培养高中生数学运算能力的课堂教学策略之我见

张春丽

摘要：数学运算是高中数学学科的六大核心素养之一，是学生数学学习能力的重要组成部分，运算能力影响到学生的数学学习质量，只有提高高中生的数学运算能力，才能让他们在数学学习中立于不败之地.多年的教学实践经验告诉我，要培养高中生的数学运算能力，加强对数学运算能力的引导，必须从课堂教学抓起。

关键词：高中数学 运算能力 课堂教学 策略

《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养，是解决数学问题的基本手段.主要表现为：理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、选择运算方法、求得运算结果。然而大部分高中生的数学运算能力并不成熟，因此教师在课堂教学中要更加重视对学生数学运算能力的培养，提升学生的计算能力。

一、重视概念教学，夯实运算根基

数学概念是一切运算的基础，是分析数学问题和解决数学问题的依据和准则。高中数学的一些概念比较抽象，所以在课堂教学中，教师要更加注重概念的形成过程，引导学生在课堂上积极探究，加深对教材中基本概念本质的理解。例如，教师在讲函数的概念时，可以从生活中的几个实际问题入手，引导学生将实际问题抽象成函数模型，进一步引导学生分组讨论，探究几个函数具备的共同特征：（一）A、B两集合不能为空集；（二）A、B两集合中的元素必须是确定的实数，不能是字母或文字；（三）必须有确定的对应关系f，对应关系可以是文字语言，也可以是图象语言、表格或者解析式等；（四）对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，即元素之间的对应关系可以是一对一，也可以是多对一，但是绝对不可一对多；（五）集合A为函数的定义域，而函数的值域是集合B的子集.如果以上条件都满足，那么我们就称f：A→B为从集合A到集合B的函数。这样一来，学生就可以理解性记忆，而非死记硬背函数的概念，这既可以调动学生学习的积极性和主动性，培养学生对数学运算的兴趣，又可以加深对函数概念的理解。

二、加强学生对公式，法则等的记忆

高中数学的公式和法则特别多，教师需要学生强化记忆常用常考的公式、法则，公理定理等。对于一些有规律可循的公式和法则，教师可以借助一些口诀或顺口溜来强化学生的记忆。比如诱导公式，当角度为[kπ2±α，k∈z] 时，有十字口诀“奇变偶不变，符号看象限”，值得注意的是，这里的角α不是锐角也要看成锐角，只要学生能熟练掌握口诀，在解决三角函数的求值、化简和证明等问题就会得心应手。又如两角和与两角差的正余弦公式，也可以利用口诀来记忆，对于正弦公式[sin（A±B）=sinAcosB±cosAsinB]，可以简记为“正余余正符号同”，正余余正分别代表第一个角的正弦、第二个角的余弦和第一个角[[f（x）g（x）]=f（x）g（x）-g（x）f（x）[g（x）]2]的余弦、第二个角的正弦，符号与等式左边的相同；对于余弦公式[cos（A±B）=cosAcosB?sinAsinB]，可以简记为“余余正正符号反”。如果学生能掌握好这两个公式，那么二倍角公式和半角公式就不再容易记错了。再如导数的四则运算，对于加减运算[[f（x）±g（x）]=f（x）±g（x）]，可以记为“各自求导后再相加减”；对于乘法运算[[f（x）g（x）]=f（x）g（x）+g（x）f（x）]，可以记为“轮流求导之后再求和”；对于除法运算，可以记为“上导乘下，下导乘上，差比下方”，这里的上、下分别指分子、分母。

三、加强运算技巧的指导

加强学生运算技巧的指导，既能提高学生解题的速度，也能提高解题的准确度。在教学过程中，教师要教授一些常见的选择题的解题技巧，例如特值法，排除法、数形结合法、估算法、验证法等。

例如：（2022·新高考Ⅰ卷）若集合M={x|[x]<4}，N={x|3x≥1}，则M∩N等于（）

A.{x|0≤x<2} B.{x|[13]≤x<2}

C.{x|3≤x<16} D.{x|[13]≤x<16}

观察4个选项发现前三项都不包含2，D选项有包含2，可以选择特值法，不妨取特殊值x=2，则2∈M，2∈N，所以2∈（M∩N），排除A，B，C；直接选答案D。

又如： 若不等式2ax2+ax-[38]<0对一切实数x都成立，则a的取值范围为（）

A.（-3，0）B.[-3，0）C.[-3，0]D.（-3，0]

对于这样的题目，可以采用排除法，将区间的两个端点值-3和0代入原不等式，如果满足就取闭区间，如果不满足就取开区间。

四、加强运算技能的培养

学生在熟练掌握基础知识后，能够灵活运用它们才是真正的学会，所以教师在讲授过程中，务必要加强对学生运算技能和运算技巧的指导，做到有的放矢，才能有效提高学生的运算速度，促进数学运算能力的发展。

（一）一题多解，发散思维

一题多解即根据不同的思路或方法，从不同的角度解题，以锻炼学生的思维灵活性，培养创新思维，一题多解有助于培养学生分析问题的能力，提高学生解题的灵活性，开阔解题思路。

例如：若对任意的x∈[-1，2]，都有[x2-2x+a≤0]（a为常数），则a的取值范围是（）

A.（-∞，-3] B.（-∞，0]

C.[1，+∞） D.（-∞，1]

这是关于一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题，我们可以利用以下两种方法进行求解：（1）最值轉化法：若f（x）>0在x∈[-1，2]上恒成立，则函数y=f（x）在x∈[-1，2]上的最小值大于0，这样就顺利将不等式中的含参问题直接转化为求二次函数在区间上的最值问题。

方法一 令f（x）=x2-2x+a，则由题意，

得[f-1=-12-2×-1+a≤0，f2=22-2×2+a≤0，]解得a≤-3.故选A。

分离参数转化为函数的值域问题，即已知函数f（x）的值域为[m，n]，则对于a≤f（x）恒成立的问题，可转化为a小于等于f（x）的最小值m，即a≤m；而对于a≥f（x）恒成立的问题，可转化为a大于等于f（x）的最大值n，即a≥n。

方法二 当x∈[-1，2]时，不等式x2-2x+a≤0恒成立等价于a≤-x2+2x恒成立，

则由题意，得a≤（-x2+2x）min（x∈[-1，2]）.而-x2+2x=-（x-1）2+1，则当x=-1时，

（-x2+2x）min=-3，所以a≤-3，故选A。

（二）一题多变，触类旁通

一题多变是指经过联想、类比等方式，得到新问题或结论。

例题：已知正实数a，b满足a+b=2，求[4b]+[1a]的最小值。

我们可以通过将已知等式的两边同时除以2，使得等号的右边常数1，再用常值代换法求得最值。

[变式1：已知a>0，b>0，4a+b=ab，求a+b的最小值。]

变式1中已知等式的右边虽然不是常数，但是我们也可以两边同时除以ab，使得等式得右边为常数1，然后同样利用常值代换法求出最值。

变式2：已知正实数a，b满足a+b=2，求[4b+1]+[1a+1]的最小值。

变式2与已知的条件虽然相同，但是要求解的代数式不同，根据分析我们可以发现，可以采用配凑法中的凑项，实现结构互倒，从而求出最值。

变式3：已知正实数a，b满足a+b=2，求（1+[1a]）（1+[1b]）的最小值。

变式3直接看看不出，但是如果把（1+[1a]）（1+[1b]）展开后通分就可以直接利用基本不等式求解了。

变式4：正实数a，b满足a+b=ab-1，求a+b的最小值。

变式4与变式1不同，用上面的方法全都行不通，但是如果用代入消元就不一样了，将双元变量问题转化为单元变量问题之后，一切都迎刃而解了。

在教学过程中，教师也可以鼓励学生自己改编题目，由一个问题进行变式而形成一个问题链，这样可以使学生通过解一道题而会解一类题，掌握解题的通性通法，也更有助于培养学生的解题技能，加深对问题的理解。同时也让学生明白不管条件或结论怎么改变，只要抓住本质和核心，同时发散思维，举一反三，所有的问题都将不再是问题。

五、注重数学思想的渗透

数学思想是数学中最本质的东西，同样也是高中数学学科六大核心素养之一，是数学的灵魂。常见的数学思想包括函数的思想、化归思想、数形结合思想，方程思想、分类讨论的思想等.在教学过程中，在学生掌握了基础知识的基础上，教师要注重对数学思想的指导，在例题教学中渗透数学思想。基本的数学思想方法是学生运算能力发展的基础，对数学运算能力的发展起着至关重要的作用，比如，运用数形结合的数学思想，我们可以实现繁琐的代数问题与直观的几何问题的转化，使得运算难度降低的同时，也提高了学生运算的速度和准确度。例如：对于任意实数a，b，定义min{a，b}=[a，a≤b，b，a>b.]设函数f（x）=-x+3，g（x）=log2x，求函数h（x）=min{f（x），g（x）}的最大值是多少。

解析：直接看这道题目，很多学生可能会无从下手，但是如果利用函数图象问题就会变得非常简单。如图，在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象，依题意，h（x）的图象如图实线部分所示.易知点A（2，1）为图象的最高点，因此h（x）的最大值为h（2）=1。

[O][x][y][A][y=h（x）][3][2][3]

本题若是没有树立数形结合解题的意识，思维很难打开，因为如果学生的思路不清晰的话，在解题过程中很容易被题意给绕进去。事实上，图象一呈现，答案就一目了然了，可见数形结合的数学思想对于解题是非常重要的，尤其是解有关函数的单调性，参数的取值范围，值域等知识点上，用得特别多，也特别好用。所以教师在课堂教学中一定要渗透数形结合的数学思想，让学生要牢记一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数这几类基本初等函数的图象和性质，促使学生巧妙地进行数学运算，培养和提高学生的数学运算能力。

六、引导学生总结、反思

归纳总结是对解题思路、解题方法、解题技巧的提炼过程，教师在教学过程中要及时引导学生归纳解题思路，方法、技巧和解题规律，提升学生的数学运算能力。

反思就是学生在解完题目之后对整个思考过程、解答过程的回顾与分析，反思是一个深入思考、反复探究、自我调整的一个过程，也可以达到检验的目的。教师在教学过程中要引导学生解完题后，要认真回顧自己在解题过程中的每一步思考，有没有知识点的错误、方法是否选对、计算是否正确，也可以与同学的解题过程和老师的讲解进行对比，发现问题并解决问题，这样可以加深对知识、解题思路、解题方法的掌握，是一种学会学习能力的培养。