多元表征与整合教学，促进深度学习真正发生——以“乘法分配律”为例谈运算律教学策略

王翠丽 赵 一 （辽宁省葫芦岛市第二实验小学）

乘法分配律是小学阶段学生需要掌握的五个运算定律之一，具有重要的地位和作用。它沟通了乘除法与加减法之间的联系，是小学数学中唯一沟通两级运算的运算规律；它不仅适用于整数的加法和乘法运算，还适用于有理数的加法和乘法运算，在实数甚至复数的加法和乘法运算中仍然成立。运用乘法分配律可以解决较为复杂的简便运算，解释和推导其他的运算法则和数学公式。乘法分配律与加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律被誉为“数学大厦的基石”。但笔者通过对本校学生调研发现，4 ～6 年级学生对乘法分配律的掌握情况并不理想。基于学生对乘法分配律这一数学模型理解不透彻而导致错误频发的现状，笔者认为要解决这一问题，不能要求学生仅凭一节数学课就能完成对乘法分配律的学习，而是需要从多维度、多层次持续发力，助力学生真正理解乘法分配律的本质和内涵，建立数学模型，从而解决实际问题。

一、深耕“种子课”，通过多元表征，夯实运算律教学

“种子课”是承载数学知识技能、数学思想方法和数学核心素养的关键课。乘法分配律作为五大运算定律之一，它的新授课即为这部分内容的“种子课”。因此，深耕“种子课”，对助力学生理解算理尤为重要。

关于乘法分配律的常规教学，教师通常会通过一个具体实例引导学生用两种方法解决问题，借助情境理解算法表示的意义，再通过不完全归纳法引导学生找出不同算式的共同本质特征，从而归纳概括乘法分配律，建立数学模型。笔者认为，这样的教学设计只关注结构特征，是模仿性学习，导致学生对乘法分配律的本质只是浅层理解，后续会在解决问题的过程中暴露很多问题。

美国教育心理学家布鲁纳曾提出学习有三种表征方式：动作的、形象的和符号的。基于布鲁纳的观点，为了夯实乘法分配律教学，引导学生真正理解算理，笔者认为通过多元表征，充分利用学生的已有经验，强调形式归纳与意义理解相结合来完成乘法分配律的教学，才能促使深度学习真正发生。基于此，笔者在乘法分配律的“种子课”教学中设计了数方格、拼方格、画方格、连方格和拆方格的系列活动，以多元表征的学习方式促进学生对乘法分配律运算关系的理解，使学生从浅层理解走向深度建构。

活动1：数方格。

笔者出示如图1 所示的方格（4 行6 列），让学生数一数共有多少个小方格。基于之前学过的知识内容，学生会顺利得出4×6=24，即共有24 个小方格。这样设计的目的在于引导学生复习乘法的意义，为后续学习作铺垫。

图1

活动2：拼方格。

笔者出示如图2 所示的两个方格，引导学生观察这两个方格的特点并提出要求：把两个方格组合成一个大方格，并计算大方格一共有多少个小方格。学生动手操作，将两个方格组合成如图3 所示的大方格后列式计算，求出小方格的数量。有的学生列出算式5×3+5×4；有的学生列出算式5×7；还有的学生列出算式5×(3+4)。学生思维活跃，想出了不同的计算方法，笔者予以肯定并让他们说明理由。

图2

图3

这样的设计通过“数”与“形”相结合的方式借助动作表征、形象表征和语义表征，为学生搭建了理解的桥梁，使他们知道乘法分配律的本质就是a个c加b个c，合起来就是( )a+b个c，为初步理解乘法分配律作铺垫。

活动3：画方格，连方格。

经历前两项活动后，学生探究热情高涨。笔者将活动难度升级，带领学生玩起了连连看的游戏。先让学生在方格纸上用小方格任意画出一个大方格（每边最多不超过9），然后引导学生用几乘几的算式表示出大方格的面积，写在记录单上。在学生完成任务后，笔者将各式各样、有代表性的作品张贴到黑板上，带领大家玩连连看的游戏。如图4，笔者先挑选一个4×3的方格，取名为“四三方格”，引导学生观察刚刚大家画出的哪些作品可以与这个“四三方格”连接成更大的方格。

图4

如图5，学生找出了可以连接的方格有“四六方格”（4×6）、“三五方格”（3×5）、“七三方格”（7×3）等。笔者追问：为什么这些方格可以连在一起？这其中有什么规律呢？学生很快发现这些方格的一边是3或者4，可以与“四三方格”连接。接下来，笔者引导学生观察那些不能连接起来的方格，思考它们为什么不能与“四三方格”连接在一起。学生用画出的方格演示，发现这些方格的一边既没有3，也没有4，便不能连接。

图5

接着，笔者继续启发学生思考，引发学生的高阶思维：按照连接方式的不同，你能把连在一起的方格分类吗？学生经过讨论后得出可以分成两类：一类是与一边是3连接的，一类是与一边是4连接的。笔者补充：其实还可以分为一类，就是既能与一边是3连接，又能与一边是4连接的，也就是3×4和3×4连接，这是一种特殊情况。以上活动通过让学生连接和分类方格，强调形式归纳与意义理解相结合，加深对乘法分配律算理的理解，达成深度学习。

活动4：拆方格。

笔者出示一个大方格，启发学生：如果把“七六方格”（7×6）拆分成两个小方格，你想怎么分？学生在小组内交流自己的拆分方法，得出以下几种分法：7×2和7×4；3×6和4×6；7×3和7×3。接下来，笔者引导学生对以上拆分方法进行分类。学生归纳出两种方法：一种是拆分“7”；另一种是拆分“6”。针对乘法分配律除了由分到合，还需要逆向思考由合到分的情况，笔者设计了拆分方格的环节，引导学生在每一次操作之后对方法进行分类，培养了学生的归纳总结能力，发展了学生的推理意识。

接下来的归纳过程水到渠成。通过经历上面的活动，学生充分感知、深入理解，紧紧抓住乘法分配律内在不变的“理”，理解外在变化的“形”。根据活动总结出一系列算式，通过不完全归纳法抽象概括出乘法分配律：(a±b)·c=a·c±b·c。

布鲁纳提倡在教学中使用直觉思维和发现法引导学生自己去发现。教师要要求学生像数学家那样思考数学，像历史学家那样思考历史，亲自去发现结论和规律，使自己成为一个发现者。本节课中，笔者引导学生利用数形结合的方法理解抽象的算理，通过动作表征、形象表征、语义表征等方式，使方格连接中蕴含的知识结构与运算关系越来越清晰而具体，易于学生理解和建构，突破了运算律教学的难点。

二、设计“整合课”，构建知识体系，促使深度学习发生

根据多年的教学经验，笔者发现学生对乘法分配律的教学内容不能单凭几节课的教学就可以达成教学目标。学生的学习是一个不断领悟和内化的过程。关于乘法分配律的学习，可以从二、三年级开始适当体现，到了四年级再进行系统归纳，以运算律为主线贯穿各种运算规则，从而构建运算律知识体系。这就是布鲁纳说的“结构思想”。深度学习也主张从知识点教学走向知识结构教学。为此，在后续的教学中，笔者继续挖掘教学资源，引领学生深入探索，直至学生能灵活运用乘法分配律解决问题。

基于乘法分配律的广泛应用，在六年级的复习课中笔者设计了运算律教学“整合课”，运用结构化的教学思想夯实算理教学，取得了较好的教学效果。在这节课中，笔者先创设了如下具体生活情境：妈妈每天要买一盒牛奶和一个面包，每盒牛奶3.5元，每个面包6.5元。妈妈每周买这些食品一共要花多少钱？有的学生列出算式3.5×7+6.5×7=70，有的学生列出算式( 3.5+6.5) ×7=70，得出一共需要花70 元。学生通过对比发现使用第二种方法计算更简便。这个情境的创设旨在让学生复习乘法分配律的相关知识。接下来，笔者引导学生回顾、思考在解决哪些数学问题时用到了乘法分配律。学生比较容易想到的是做简便运算时用到乘法分配律，学生列举出99×35=(1 00-1) ×35=100×35-1×35=3 465，45×19.8+55×19.8=( 45+55) ×19.8=1 980。这只是浅层次的应用。随后，笔者结合具体实例进一步启发学生思考还有哪些知识运用到了乘法分配律。笔者出示一个长方形，带领学生回顾其周长公式的推导过程，即长方形周长= 长× 2+ 宽×2=（长+宽）×2，这是典型的运用乘法分配律知识解决问题的过程。这样的实例打开了学生的思维，教师再结合刚才的范例提出自学要求，让学生以小组为单位开展合作学习，对已经学过的知识进行系统梳理，找到应用乘法分配律知识解决的问题的路径，并用实例加以说明。

学生经过充分讨论、探究，得出以下知识运用了乘法分配律。例如，口算乘法：28×6=( 20+8) ×6=20×6+8×6=120+48=168，这个计算过程运用了乘法分配律。笔算乘法：计算43×26，第一次乘得的积43×6=258，第二次乘得的积43×20=860，把两次结果相加，即258 + 860 = 1 118，运用了乘法分配律。小数乘法：列竖式计算4.8×1.2 时，先计算4.8×0.2，再计算4.8 × 1.0，最后把两次乘得的积加起来，这个过程也运用了乘法分配律。梯形面积的推导过程：a×h÷2+b×h÷2=(a+b) ×h÷2 运用了乘法分配律。圆环面积：在利用公式πR2-πr2=π(R2-r2)计算圆环面积时，学生发现运用乘法分配律使计算更简便。解方程：求5x-2x=30方程的解时，由( 5 -2)x=30，3x=30，得x=10，运用的还是乘法分配律。除了以上内容，解决扇环面积、圆柱形钢管的体积等问题时都需要运用乘法分配律。

接下来，笔者引导学生对探究内容进行分类：求梯形面积、圆环面积、扇环面积、圆柱形钢管体积属于“图形与几何”领域内容；口算乘法、笔算乘法、小数乘法、解方程属于“数与代数”领域内容。通过条分缕析地归类，使学生从一节一节的课时教学中跳出来，掌握核心知识，让学生透过知识的“不同”看到知识之间的“相同”，进而把逻辑联系紧密、零散的知识恰当地整合，突出知识的本质。这样的教学设计也彰显了《义务教育数学课程标准（2022 年版）》所倡导的“注重教学内容的结构化”理念。在解决问题的基础上，再次抽象出乘法分配律的数学模型，完成知识体系的构建。运用乘法分配律可以突破单元界限、模块界限和领域界限，将表面看起来不相关的知识进行巧妙关联，搭建起完整的、纵横交错的知识网。

关于深度学习之深度，相关研究指出，“深”在学生参与，倡导主动、积极；“深”在课程内容，倡导“知其所以然”；“深”在学习任务，倡导挑战性、高投入；“深”在学习过程，倡导问题解决、知识运用于创新；“深”在学习结果走向批判、创造等高阶思维，或整合认知与非认知的割裂，发展情感态度与价值观。以上笔者尝试的教学设计，从学习内容、参与方式和学习过程方面都达成了深度学习，使学生在深度学习中构建知识网络，促进对乘法分配律的进一步理解。

任何外在的教学形式都应该为理解数学本质服务。运用多元表征深刻理解和掌握乘法分配律，巧妙设计“整合课”构建知识体系，引领学生真正理解算理，建构数学模型，使深度学习真实发生，助力学生数学核心素养的发展。