四次Wang-Ball曲线的区间扩展

张丹丹

(安徽开放大学安庆分校,安徽 安庆 246001)

0 引言

在计算机辅助几何设计(CAGD)中,随着几何造型设计的发展,Bézier曲线、B样条曲线等传统曲线得到广泛应用.Ball曲线[1-3]最早由英国数学家BALL在CONSURF机身曲面造型中提出.Ball曲线曲面具有 Bézier曲线曲面的一些几何特性,如凸包性、保形性等.因此在造型设计中,Ball曲线应用广泛,其中,王国谨与SAID将Ball曲线推广到高次曲线,将其命名为Wang-Ball曲线[4]与Said-Ball曲线[5]. 邬弘毅[6]提出了两种广义的Ball曲线,为分别介于王国谨、SAID的广义Ball曲线和Bézier、Said曲线之间,并给出了升阶公式和递推算法.王成伟[7]和严兰兰[8]对三次Ball曲线进行扩展,通过增加t的次数,引入形状参数,并证明了该方法的有效性.严兰兰[9-10]构造了两种带一个参数的曲线,为分别介于四次、五次Wang-Ball和Said-Ball曲线之间,以及四次、五次Said-Ball和Bézier曲线之间的中间曲线.刘华勇[11]和王成伟[12]介绍了带两个参数的四次、五次Ball曲线,曲线的形状具有更强的表现力.李军成等[13]讨论了三次Ball曲线的扩展,并扩展到了任意的n次Ball曲线.胡国胜等[14]构造了带参数的2m+2次Ball曲线,其具有Said-Ball曲线的基本性质,并给出了应用实例.

本文在传统四次Wang-Ball基函数的基础上,将定义区间由[0,1]扩展到动态区间[0,α],通过引入参数α,对曲线的形状进行调整.

1 四次α-Wang-Ball基函数的构造

传统四次Wang-Ball基函数表示为

(1)

其中,0≤t≤1.

在端点处满足:

现将式(1)中t的取值区间[0,1]变为动态区间[0,α], 0<α≤ 1,这样就构造了一组带参数的四次Wang-Ball基函数.设新的四次Wang-Ball基函数为

(B0,4B1,4B2,4B3,4B4,4)=(1tt2t3t4)C,

(2)

其中,0≤t≤ 1, 0<α≤ 1,C为一个待定的4×4矩阵.

对式(2)两边求导得到

使构造的新的四次Wang-Ball基函数与传统的四次Wang-Ball曲线具有相同的端点性质,即

可得

由基函数的权性得到

B0,4(t)+B1,4(t)+B2,4(t)+B3,4(t)+B4,4(t)=1.

(3)

则有

由式(3)可得方程组:

由非负性Bi,4(t)≥0 (i=0,1,2,3,4)可得

(4)

对于式(4),令t=αω(0≤ω≤1, 0<α≤1),整理后得到如下定义.

定义1 对于0≤ω≤1, 0<α≤1,称关于变量ω的函数

(5)

为带参数α的四次Wang-Ball基函数,简称为四次α-Wang-Ball基函数.

α取不同参数值0.3、0.5、0.8、1.0时的α-Wang-Ball基函数图像如图1所示.

(a)α=0.3

该基函数具有以下性质:

(ii)非负性:Bi,4(ω)≥0,i=0,1,2,3,4.

(iii)端点性质:

(6)

(iv)对称性:Bi,4(ω)=B4-i,4(1-ω),i=0,1,2,3,4.

(v)单调性:当变量ω(0≤ω≤1)固定时,对α求导,可得B0,4(ω)与B4,4(ω)是关于α的减函数,B1,4(ω)、B2,4(ω)与B3,4(ω)是关于α的增函数.

证明 (i)由式(5)可得

(ii)当0≤ω≤1, 0<α≤1时,有

B0,4(ω)≥0,B1,4(ω)≥0,B2,4(ω)≥0,B3,4(ω)≥0,B4,4(ω)≥0.

(iii)对变量ω进行求导,其一阶导数为

由此,可得端点性质的(6)式.

(iv)B0,4(ω)=B4,4(1-ω),B1,4=B3,4(1-ω),因此,Bi,4(ω)=B4-i,4(1-ω),i=0,1,2,3,4.

(v)变量ω固定,对α进行求导,得到

因此,B0,4(ω)与B4,4(ω)是关于α的减函数,B1,4(ω)、B2,4(ω)与B3,4(ω)是关于α的增函数.

2 带形状参数的四次α-Wang-Ball曲线

定义2 当0≤ω≤1, 0<α≤1时,对于给定的控制定点pi∈Rd(i=0,1,2,3,4,d=2,3),曲线

称为四次α-Wang-Ball曲线.其中Bi,4(ω)为式(4)中定义的基函数.

该曲线有以下性质:

(i)端点性质:S(0)=p0,S(1)=p4,S′(0)=2α(p1-p0),S′(1)=2α(p4-p3).

(iii)退化性:当ω=1时,该曲线退化为传统四次Wang-Ball曲线.

(iv)形状可调性:当形状参数α取不同值时,四次α-Wang-Ball曲线在控制顶点不变的情况下能够对形状进行灵活调整.

图2 给出了α取不同值时的四次α-Wang-Ball曲线,α=0.5时为虚线,α=0.8时为实线,α=1时为点线.

(a)开曲线

3 带参数的四次α-Wang-Ball曲线间拼接

设两条四次α-Wang-Ball曲线分别为

其中,p0、p1、p2、p3、p4为曲线S1(ω)的控制顶点,r0、r1、r2、r3、r4为曲线S2(ω)的控制顶点,曲线S1(ω)、S2(ω)的形状参数分别为α1、α2.

定理1 若0≤ω≤1, 0<α1≤1, 0<α2≤1,两条四次α-Wang-Ball曲线满足:

(7)

则两条曲线G1连续.

证明 由式(5)可得

若两曲线G1连续,则

定理2 若0≤ω≤1, 0<α1≤1, 0<α2≤1,两条四次α-Wang-Ball曲线满足:

(8)

则两条曲线满足G2连续.

证明S′1(1)=2α1(p4-p3),S′2(0)=2α2(r1-r0),

S″1(1)=2(-4+5α1)p4-12α1p3+4(1+α1)p2+2(2-α1)p0,

S″2(0)=2(-4+5α2)r0-12α2r1+4(1+α2)r2+2(2-α2)r4.

若两曲线满足G2连续,则S2(0)=S1(1),S′2(0)=δS′1(1),S″2(0)=δ2S″1(1)+τS′1(1).

2(-4+5α2)r0-12α2r1+4(1+α2)r2+2(2-α2)r4=

δ2(2(-4+5α1)p4-12α1p3+4(1+α1)p2+

2(2-α1)p0)+2τα1(p4-p3).

当满足式(8)时,两条曲线G2连续.

图3 两曲线G1连续

图4 两曲线G2连续

4 结语

为了构造形状可改变的Wang-Ball曲线,将四次Wang-Ball基函数定义区间由[0,1]扩展到动态区间[0,α],构造新的带参数的Wang-Ball曲线,通过改变参数α值可对曲线形状进行改变.下一步工作可以将该曲线推广到曲面形式,探索更高级的Ball扩展形式.