源于教材连接生活场景 聚焦思维指向素养形成——以综合与实践课“有趣的杠杆”为例

江苏江阴市璜塘实验小学 （214407） 李 荣

积累数学活动经验、培养学生应用意识和创新意识是数学课程的重要目标，数学活动经验的积累是学生数学素养提高的重要标志。综合与实践是实现这些目标的重要、有效的载体。

《义务教育数学课程标准（2022 版）》明确指出：综合与实践是小学数学学习的重要领域。综合与实践通过引导学生在真实情境中发现问题和提出问题，并将其转化为合理的数学问题，运用数学和其他学科的知识与方法，经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，感悟数学知识之间、数学知识与其他学科知识之间、数学、科学技术与社会生活之间的联系，是促进学生思维发展、核心素养形成的极佳平台。

作为数学教育课程开发研究的热点和焦点，开展综合与实践的教学时，选择恰当的问题，使学生能充分、自主地参与活动是关键。一直以来，课程标准都要求教师提高课程意识，提倡教师研制、开发出更多适合本地学生特点、有利于综合与实践课程目标实现的好问题，弥补教材编排中此类课程内容篇幅较少、支撑不足的缺憾，化解一线教师执行层面的痛点和难点。笔者立足于“课程育人”的思想，扎根教材而又“跳”出文本局限，指向学生数学学科核心素养的发展，设计了“有趣的杠杆”一课，旨在为此类课程的开发提供实践层面的参考与范例。

一、教学目标设定与内容设计

“有趣的杠杆”（在人教版教材中是六年级下册综合与实践“有趣的平衡”）是苏教版教材六年级下册（学生完成正比例、反比例知识的学习后）的一个“动手做”活动，也是义务教育教科书《数学实验手册》六年级下册内容。笔者旨在通过观察、猜测、操作、归纳、类比、证明等数学活动，让学生初步感知杠杆原理，发展推理能力，进一步体验正比例关系、反比例关系在生活中的应用。具体来讲，本课包含三个学习目标：①借助数学实验，探索并发现杠杆平衡的条件；②经历杠杆原理的探索过程，感受归纳、分层构建等数学思想；③紧密联系生活，感受杠杆原理在生活中的应用，体会数学的应用价值。

为了有效地将学生带入情境、激发学生兴趣、促使学生积极思考，教师借助杆秤这一古老工具，创设研究杆秤工作原理的学习情境，并开展了课前研究和课后实践，满足综合与实践课程沉浸式的课堂体验需求。

围绕“杆秤”这一主题，笔者从了解杆秤、研究杆秤、制作杆秤三个维度，设置了以下问题及任务（如图1）。

图1

二、教学过程实施与意图解读

1.激趣导入，初识杠杆特点

师：杆秤是中国人的一大发明，体现了中国人的智慧，堪称“国粹”。杆秤发明、使用至今已有2000 多年的历史，现如今在一些场合仍然使用杆秤。课前已经让大家通过上网查阅或向长辈打听一些杆秤的知识，并学习用杆秤称量了一些物体的质量。大家在学习使用杆秤的过程中，有没有想过“杆秤的工作原理是什么”“怎样制作一把杆秤”这些问题？今天，我们就一起走进有趣的杠杆世界，了解最古老的衡具——杆秤中的奥秘。

【设计意图：将杠杆原理的学习与杆秤有效融合，引导学生用数学的眼光观察现实世界。资料的搜集、学习，以及杆秤的使用，这些前置活动丰富了学生对“生活数学”的体验，增加了课堂的趣味性和增强了学生学习的积极性。】

2.分层建构，探索杠杆原理

师（出示并简单介绍杠杆）：如果在杠杆左侧第四个孔位挂2颗珠子，会发生什么？

生1：会发生倾斜，挂珠子的这边会被压下来。

师：为了使杠杆继续保持平衡，杠杆右侧第二个孔位应挂多少颗这样的珠子？

生2：杠杆右侧第二个孔位也应该挂2颗珠子，这样杠杆就能保持平衡了。

生3：杠杆右侧第二个孔位应该挂4颗珠子，这样杠杆就能保持平衡。

生4：我觉得杠杆右侧第二个孔位可能要挂3颗珠子。

师：怎样才能知道你们的想法对不对？

生（齐）：试一试、做一做。

师：是的，一试便知。

师：这个结果和你们想的一样吗？请大家将数据填入实验记录单，老师也在黑板上记录。

师：如果左侧第四个孔位的珠子变成3 颗，那么右侧第二个孔位应该挂多少颗才能使杠杆保持平衡？请大家观察第一次实验的数据后猜一猜。

生5：我觉得杠杆右侧第二个孔位应挂6 颗珠子，这样杠杆就能保持平衡。

生6：我觉得杠杆右侧第二个孔位应挂5 颗珠子，这样杠杆就能保持平衡。

师：怎样验证猜测对或不对？

生7：试一试、做一做。

师：听你的！这一次由你们来验证。

师：有结果了吗？是几个？

生8：在杠杆右侧第二个孔位挂6颗。

师：是6颗吗？有些同学也挂了6颗珠子，但是他们却没有成功，你能告诉他们这是为什么吗？

生9：我觉得操作过程有问题。

生10：实验会有误差，会导致实验失败。

师：分析得很有道理，误差在实验的过程中不可避免，尤其是操作不规范会导致误差变大，影响实验的成功率。大家在实验过程中务必要规范操作。请大家将实验数据填入实验记录单，老师也在黑板上记录。

师：继续研究。如果左侧挂珠不变，右侧怎么挂才能保持平衡？比方说，能不能在第一个孔位、第三个孔位等位置挂一些珠子，使杠杆继续保持平衡？请大家基于之前两次的成功经验进行小组讨论。

生11：我觉得右侧第一个孔位应挂12 颗珠子，杠杆会保持平衡。

生12：我觉得右侧第三个孔位挂4 颗珠子，杠杆也会保持平衡。

生13：我觉得第四孔位挂3 颗珠子，杠杆也会保持平衡。

生14：我同意他们的说法。另外，我觉得如果这个杠杆的长度更长一些的话，还有其他符合要求的位置！

……

师：为了节省时间，大家分组完成实验，并将数据填入表格（如图2）。

图2

师：仔细观察表格中的数据，你们有什么发现？

生15：杠杆两边珠子数与孔位号的乘积相等时，杠杆保持平衡。

师：我们在杠杆左侧第四个孔位分别挂2 颗和3 颗珠子，用实验的方式寻找到了能让杠杆平衡的一些数据，通过对这些数据分析，发现了“杠杆两边珠子数与孔位号的乘积相等，杠杆保持平衡”的规律。这个发现在其他位置、其他数量的珠子情况下是否也是如此？我们需要进一步验证。请自主设计实验方案并加以验证，完成实验报告单（如图3）。

图3

师：谁来说说你们设计的实验以及实验的结论？

生16：我们组设计的实验是在左边第（ ）孔位挂（ ）颗珠子，右边第（ ）孔位挂（ ）颗珠子；我们的结论是这样的挂法，杠杆保持平衡。

……

师：每个组都设计并完成了实验，观察这些实验数据，有什么想说的吗？

生17：无论在哪个孔位挂几颗珠子，杠杆两侧珠子数与孔位号的乘积相等时，杠杆就能保持平衡。

生18：我同意他的说法，左侧之积等于右侧之积，杠杆平衡！

……

师：你们的发现其实就是杠杆原理（杠杆平衡条件）。在2000 多年前，阿基米德就指出“动力×动力臂=阻力×阻力臂，杠杆平衡”。这里的动力与阻力指的就是珠子的质量（珠子数），动力臂与阻力臂指的是挂珠孔位到支点的距离（孔位号），用字母表示为“F1×L1=F2×L2，杠杆平衡”。事实上，我国古代先贤，更早就发现了这一规律，《墨子·经下》中就有“衡，加重于其一旁，必捶；权重相若也，相衡，则本短标长。两加焉，重相若，则标必下，标得权也”。墨子的这一发现比阿基米德还要早200多年！

【设计意图：在问题引领下开展实验研究，借助四次实验引导学生分层探索、深入体验杠杆原理。四次实验各有侧重、步步为营，从陌生到熟悉、猜测到验证、误差到调整，学生不断亲历实验操作过程，在对比中发现问题、规范操作、验证猜想、习得知识，最终，学生形成“杠杆原理”的模型认知意识。在抽象结论的过程中渗透数学文化知识，使得学生在中外关于“杠杆原理”发现早晚的故事中增强了文化自信。】

3.链接生活，落实育人本位

师：既然我们发现了杠杆原理，下面的练习想必难不倒大家。

（1）基本练习：①运用杠杆原理填空；②解释跷跷板、投石车、撬棒、老虎钳等生活现象。

（2）杆秤工作原理揭秘。

师（出示图4）：杠杆原理应用于生活，其中最具有智慧的发明就数杆秤了。大家请看，这是一杆还未放置任何物体的空秤，当秤砣打在秤杆的0 刻度线，杆秤就是一个两边平衡的杠杆。

图4

师（出示图5）：往秤盘里放入一定质量的物体，在不改变秤砣质量的情况下，为了使杆秤继续保持平衡，秤砣所处的位置就要随之改变，物体越重，秤砣的移动距离越大。人们只需在相应的位置画出对应质量的刻度，就可以用这样的工具进行称重了。这就是制秤工艺中的“校秤定星”。

图5

师（出示图6）：根据杠杆原理，“物体质量×物距=秤砣质量×秤砣移动距离”，根据比例的基本性质可得“物体质量∶秤砣移动距离=秤砣质量∶物距”。同一杆秤中，秤砣质量与物距是一定的，也就意味着物体质量与秤砣移动距离的比值一定，从物体质量与秤砣移动距离关系的图像也能看出，物体的质量与秤砣移动距离成正比例关系。

图6

师：更精妙的是，聪明的古代人民在杆秤上设计了多个提纽线（如图7），通过改变提纽线的位置使得物距产生变化，一杆秤上能形成多组物体质量与秤砣移动距离之间的关系，便能称出更大范围物体的质量。

图7

4.总结延伸，发展数学联想

师：在本节课的学习中，你有哪些收获？

师：如果在杠杆的左侧第二、第四两个孔位各挂1 颗珠子，在杠杆右侧的第三个孔位应挂多少颗这样的珠子，使得杠杆仍然保持平衡？

生1：1颗。

生2：2颗。

……

师：这个问题，留给大家课后完成，大家可以用本节课探索规律的方法去开展研究。

5.课后活动，体现作业设计

师（出示图8）：随着时代的变迁，杆秤这一古老的发明终将成为历史，但是杆秤的文化、杆秤中的智慧将一直传承。

图8

师：利用双休日时间参观杆秤店并制作1 把简易杆秤，后续将进行评比展示。（展示江阴的老杆秤店和学生自制的一些简易杆秤作品，图略）

【设计意图：结论的运用必须注重数学与现实世界之间的关联，帮助学生增长知识的同时，还要强化学生的应用意识，引导学生在生活中积累数学活动经验，感悟数学价值。通过教师的讲解，学生惊叹于杆秤这一发明“神奇”的同时，对我国古代文化充满了好奇心与求知欲，有利于学生创新意识的形成。杠杆原理的拓展延伸将进一步培养学生的实践能力和创新能力。开放的作业设计，改变传统“做题式”的数学学习方式，重在培养学生的实践能力，发展学生数学核心素养，有效践行数学的学科育人宗旨。】

三、总结与反思

1.从教学内容上分析

本课是学生综合运用数学与物理学科的知识与方法跨学科解决问题、数学与古代科技文明跨界融合并巧妙地将人文气息融入数学特性的一堂综合与实践教学课例。纵观本节课的教学过程，以课程整合的视角，利用真实化的题材开发数学拓展课程，在问题引领下，学生反复进行观察、猜测、操作、归纳、类比、证明等数学活动，在不断地分析、推理中，学生的思维得到发展，核心素养得以形成与发展。与此同时，我国古代人民的智慧创造增强了学生的民族自豪感，激励学生勇于创新。课后作业的创新设计，更是巧妙实现以数学学科为基础，打破学科壁垒，构建理性精神与人文底蕴有机结合的课堂新生态。

2.从课程内容上分析

综合与实践主要包括主题活动、项目学习等。本次教学属于多学时、长程式主题活动中的一环。如果围绕“秤”进一步研究，此主题式活动也可以上升为项目式学习。研究这一课型的意义在于，从客观存在的具体课例中归纳出一般性的规律，即课型特征及结构，并运用这种规律正确、合理地选择综合与实践内容，设计活动过程。总而言之，本节课是学生在掌握正比例、反比例知识的基础上，通过数学实验的方法对杠杆原理进行初步探究，教师挖掘生活中的素材，将探索过程与生活中的杆秤融合，将知识与生活链接，通过教学内容的创新、教学方式的革新、课堂活动的焕新，将综合与实践课程的育人价值最大化，落实“会用数学的眼光观察现实世界；会用数学的思维思考现实世界；会用数学的语言表达现实世界”的核心素养目标，促进学生全面发展。