仅每一部分的数学文化数量分布不同，而且所包含数学文化的类型也有所不同.因此，根据教材中数学文化类型的不同，借鉴汪晓勤教授的分类方式，将教材中的数学文化分为数学与现实生活、数学与科学技术、数学与人文艺术和数学史四类.

概率与统计模块中的数学文化数量多且类型丰富，数学文化类型分布情况见表2.整个模块中数学文化个数共计221处，但是不同类型的数学文化在该模块中的分布不均衡，其中“数学史”“数学与人文艺术”占比最少.

第一，“数学与现实生活”所包含的内容非常多，包含了能接触或者常见的事物，例如家中日常、学校生活、职业选择、文娱活动等都是现实生活.由于“数学与现实生活”的相关内容更贴近学生生活，且易理解，能间接拓展学生的生活常识，所以所占篇幅较大，是概率与统计模块中数学文化内容总量的61%，超过了其他三种类型的总和.这个现象说明新教材更看重将学生容易接触到的素材作为数学文化实例，充分体现了《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》提出的“强调数学与生活以及其他学科的联系”的基本理念，同时也符合学生的身心发展规律及认知水平.

第二，科学技术不仅仅是指高科技、大数据，在概率与统计模块中包含的“数学与科学技术”有高新技术、天文、地理、生活、计算机等其他学科相关知识.“数学与科学技术”的数量比“数学与现实生活”少75处，所占比例为27%.当今社会处于大数据时代，科技推动社会发展，《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》也建议：引导学生认识数学在科学技术发展中的作用，实现信息技术与数学课程的深度融合.教材中融入相关的数学文化，以人工智能、信息技术应用为背景提出数学问题，甚至在“拓展”栏目中会直接给出运用信息技术解决某类数学问题的方法，可见教材也在不断顺应社会发展，紧跟时代潮流.

第三，概率与统计模块中包含的“数学史”主要包括数学家的介绍、数学定理与公式的发展及以历史事件为原型的数学应用.“数学史”的数量比“数学与现实生活”少121处，占全部数学文化总数的6%，和“数学与人文艺术”的数量大致相同，且大部分“数学史”出现在“拓展”栏目的阅读材料或旁注中.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》在教学建议中特别提到“引导学生了解数学的发展历程”，通过在教材中融入数学史，让学生了解数学的发展历程，将大量的数学史料经过一定的“加工”融入新教材的方式是落实课标教学要求的最快途径.因此，教材中所包含的“数学史”的数量不足，距离课标要求还有一定差距.

第四，“数学与人文艺术”在概率与统计模块的数量最少，仅占5%.这说明教材在“数学与人文艺术”上融入过少.在统计“数学与人文艺术”数量时，数学公式、符号、严谨的证明、几何图形等都属于数学与人文艺术范畴，体现数学的美学价值.

三、结论与建议

（一）结论

在分布数量方面，高中教材的概率与统计模块所包含的数学文化数量较多，且其五部分内容中数学文化的数量分布比较均衡，各部分中各种类型的数学文化均有涉及.其中，计数原理部分的“习题”中所包含的数学文化数量最多，且类型主要以“数学与现实生活”为主，这说明计数原理部分与数学文化融入得更为紧密.

在各栏目中，数学文化分布并不均衡.在“正文”和“习题”占比共达83%，且数学文化都是作为问题情境设置的.例如，生活常见的气温变化规律、降雨量等数学问题，运用概率与统计知识解释自然现象.在“引言”和“拓展”出现较少，仅有17%，且主要以阅读材料形式呈现.例如杨辉三角、孟德尔遗传规律，不仅培养学生数学阅读能力，而且让学生了解相关历史背景.

从数学文化类型分布来看，“数学与现实生活”数量最多，占比61%，以“数学与人文艺术”最少.这说明教材注重学生与现实生活的联系，以现实生活情景作为融入数学文化的载体有利于学生接受和理解，也能够使学生深刻了解到数学文化对解决现实问题的巨大作用.

（二）建议

概率与统计是高中数学教材中五个模块之一，在教学中将概率统计与数学文化进行合理融合，能激发学生主动思考，更有助于突破概率与统计模块中的难点.但是，数学文化的融入给教学增加了难度，因此本文结合教材给出以下教学建议.

教学中适当融入数学史.在课堂上赋予数学更多的人文色彩，能启发学生学习灵感，促进学生了解数学背景.如将概率与统计学发展中的一些大事件、主要人物以及重大研究成果等都纳入教学中.概率与统计学中的每个概念、定理都有各自的背景故事，通过适当介绍其中精华片断，有助于学生开阔眼界，扩大知识面，从而培养其思维和创造能力.在运用数学史时，可以把德育、数学教育和数学文化进行融合，数学史中关于数学家们对知识的艰苦探索是很好的德育内容，以丰富的情感带领学生学习，使学生身临其境，以便起到良好的德育教育效果.

教学中增加数学与人文艺术.一方面，根据学生不同阶段的身心发展特点，采用多种多样的案例进行教学，能使学生将所学的概率统计知识与生活经验相对照，理解概率与统计在生活中的重要用途；另一方面，教学中要注重引导学生发现生活中的数学美.例如函数表达式中包含了简约美，通过不同函数可以画出美轮美奂的图案；再如车牌号码中字母所代表的含义等，这些都可以激发学生的探索兴趣.

教学中适当添加数学游戏.概率与统计中除了大量的学科知识外，还包含了丰富的数学思想.在教学过程中，可以通过数学游戏有效提高学生的思维逻辑和解决问题的能力.数学游戏属于数学文化的重要组成部分之一，在教材中也多次呈现，例如骰子模型计算概率、纸牌游戏、莫比乌斯带等.游戏在課堂中不仅能快速的激发学生思考，也能调动学生学习的积极性.

文章主要对2019年普通高中教科书人教A版在概率与统计模块中融合数学文化的情况进行统计，分别从总体特征、栏目分布、类型分布三方面分析了数学文化的融入现状.分析结果显示，教材中数学文化的数量在不同部分、不同栏目中分布存在差异，且数学文化类型各有不同.根据分析结果，提出在高中数学教学中通过融入数学史、增加数学与人文艺术、添加数学游戏等途径进一步突出概率与统计模块中的数学文化元素，从而提高对学生数学文化素养的培养质量.

【参考文献】

[1]顾沛.数学文化[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[S].北京：人民教育出版社，2020.

[3]刘静宇.高中概率统计教学中培养学生数学建模素养的研究[D].山东师范大学，2020.

[4]汪晓勤.主要国家高中数学教材中的数学文化[J].中学数学月刊，2011（05）：50.